还剩28页未读，
继续阅读
2006年河北省中考数学试卷（大纲卷）
展开
这是一份2006年河北省中考数学试卷（大纲卷），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
2．（2分）下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
3．（2分）若△ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．cm
4．（2分）根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）
A．51元B．35元C．8元D．7.5元
5．（2分）一元二次方程x2﹣3x=0的根是（ ）
A．x=3B．x1=0，x2=﹣3C．x1=0，x2=D．x1=0，x2=3
6．（2分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2
7．（2分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2分）观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ）
A．3n﹣2B．3n﹣1C．4n+1D．4n﹣3
10．（2分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（ ）
A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）﹣2×（﹣3）= ．
12．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠A=110°，则∠C= 度．
13．（2分）分解因式：a3﹣a= ．
14．（2分）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．
15．（2分）计算：（﹣a2）3= ．
16．（2分）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是40元，则原价为 元．
17．（2分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 ．
18．（2分）用换元法解分式方程x2+x+1=时，如果设y=x2+x，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 ．
19．（2分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度P也随之改变．在一定范围内，密度P是容积V的反比例函数．当容积为5m3时，密度是1.4kg/m3，则P与V的函数关系式为 ．
20．（2分）如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）已知x=2，y=，求的值．
22．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
23．（8分）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 名；
（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为 元，众数为 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
24．（8分）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）
25．（12分）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了 小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 米；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队．
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？
26．（12分）探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
27．（12分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
28．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形；
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
2006年河北省中考数学试卷（大纲卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）（2006•河北）|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
【分析】根据绝对值的性质作答．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2．
故选B．
【点评】本题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（2分）（2006•河北）下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
【分析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30度．
【解答】解：∵1个小时在时钟上的角度为180°÷6=30°，
∴3.5个小时的角度为30°×3.5=105°．
故选B．
【点评】本题主要考查角度的基本概念．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
3．（2分）（2006•河北）若△ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．cm
【分析】利用三角形的中位线性质得到所求三角形的三边与原三角形的周长之间的关系，进而求解．
【解答】解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、EF、DF分别等于△ABC三边的一半，
∴DE+EF+DF=△ABC的周长=10 cm．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的一半．
4．（2分）（2006•河北）根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）
A．51元B．35元C．8元D．7.5元
【分析】要求一个杯子的价格，就要先设出一个未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．题中的等量关系是：一杯+壶=43元；二杯二壶+一杯=94．
【解答】解：设一杯为x，一杯一壶为43元，
则右图为三杯两壶，即二杯二壶+一杯，
即：43×2+x=94
解得：x=8（元）
故选C．
【点评】此题的关键是如何把左图中一杯一壶的已知量用到右图中，这就要找规律，仔细看不难发现，右图是左图的2倍+一个杯子．
5．（2分）（2006•河北）一元二次方程x2﹣3x=0的根是（ ）
A．x=3B．x1=0，x2=﹣3C．x1=0，x2=D．x1=0，x2=3
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式x（x﹣3）=0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：x2﹣3x=0
x（ x﹣3）=0
x1=0，x2=3．
故选D．
【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，解此类方程只需按解一元二次方程的一般步骤按部就班即可．
6．（2分）（2006•河北）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2
【分析】根据第二象限内的点的坐标特征，列出不等式组，通过解不等式组解题．
【解答】解：∵点P（x﹣2，x）在第二象限，
∴，解得0＜x＜2，
∴x的取值范围为0＜x＜2，
故选：A．
【点评】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求x的取值范围．
