【开学摸底考】九年级数学（人教版，湖南长沙专用）-2023-2024学年初中下学期开学摸底考试卷.zip

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（考试范围：中考全部内容 考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列数是有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查实数，整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
【详解】解：是有理数，故选项A符合题意；
，，是无理数，故选项B，C，D不符合题意．
故选：A．
2．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：B．
3．经测算，一粒芝麻的质量约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：D．
4．下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，从左到右的变形属于因式分解；
C、，故本选项不符合题意；
D、，是整式的乘法，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，直线，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得到，由此即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
6．某校有2000名学生，随机抽取了400名学生进行关于每天睡眠时间的问卷调查，下列说法正确的是（ ）
A．总体是该校2000名学生B．个体是每一个学生的每天睡眠时间
C．样本是抽取的400名学生D．样本容量是400名学生
【答案】B
【分析】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是正确记忆各自的概念．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【详解】解：A．总体是该校2000名学生的睡眠时间，说法错误，故A不符合题意；
B．个体是每一个学生的每天睡眠时间，说法正确，故B符合题意；
C．样本是抽取的400名学生的每天睡眠时间，说法错误，故C不符合题意；
D．样本容量是400，说法错误，故D不符合题意．
故选：B．
7．下列图象中，当时，函数与的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的判断，熟练掌握二次函数和一次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
根据直线经过的象限得到，，与矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，由此可对B进行判断；根据抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，由此可对C进行判断；根据抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，并且，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断．
【详解】解：A、直线经过的象限得到，，与矛盾，该选项是错误的，不符合题意；
B、抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，该选项是错误的，不符合题意；
C、根据抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，该选项是错误的，不符合题意；
D、根据抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，并且，得到直线与y轴的交点在x轴下方，该选项是正确的，符合题意；
故选：D．
8．在平行四边形中，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积比，设的面积为，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，推出，即可得出结果．
【详解】解：∵平行四边形中，
∴，
∴，
∴，
设的面积为，则：的面积为，
∵，
∴的面积为，
∴的面积为，
∴，
∴，
∴；
故选C．
9．据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够正确理解题意找到等量关系列出方程求解．
设一片槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶的一年的平均滞尘量为毫克，然后根据一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的槐树叶的片数相同列出方程求解即可．
【详解】解：设一片槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶的一年的平均滞尘量为毫克，
由题意得：．
故选A
10．如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（ ）．
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】过作轴于点，过作轴于点，设，则，结合勾股定理可求出x的值，进而可分别求出，，故可判断①②；由菱形的性质可求得的长度，结合勾股定理可求得，结合三角形相似的判定和性质可以得到点的坐标，则可求得双曲线解析式．设，将其代入反比例函数解析式即求得点的横坐标，由此可判断③；由菱形的性质可知，的面积等于菱形的面积的一半，即可判断④．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，
，
．
设，则．
∵四边形为菱形，
∴，
，即，
，
，，
，故①正确；
，故②错误；
∵，
．
在中，，，由勾股定理可得，
．
∵轴，，
∴，
∴，
∴．
为中点，即，
，，
，
．
双曲线过点，
，
双曲线解析式为．
由上可知，，故可设，
将其代入双曲线，得，
，
，故③正确；
，
，故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，勾股定理，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，坐标与图形．正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若代数式 有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据二次根式的意义、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式的被开方数大于等于零，分式的分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：，解得：且．
故答案为：且．
12．圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角为 ．
【答案】/288度
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图圆心角的计算，先根据题意求出圆锥底面圆的半径，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解，掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．
【详解】解：由题意得，圆锥底面圆的半径，
∴，
解得，
∴该圆锥侧面展开图的圆心角为，
故答案为：．
13．在函数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小．
∴点，位于第一象限，位于第三象限，
故答案为．
14．某养鱼专业户为了估计鱼塘中的鱼数，他首先从鱼塘中打捞出50条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，过几天后，再从鱼塘中打捞100条鱼，结果在这100条鱼中，有20条鱼是有记号的，那么可以估计这个鱼塘中大约有 条鱼．
【答案】250
【分析】首先求出有记号的50条鱼在总条数中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
考查了用样本估计总体，解题的关键是：总体数目=部分数目÷相应频率．
【详解】：∵打捞100条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，
∴有标记的鱼占，
∵共有50条鱼做上标记，
∴鱼塘中估计有（条）．
故答案为250．
15．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键．
根据根与系数的关系，得到，，代入中，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
一元二次方程的两根分别为，，
，，
．
故答案为：．
16．如图，是半的直径，点C在半上，，．D是上的一个动点，连接，过点C作于E，连接．在点D移动的过程中，的最小值为 ．

【答案】cm
【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．
如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点为，连接、，

