【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题07 一元二次方程 教师版+学生版

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考点1 一元二次方程
一、单选题
1．（2021·青海西宁·统考中考真题）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，从而可得x满足的方程．
【详解】解：由题意可得：
2019年用水总量为亿立方米，
2020年用水总量为亿立方米，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解年平均降低率的含义．
2．（2023年天津市中考数学真题）若是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
4．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）已知，则的值是（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】D
【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可．
【详解】解：由得：，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为．
5．（2020·四川巴中·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
则a的最大整数值是0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式.
6．（2022·西藏·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1
【答案】D
【分析】方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，方程有实根，△≥0，综合以上两方面进行计算即可．
【详解】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1．
故选D．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．注意不要忽略一元二次方程的系数不为0这一条件．
7．（2023年北京市中考数学真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．9
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
8．（2023年吉林省中考数学真题）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33B．23C．17D．
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
9．（2023年河南省中考数学真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
10．（2023年上海市中考数学真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
11．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意知第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x，列方程为，化简求解即可．
【详解】解：第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x
故根据题意列方程式为：
化简得：
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的表示每天的票房．
12．（2020·广西贵港·中考真题）一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝13＞0，进而可找出该方程有两个不相等的实数根．
【详解】∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．（2023年湖北省武汉市数学真题）已知，计算的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=
=
=，
∵，
∴，
∴原式==1，
故选A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
二、填空题
14．（2021·山东德州·中考真题）方程x2=4x的解 ．
【答案】x=0或x=4
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【详解】解：原方程变为
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x1=0，x2=4，
故答案为：x=0或x=4．
【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.
15．（2020·四川阿坝·中考真题）若m2﹣2m﹣1=0，则代数式2m2﹣4m+3的值为 ．
【答案】5
【分析】先求出m2﹣2m的值，然后把所求代数式整理出已知条件的形式并代入进行计算即可得解．
【详解】解：由m2﹣2m﹣1=0得m2﹣2m=1，
所以，2m2﹣4m+3=2（m2﹣2m）+3=2×1+3=5．
故答案为：5
【点睛】考点：代数式求值．
16．（2019·青海·统考中考真题）某种药品原价每盒元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒元，则平均每次下调的百分率为 ．
【答案】．
【分析】设平均每次降价的百分比是，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为元，从而列出方程，然后求解即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分比是，根据题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是；
故答案为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
17．（2021·四川内江·统考中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为 ．
【答案】且/a≠0且a≥-2
【分析】根据题意可知，代入求解即可．
【详解】解：一元二次方程ax2+4x﹣2＝0，
，
∵关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，
∴且，即，
解得：且
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，是解题的关键．
18．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜
【详解】解：由题意得：△=9﹣4k＞0，
解得：k＜，
故答案为：k＜．
19．（2022·江苏镇江·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】4
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得m=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．
20．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
21．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）若是关x的方程的解，则的值为 ．
【答案】2019
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
22．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【详解】设另一个根为，
根据题意：，
解得，，
即另一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义．
23．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）若是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】/
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，．
24．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 米．
【答案】1
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
25．（2022·四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案是-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．
26．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）方程的解为 ．
【答案】
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，，
，
，
，
或．
经检验时，，故舍去．
原方程的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
三、解答题
27．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）解方程：x2+4x﹣1=0．
【答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．
【详解】方程变形得：x2+4x=1，
配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，
开方得：x+2=±，
解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
28．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②，，；选③，，
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．
29．（2019·贵州安顺·统考中考真题）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【分析】（1）根据图象可得：当，，当，；再用待定系数法求解即可；
（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，；
∴，解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）由题意得：，
整理得：，解得：．，
∵让顾客得到更大的实惠，∴.
答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2023·河南周口·统考二模）已知和是方程的两个根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：和是方程的两个根，
．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程有两个实数根，，那么，，掌握上述内容是解题的关键．
31．（2023·浙江·一模）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值是9．B．当时，函数的最大值是9．
C．当时，函数的最小值是．D．当时，函数的最小值是．
【答案】C
【分析】根据二次方程的两根为和5，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【详解】解：二次方程的两根为和5，
，
解得，
二次函数，
，
当时，有最小值，最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．
32．（2023·宁夏银川·校考二模）已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围 ．
【答案】且
【分析】根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．
【详解】解：由二次函数与x轴有交点，得
一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故答案为∶ 且．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系， 把二次函数与x轴有交点问题转化为一元二次方程有实数根的问题，是解题的关键．
33．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义得出，即可求解．
【详解】解：依题意，且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键．
34．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意知第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x，列方程为，化简求解即可．
【详解】解：第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x
故根据题意列方程式为：
化简得：
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的表示每天的票房．
35．（2023·辽宁·校联考三模）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：
a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
36．（2023·辽宁营口·校考三模）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
【答案】15（1+x）2=21.6或15（x+1）2=21.6
【分析】利用2022年某款新能源汽车的销售量＝2020年某款新能源汽车的销售量×（1＋年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：由题意得：15（1+x）2=21.6．
故答案为：15（1+x）2=21.6．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
37．（2015年初中毕业升学考试（广东卷）数学（带解析））解方程：．
【答案】，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
38．（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【答案】(1)
(2)1万元
【分析】（1）设该公司销售产品每次的增长率为，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该公司销售产品每次的增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该公司销售产品每次的增长率为．
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答尽量减少库存，
．
答：每套产品需降价1万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
39．（2023·山西大同·校联考三模）阅读与思考
下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)计算： ；
(2)我们知道：；；；…；则 ；
(3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”
【答案】(1)1023132
(2)
(3)11人
【分析】（1）根据题材所给方法求解即可；
（2）设，则，即可求解；
（3）列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：1023132；
（2）解：设，则
∴得，，
故答案为．
（3）解：设这群人共有x人．
由题意，得．即．
解方程，得（舍去），．
答：这群人共有11人．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算及乘方，熟练掌握有理数的混合运算、乘方以及找准等量关系是解题的关键．
40．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根据二次函数的性质及对称轴即可解答；
（2）根据二次函数与轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为，，
∵该函数的最大值为，
∴该函数的顶点坐标为，
∴，
∴由①②可得：，
∴函数表达式为：；
（2）解：∵该函数的图象与轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，
∴，，
∴由①②可得（舍去），，
∴，；
（3）解：由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移个单位得到抛物线，
∴，
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为，
∴，随的增大而增大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
41．（2023·四川宜宾·统考三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
【答案】/
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，