7．（2分）（2007•双柏县）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选A．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
8．（2分）（2006•河北）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图1，结合已知的方程组理解算筹表示的实际数字，发现：前两项是x、y的系数，后一项是方程右边的常数项，十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示．按此规律，即可看出第二个方程组．
【解答】解：根据已知，得第一个方程是2x+y=11；第二个方程是4x+3y=27，
则方程组为．
故选A．
【点评】主要培养学生的观察能力，关键是能够根据已知的方程根据对应位置的数字理解算筹表示的实际数字．
9．（2分）（2008•黔东南州）观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ）
A．3n﹣2B．3n﹣1C．4n+1D．4n﹣3
【分析】根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．
【解答】解：第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．故选D．
【点评】此题注意根据所给数据发现规律，进一步整理计算．
10．（2分）（2006•河北）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（ ）
A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm
【分析】解：当第一次折叠后，折痕偏向左侧0.5 cm，第二次折叠后，折痕偏向右侧0.5 cm，即可求得两条折痕之间距离．
【解答】解：两条折痕之间距离为0.5+0.5=1cm．
故选B．
【点评】本题考查折叠的概念及空间想象能力，有一定的思维容量．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）（2006•河北）﹣2×（﹣3）= 6 ．
【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：﹣2×（﹣3），
=2×3，
=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键．
12．（2分）（2006•河北）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠A=110°，则∠C= 110 度．
【分析】由AB=CD，BC=AD可以判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求出∠C．
【解答】解：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=110°．
故填空答案：110．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
13．（2分）（2015•德阳）分解因式：a3﹣a= a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
=a（a2﹣1），
=a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
14．（2分）（2007•双柏县）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 9 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当4是腰时，因4+4＜9，不能组成三角形，应舍去；
当9是腰时，4、9、9能够组成三角形．
则第三边应是9．
故答案为：9．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
15．（2分）（2006•河北）计算：（﹣a2）3= ﹣a6 ．
【分析】先确定符号，再根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
【解答】解：（﹣a2）3=﹣a2×3=﹣a6．
故填﹣a6．
【点评】本题考查幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，计算时要注意符号．
16．（2分）（2006•河北）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是40元，则原价为 50 元．
【分析】要求原价就要先设出未知数，找出本题的等量关系：原价×8折=售价，列出方程求解．
【解答】解：设原价为x元，则：
x×0.8=40，
解得：x=50（元）
故填：50．
【点评】本题考查代数式的应用能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
17．（2分）（2009•青海）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 2 ．
【分析】连接OA，根据切线的性质及特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：连接OA，由切线性质知OA⊥PA．
在Rt△OAP中，PA=，∠APO=30°，
∴OA=PA•tan30°=2．
【点评】本题考查的是切线的性质及解直角三角形的应用．
18．（2分）（2006•河北）用换元法解分式方程x2+x+1=时，如果设y=x2+x，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 y2+y﹣2=0 ．
【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，把y=x2+x代入原方程整理即可．
【解答】解：设y=x2+x，
则得y+1=，
方程两边同乘以y，
整理得y2+y﹣2=0．
故本题答案为：y2+y﹣2=0．
【点评】本题考查换元法解分式方程，要注意题设中的“一般形式”四字．
19．（2分）（2006•河北）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度P也随之改变．在一定范围内，密度P是容积V的反比例函数．当容积为5m3时，密度是1.4kg/m3，则P与V的函数关系式为 ．
【分析】根据等量关系“密度=质量÷体积”，故先求得质量，再列出P与V的函数关系式．
【解答】解：∵密度ρ是容积V的反比例函数，
∴设，
由于（5，1.4）在此函数解析式上，
∴k=1.4×5=7，
∴．
故本题答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
20．（2分）（2006•河北）如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 22.5 米．
【分析】根据题意，河两岸平行，故可根据平行线分线段成比例来解决问题，列出方程，求解即可．
【解答】解：如图，设河宽为h，
∵AB∥CD
由平行线分线段成比例定理得：=，
解得：h=22.5，
∴河宽为22.5米．
故答案为：22.5．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）（2006•河北）已知x=2，y=，求的值．
【分析】首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算．
【解答】解：原式==；
当x=2，时，
原式==．
【点评】这是典型的“化简求值”的题目，着眼于对运算法则的掌握和运算能力的直接考查．
22．（8分）（2006•河北）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
【分析】本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．在△ABD和△ACE中，已知了AB=AC，BD=EC且∠B=∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD=AE的结论．
【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=CF，
∵BD=CE，
∴DF=EF，
∴AD=AE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；根据等腰三角形的性质来得出全等三角形的判定条件是解题的关键．
23．（8分）（2006•河北）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 16 名；
（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为 1700 元，众数为 1600 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
【分析】此题文字比较多，解题时首先要理解题意，掌握众数、中位数和平均数的意义．首先求出工资数的中位数，众数，进行判断．
【解答】解：（1）该公司“高级技工”的人数=50﹣1﹣3﹣2﹣3﹣24﹣1=16（人）；
（2）工资数从小到大排列，第25和第26分别是：1600元和1800元，因而中位数是1700元；
在这些数中1600元出现的次数最多，因而众数是1600元；
（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．
用1700元或1600元来介绍更合理些．
（4）≈1713（元）．
能反映该公司员工的月工资实际水平．
【点评】本题考查众数、平均数等统计知识，考查统计思想在实际生活中应用，属较基础的题目．
统计知识与人们的日常生活联系密切，中考以统计量为题眼进行试题设置时，重点是结合学生熟悉的现实生活中实际问题进行定量（计算统计量）和定性（估计、判断和预测）分析，用以考查同学们对统计基本思想的理解和用数学的意识．
24．（8分）（2006•河北）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）
【分析】根据题意，由圆的基本性质，可通过作辅助线建立模形，利用垂径定理解答，也可用相交弦定理来解．
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，如图，
由垂径定理，可知：E是AB中点，F是中点，
∴EF是弓形高，
∴AE=AB=2，EF=2，
设半径为R米，则OE=（R﹣2）米，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2=（R﹣2）2+（2）2，
解得R=4，
∵sin∠AOE=，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=120度．
∴的长为=π（m），
∴帆布的面积为π×60=160π（平方米）．
【点评】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．
部分学生遇此问题，不能将实际问题抽象为数学问题．突破方法：联系实际，将车棚顶部展开得长方形，其长为车棚长，宽为弧AB长．解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．
25．（12分）（2006•河北）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了 2 小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 10 米；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队．
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？
【分析】（1）可以从图象直接求解；
（2）待定系数法求函数解析式：甲队是正比例函数，乙队在2≤x≤6的时间段是一次函数；
（3）两队同时完成任务，可以看成代数中的追及问题．
【解答】解：（1）2；60﹣50=10；
（2）①设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k1x，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k1=60，
解得k1=10，
∴y=10x；
②设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，
由图可知，函数图象过点（2，30）（6，50），
∴，
解得，
∴y=5x+20，
③由题意得：
10x＞5x+20，解得x＞4，
∴4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队；
（3）由图可知，甲队速度是：=10（米/时），
设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z米，依题意，得，
解得z=110．
答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式和一次函数与方程的综合运用，是一道代数型综合题．
26．（12分）（2006•河北）探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= a （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= 2a （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= 6a （用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 7 倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；
（2）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；
（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．
应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的72=49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．
【解答】解：（1）∵BC=CD，
∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；
（2）2a；
理由：连接AD，
∵CD=BC，AE=CA，
∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，
∴S2=2a；
（3）结合（2）得：2a×3=6a；
发现：扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．
应用：拓展区域的面积：（72﹣1）×10=480（m2）．
【点评】命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力．
点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．
27．（12分）（2006•河北）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
【分析】本题属于市场营销问题，月利润=（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚．再用二次函数的性质解决最大利润问题．
【解答】解：（1）由题意得：
45+×7.5=60（吨）．
（2）由题意：
y=（x﹣100）（45+×7.5），
化简得：y=﹣x2+315x﹣24000．
（3）y=﹣x2+315x﹣24000=﹣（x﹣210）2+9075．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W=x（45+×7.5）=﹣（x﹣160）2+19200来说，
当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
（说明：如果举出其它反例，说理正确，也可以）
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
28．（12分）（2006•河北）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形；
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