过圆心O，，


设的半径为
∴



整理得：
解得：

不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
42.（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点，已知点，连接．

(1)求的面积；
(2)作直线，将直线向上平移个单位后，与双曲线有唯一交点，求的值．
【答案】(1)17.5
(2)
【分析】（1）将点代入直线和双曲线，即可求得直线和双曲线的解析式；由图形可得面积为和面积的和，分别求得和的面积即可求解；
（2）先求得直线解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程，令，即可求解．
【详解】（1）解：将代入直线得：
，解得
将代入双曲线得：
，解得
将代入直线得，，即
将代入直线得，，即
∴
，
由图像可得
（2）解：设直线解析式为，将、代入，得：
，解得
∴直线解析式为
直线向上平移个单位，则，联立双曲线得：
，化简得
∵与双曲线有唯一交点
∴
解得
又∵
∴
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
43．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点，已知点，连接．

(1)求的面积；
(2)作直线，将直线向上平移个单位后，与双曲线有唯一交点，求的值．
【答案】(1)17.5
(2)
【分析】（1）将点代入直线和双曲线，即可求得直线和双曲线的解析式；由图形可得面积为和面积的和，分别求得和的面积即可求解；
（2）先求得直线解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程，令，即可求解．
【详解】（1）解：将代入直线得：
，解得
将代入双曲线得：
，解得
将代入直线得，，即
将代入直线得，，即
∴
，
由图像可得
（2）解：设直线解析式为，将、代入，得：
，解得
∴直线解析式为
直线向上平移个单位，则，联立双曲线得：
，化简得
∵与双曲线有唯一交点
∴
解得
又∵
∴
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
44．（2023·山东临沂·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边AB上一点，过点，E作EF//BC．
(1)设以线段AE，AD为邻边的矩形的面积为，以BE为边的正方形的面积为，且，求BE的长；
(2)连结AC，DE，若H是DE的中点，交AC于点G，连结EG，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据题意，设，则，然后根据面积公式和，列出方程求解即可得到答案；
（2）连接，由线段垂直平分线的判定和性质可得，易证（SAS），可得，继而可证．
【详解】（1）解：设，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：（舍），
∴；
（2）解：如图，连接，
∵H是DE的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、线段垂直平分线的判定和性质、正方形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
求（n为正整数）方法欣赏
在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前n行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求（n为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏．
方法1：“头尾相加法”
把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2．
．
可得．即：
方法2：“递归法”（设）．
由完全平方公式可得，∴．
我们列出特殊情况：；
；
；
…
．
两边分别相加可得，．
∴．