【分析】（1）根据折叠的性质可知：四边形PCQD的面积等于△PCQ的面积的2倍，因此本题只需计算三角形PCQ的面积即可．可用t表示出PC和QB的长，然后根据三角形的面积公式即可得出三角形PCQ的面积与t的函数关系式，进而可求出y，t的函数关系式；
（2）如果四边形PQBA是梯形，那么只有一种情况，即PQ∥AB，可根据这两条平行线得出的关于CP，CA，CQ，CB的比例关系式求出此时t的值；
（3）可通过构建相似三角形来求解．延长PD交BC于M，通过相似三角形QMD和三角形ABC得出的关于OD，QM，AC，AB的比例关系式，可得出QM的表达式，然后根据PD∥AB得出的关于CP，CA，CM，CB的比例关系式求出t的值．
（4）可延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在直角三角形ARH中，AP=3t，因此AH=t，而HR=DQ=CQ=4t，在直角三角形BQR中，BQ=16﹣4t，因此BR=．由于AB=20．因此t+4t+=20，解得t=．因此存在时刻t使得PD⊥AB．
【解答】解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12﹣3t，
∴S△PCQ=PC•CQ=﹣6t2+24t．
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
∴y=2S△PCQ=﹣12t2+48t．
（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，
∵CA=12，CB=16，CQ=4t，CP=12﹣3t，
∴，
解得t=2．
∴当t=2秒时，四边形PQBA是梯形．
（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB==20，
∴QM=．
若PD∥AB，则，
得，
解得t=．
∴当t=秒时，PD∥AB．
（4）存在时刻t，使得PD⊥AB．
时间段为：2＜t≤3．
延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在直角三角形APH中，
∵AP=3t，
∴AH=t，而HR=DQ=CQ=4t，
在直角三角形BQR中，
∵BQ=16﹣4t，
∴BR=．
∵AB=20．
∴t+4t+=20，解得t=．
∴存在时刻t使得PD⊥AB．
【点评】[点评]本题是一道动态几何题，综合性较强，区分度较大，有一定的难度．
【命题意图】最后总是函数的应用，去年是一次函数的应用、二次函数的应用以及分类讨论，其实对初中而言，一次函数和二次函数的重要性是一样的，关键是函数思想的确立，函数模型的建立．本题考查求解二次函数关系式、并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力，同时考查的数学思想主要是数学建模思想．本题在呈现方式上做出了创新，试题贴近社会经济的盈亏问题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．
参与本试卷答题和审题的老师有：yingzi；自由人；py168；wdxwwzy；lanchng；CJX；算术；心若在；Jyce；ck2360；zhjh；zhangCF；天马行空；lf2﹣9；如来佛；Linaliu；星期八；Liuzhx；HLing；kuaile；137﹣hui；开心；郝老师；MMCH；yu123；ln_86；zcx；zxw；csiya；lanyan（排名不分先后）
菁优网
2017年6月23日员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工数（名）
1
3
2
3
24
1
每人月工资（元）
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950
员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工数（名）
1
3
2
3
24
1
每人月工资（元）
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
2．（2分）下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
3．（2分）若△ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．cm
4．（2分）根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）
A．51元B．35元C．8元D．7.5元
5．（2分）一元二次方程x2﹣3x=0的根是（ ）
A．x=3B．x1=0，x2=﹣3C．x1=0，x2=D．x1=0，x2=3
6．（2分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2
7．（2分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2分）观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ）
A．3n﹣2B．3n﹣1C．4n+1D．4n﹣3
10．（2分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（ ）
A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）﹣2×（﹣3）= ．
12．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠A=110°，则∠C= 度．
13．（2分）分解因式：a3﹣a= ．
14．（2分）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．
15．（2分）计算：（﹣a2）3= ．
16．（2分）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是40元，则原价为 元．
17．（2分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 ．
18．（2分）用换元法解分式方程x2+x+1=时，如果设y=x2+x，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 ．
19．（2分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度P也随之改变．在一定范围内，密度P是容积V的反比例函数．当容积为5m3时，密度是1.4kg/m3，则P与V的函数关系式为 ．
20．（2分）如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）已知x=2，y=，求的值．
22．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
23．（8分）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 名；
（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为 元，众数为 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
24．（8分）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）
25．（12分）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了 小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 米；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队．
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？
26．（12分）探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
27．（12分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
28．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形；
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
2006年河北省中考数学试卷（大纲卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）（2006•河北）|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
【分析】根据绝对值的性质作答．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2．
故选B．
【点评】本题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（2分）（2006•河北）下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
【分析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30度．
【解答】解：∵1个小时在时钟上的角度为180°÷6=30°，
∴3.5个小时的角度为30°×3.5=105°．
故选B．
【点评】本题主要考查角度的基本概念．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
3．（2分）（2006•河北）若△ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．cm
【分析】利用三角形的中位线性质得到所求三角形的三边与原三角形的周长之间的关系，进而求解．
【解答】解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、EF、DF分别等于△ABC三边的一半，
∴DE+EF+DF=△ABC的周长=10 cm．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的一半．
4．（2分）（2006•河北）根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）
A．51元B．35元C．8元D．7.5元
【分析】要求一个杯子的价格，就要先设出一个未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．题中的等量关系是：一杯+壶=43元；二杯二壶+一杯=94．
【解答】解：设一杯为x，一杯一壶为43元，
则右图为三杯两壶，即二杯二壶+一杯，
即：43×2+x=94
解得：x=8（元）
故选C．
【点评】此题的关键是如何把左图中一杯一壶的已知量用到右图中，这就要找规律，仔细看不难发现，右图是左图的2倍+一个杯子．
5．（2分）（2006•河北）一元二次方程x2﹣3x=0的根是（ ）
A．x=3B．x1=0，x2=﹣3C．x1=0，x2=D．x1=0，x2=3
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式x（x﹣3）=0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：x2﹣3x=0
x（ x﹣3）=0
x1=0，x2=3．
故选D．
【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，解此类方程只需按解一元二次方程的一般步骤按部就班即可．
6．（2分）（2006•河北）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2
【分析】根据第二象限内的点的坐标特征，列出不等式组，通过解不等式组解题．
【解答】解：∵点P（x﹣2，x）在第二象限，
∴，解得0＜x＜2，
∴x的取值范围为0＜x＜2，
故选：A．
【点评】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求x的取值范围．
7．（2分）（2007•双柏县）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选A．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
8．（2分）（2006•河北）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图1，结合已知的方程组理解算筹表示的实际数字，发现：前两项是x、y的系数，后一项是方程右边的常数项，十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示．按此规律，即可看出第二个方程组．
【解答】解：根据已知，得第一个方程是2x+y=11；第二个方程是4x+3y=27，
则方程组为．
故选A．
【点评】主要培养学生的观察能力，关键是能够根据已知的方程根据对应位置的数字理解算筹表示的实际数字．
9．（2分）（2008•黔东南州）观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ）
A．3n﹣2B．3n﹣1C．4n+1D．4n﹣3
【分析】根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．
【解答】解：第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．故选D．
【点评】此题注意根据所给数据发现规律，进一步整理计算．
10．（2分）（2006•河北）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（ ）
A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm
【分析】解：当第一次折叠后，折痕偏向左侧0.5 cm，第二次折叠后，折痕偏向右侧0.5 cm，即可求得两条折痕之间距离．
【解答】解：两条折痕之间距离为0.5+0.5=1cm．
故选B．
【点评】本题考查折叠的概念及空间想象能力，有一定的思维容量．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）（2006•河北）﹣2×（﹣3）= 6 ．
【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：﹣2×（﹣3），
=2×3，
=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键．
12．（2分）（2006•河北）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠A=110°，则∠C= 110 度．
【分析】由AB=CD，BC=AD可以判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求出∠C．
【解答】解：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=110°．
故填空答案：110．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
13．（2分）（2015•德阳）分解因式：a3﹣a= a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
=a（a2﹣1），
=a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
14．（2分）（2007•双柏县）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 9 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当4是腰时，因4+4＜9，不能组成三角形，应舍去；
当9是腰时，4、9、9能够组成三角形．
则第三边应是9．
故答案为：9．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
15．（2分）（2006•河北）计算：（﹣a2）3= ﹣a6 ．
【分析】先确定符号，再根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
【解答】解：（﹣a2）3=﹣a2×3=﹣a6．
故填﹣a6．
【点评】本题考查幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，计算时要注意符号．
16．（2分）（2006•河北）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是40元，则原价为 50 元．
【分析】要求原价就要先设出未知数，找出本题的等量关系：原价×8折=售价，列出方程求解．
【解答】解：设原价为x元，则：
x×0.8=40，
解得：x=50（元）
故填：50．
【点评】本题考查代数式的应用能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
17．（2分）（2009•青海）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 2 ．
【分析】连接OA，根据切线的性质及特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：连接OA，由切线性质知OA⊥PA．
在Rt△OAP中，PA=，∠APO=30°，
∴OA=PA•tan30°=2．
【点评】本题考查的是切线的性质及解直角三角形的应用．
18．（2分）（2006•河北）用换元法解分式方程x2+x+1=时，如果设y=x2+x，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 y2+y﹣2=0 ．
【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，把y=x2+x代入原方程整理即可．
【解答】解：设y=x2+x，
则得y+1=，
方程两边同乘以y，
整理得y2+y﹣2=0．
故本题答案为：y2+y﹣2=0．
【点评】本题考查换元法解分式方程，要注意题设中的“一般形式”四字．
19．（2分）（2006•河北）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度P也随之改变．在一定范围内，密度P是容积V的反比例函数．当容积为5m3时，密度是1.4kg/m3，则P与V的函数关系式为 ．
【分析】根据等量关系“密度=质量÷体积”，故先求得质量，再列出P与V的函数关系式．
【解答】解：∵密度ρ是容积V的反比例函数，
∴设，
由于（5，1.4）在此函数解析式上，
∴k=1.4×5=7，
∴．
故本题答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
20．（2分）（2006•河北）如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 22.5 米．
【分析】根据题意，河两岸平行，故可根据平行线分线段成比例来解决问题，列出方程，求解即可．
【解答】解：如图，设河宽为h，
∵AB∥CD
由平行线分线段成比例定理得：=，
解得：h=22.5，
∴河宽为22.5米．
故答案为：22.5．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）（2006•河北）已知x=2，y=，求的值．
【分析】首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算．
【解答】解：原式==；
当x=2，时，
原式==．
【点评】这是典型的“化简求值”的题目，着眼于对运算法则的掌握和运算能力的直接考查．
22．（8分）（2006•河北）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
【分析】本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．在△ABD和△ACE中，已知了AB=AC，BD=EC且∠B=∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD=AE的结论．
【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=CF，
∵BD=CE，
∴DF=EF，
∴AD=AE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；根据等腰三角形的性质来得出全等三角形的判定条件是解题的关键．
23．（8分）（2006•河北）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 16 名；
（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为 1700 元，众数为 1600 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
【分析】此题文字比较多，解题时首先要理解题意，掌握众数、中位数和平均数的意义．首先求出工资数的中位数，众数，进行判断．
【解答】解：（1）该公司“高级技工”的人数=50﹣1﹣3﹣2﹣3﹣24﹣1=16（人）；
（2）工资数从小到大排列，第25和第26分别是：1600元和1800元，因而中位数是1700元；
在这些数中1600元出现的次数最多，因而众数是1600元；
（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．
用1700元或1600元来介绍更合理些．
（4）≈1713（元）．
能反映该公司员工的月工资实际水平．
【点评】本题考查众数、平均数等统计知识，考查统计思想在实际生活中应用，属较基础的题目．
统计知识与人们的日常生活联系密切，中考以统计量为题眼进行试题设置时，重点是结合学生熟悉的现实生活中实际问题进行定量（计算统计量）和定性（估计、判断和预测）分析，用以考查同学们对统计基本思想的理解和用数学的意识．
24．（8分）（2006•河北）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）
【分析】根据题意，由圆的基本性质，可通过作辅助线建立模形，利用垂径定理解答，也可用相交弦定理来解．
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，如图，
由垂径定理，可知：E是AB中点，F是中点，
∴EF是弓形高，
∴AE=AB=2，EF=2，
设半径为R米，则OE=（R﹣2）米，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2=（R﹣2）2+（2）2，
解得R=4，
∵sin∠AOE=，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=120度．
∴的长为=π（m），
∴帆布的面积为π×60=160π（平方米）．
【点评】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．
部分学生遇此问题，不能将实际问题抽象为数学问题．突破方法：联系实际，将车棚顶部展开得长方形，其长为车棚长，宽为弧AB长．解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．
25．（12分）（2006•河北）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了 2 小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 10 米；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队．
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？
【分析】（1）可以从图象直接求解；
（2）待定系数法求函数解析式：甲队是正比例函数，乙队在2≤x≤6的时间段是一次函数；
（3）两队同时完成任务，可以看成代数中的追及问题．
【解答】解：（1）2；60﹣50=10；
（2）①设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k1x，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k1=60，
解得k1=10，
∴y=10x；
②设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，
由图可知，函数图象过点（2，30）（6，50），
∴，
解得，
∴y=5x+20，
③由题意得：
10x＞5x+20，解得x＞4，
∴4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队；
（3）由图可知，甲队速度是：=10（米/时），
设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z米，依题意，得，
解得z=110．
答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式和一次函数与方程的综合运用，是一道代数型综合题．
26．（12分）（2006•河北）探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= a （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= 2a （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= 6a （用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 7 倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；
（2）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；
（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．
应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的72=49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．
【解答】解：（1）∵BC=CD，
∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；
（2）2a；
理由：连接AD，
∵CD=BC，AE=CA，
∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，
∴S2=2a；
（3）结合（2）得：2a×3=6a；
发现：扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．
应用：拓展区域的面积：（72﹣1）×10=480（m2）．
【点评】命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力．
点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．
27．（12分）（2006•河北）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
【分析】本题属于市场营销问题，月利润=（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚．再用二次函数的性质解决最大利润问题．
【解答】解：（1）由题意得：
45+×7.5=60（吨）．
（2）由题意：
y=（x﹣100）（45+×7.5），
化简得：y=﹣x2+315x﹣24000．
（3）y=﹣x2+315x﹣24000=﹣（x﹣210）2+9075．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W=x（45+×7.5）=﹣（x﹣160）2+19200来说，
当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
（说明：如果举出其它反例，说理正确，也可以）
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
28．（12分）（2006•河北）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形；
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
【分析】（1）根据折叠的性质可知：四边形PCQD的面积等于△PCQ的面积的2倍，因此本题只需计算三角形PCQ的面积即可．可用t表示出PC和QB的长，然后根据三角形的面积公式即可得出三角形PCQ的面积与t的函数关系式，进而可求出y，t的函数关系式；
（2）如果四边形PQBA是梯形，那么只有一种情况，即PQ∥AB，可根据这两条平行线得出的关于CP，CA，CQ，CB的比例关系式求出此时t的值；
（3）可通过构建相似三角形来求解．延长PD交BC于M，通过相似三角形QMD和三角形ABC得出的关于OD，QM，AC，AB的比例关系式，可得出QM的表达式，然后根据PD∥AB得出的关于CP，CA，CM，CB的比例关系式求出t的值．
（4）可延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在直角三角形ARH中，AP=3t，因此AH=t，而HR=DQ=CQ=4t，在直角三角形BQR中，BQ=16﹣4t，因此BR=．由于AB=20．因此t+4t+=20，解得t=．因此存在时刻t使得PD⊥AB．
【解答】解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12﹣3t，
∴S△PCQ=PC•CQ=﹣6t2+24t．
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
∴y=2S△PCQ=﹣12t2+48t．
（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，
∵CA=12，CB=16，CQ=4t，CP=12﹣3t，
∴，
解得t=2．
∴当t=2秒时，四边形PQBA是梯形．
（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB==20，
∴QM=．
若PD∥AB，则，
得，
解得t=．
∴当t=秒时，PD∥AB．
（4）存在时刻t，使得PD⊥AB．
时间段为：2＜t≤3．
延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在直角三角形APH中，
∵AP=3t，
∴AH=t，而HR=DQ=CQ=4t，
在直角三角形BQR中，
∵BQ=16﹣4t，
∴BR=．
∵AB=20．
∴t+4t+=20，解得t=．
∴存在时刻t使得PD⊥AB．
【点评】[点评]本题是一道动态几何题，综合性较强，区分度较大，有一定的难度．
【命题意图】最后总是函数的应用，去年是一次函数的应用、二次函数的应用以及分类讨论，其实对初中而言，一次函数和二次函数的重要性是一样的，关键是函数思想的确立，函数模型的建立．本题考查求解二次函数关系式、并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力，同时考查的数学思想主要是数学建模思想．本题在呈现方式上做出了创新，试题贴近社会经济的盈亏问题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．
参与本试卷答题和审题的老师有：yingzi；自由人；py168；wdxwwzy；lanchng；CJX；算术；心若在；Jyce；ck2360；zhjh；zhangCF；天马行空；lf2﹣9；如来佛；Linaliu；星期八；Liuzhx；HLing；kuaile；137﹣hui；开心；郝老师；MMCH；yu123；ln_86；zcx；zxw；csiya；lanyan（排名不分先后）
菁优网
2017年6月23日员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工数（名）
1
3
2
3
24
1
每人月工资（元）
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950
员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工数（名）
1
3
2
3
24
1
每人月工资（元）
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950
相关试卷
2006年河北省中考数学试卷（课标卷）： 这是一份2006年河北省中考数学试卷（课标卷），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2005年河北省中考数学试卷（课标卷）： 这是一份2005年河北省中考数学试卷（课标卷），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2005年河北省中考数学试卷（大纲卷）： 这是一份2005年河北省中考数学试卷（大纲卷），共30页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