，
，
，
在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，
是直径，
，
在中，，
，
在中，，
，
当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：（cm），
故答案为：cm．
三、解答题（本大题共9小题，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）
17．计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦函数值计算即可．
【详解】解：
．
18．先化简再求值：，其中．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值、解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则将式子化简，再解一元二次方程，选择合适的值，代入化简后的式子进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则以及解一元二次方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：
，
，
，
解得：，，
当时，，故不符合题意，
当时，原式．
19．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于原点中心对称的；并写出点的坐标；
(2)在（1）的条件下，求扇形的面积（结果保留π）．
【答案】(1)画图见解析，
(2)
【分析】本题考查了利用中心对称的性质作图，求解扇形的面积，理解中心对称的性质是解题的关键．
（1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点，，即可；
（2）利用勾股定理先求解，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
．
∴；
（2）如图，
∵，，
∴扇形的面积为．
20．北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；短道速滑所在扇形圆心角度数为______．
(2)补全条形统计图；
(3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪的概率．
【答案】(1)；；；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查画用树状图或列表的方法求等可能事件的概率，条形统计图和扇形统计图综合应用．
（1）利用花样滑冰的人数为人，又其所占的百分比，可求得调查总人数，对于用样本估计总体，即是用总体乘以样本所占百分比，求扇形统计图的圆心角度数，即是用乘以该项所占比，即可解题．
（2）利用扇形统计图中单板滑雪所占百分比，求得其人数，再结合题干中的其它数据算出自由式滑雪的人数，画图即可．
（3）列表求出12种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪C的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：由图知花样滑冰人数为人，所占百分比为，所以有（人），
该校共有名学生，则爱好花样滑冰运动的学生有（人），
短道速滑人数为人，所占比为，
则短道速滑所在扇形圆心角度数为．
故答案为：，，．
（2）解：由扇形统计图中单板滑雪所占百分比为，
所以单板滑雪人数为（人），
自由式滑雪的人数为（人），可画图如下：
（3）解：由题可列表如下：
由表可知，总的可能性有种，其中恰有一项为自由式滑雪的有种，
其中恰有一项为自由式滑雪的概率为．
21．如图，已知四边形是正方形，对角线相交于O，设E、F分别是上的点，若，，求四边形的面积．
【答案】8
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，通过证明得出，则，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，对角线相交于O，
∴，，且，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积是8．
22．某商店购进了一种消毒用品,进价为每件元,在销售过程中发现,每天的销售量件与每件售价(元)之间存在一次函数关系(其中,且为整数).当每件消毒用品售价为元时,每天的销售量为件;当每件消毒用品售价为元时,每天的销售量为件．
(1)求与之间的函数关系式;
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润,则每件消毒用品的售价为多少元?
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利(元),当每件消毒用品的售价为多少元时每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
【答案】(1)
(2)元
(3)15元，525元
【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最值．
(1)根据给定的数据,利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
(2)根据题意列出利润的一元二次方程,正确解出即可,并注意的取值范围；
(3)利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润每天的销售量,即可得出关于的函数关系式,再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解:∵销售量件与每件售价(元)之间存在一次函数关系,
∴设,
∵每件消毒用品售价为元时,每天的销售量为件;当每件消毒用品售价为元时,每天的销售量为件,
∴把代入中得:
,
∴解得:,
∴,
故答案为:；
（2）解:∵进价为每件元,每天获得元的利润
∴,
整理得:,
∴解得:,
∵,且为整数,
∴；
答：每件消毒品的售价为13元；
（3）解:设该商店销售这种消毒用品每天获利(元),
∵进价为每件元,
∴,
整理得:,
∵,
∴开口向下函数有最大值,
∵,且为整数,
∵对称轴是,
∴当时,随的增大而增大,
∴当时,有最大值为525元,
答:每件消毒用品的售价为元时,每天的销售利润最大,最大利润是元．
23．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交射线于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识．
（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；
（2）由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；
（3））由，，则，则是等边三角形，所以，则，所以，因为是等边三角形，平分，可得，即得到的直径为8，半径为4，再证是等边三角形，得到，，因此，根据得到，从而利用“”证得，则阴影部分的面积等于扇形的面积．
【详解】（1）解：如图，
连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线；
（2）∵线段是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）连接交于N，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，平分，
∴，
，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
24．《正气歌》是南宋诗人文天祥写的一首五言古诗，“天地有正气，杂然赋流形．”诗的开头即点出浩然正气存乎天地之间，全诗感情深沉、气壮山河．我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点为“正气点”．
(1)若点是反比例函数（为常数，）的图象上的“正气点”求这个反比例函数的解析式；
(2)若函数（为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，且这两点都在第一象限，求的取值范围；
(3)若二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“正气点”，当常数满足时，求一次函数与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义可得，将代入得即可求解；
（2）根据题意联立两个方程，即有2个实数根，根据判别式的意义得出，根据根与系数的关系得出，即可求解；
（3）根据题意可得有两个相等的实数根，进而得出，代入，可，根据题意得出一次函数与轴的交点坐标，进而设一次函数与轴，轴所围成的三角形面积为，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
【详解】（1）解：∵点是反比例函数（为常数，）的图象上的“正气点”
∴，则，
当时，，代入， 得，
当时，，代入， 得
∴或
（2）解：∵函数（为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，设这两个点的横坐标分别为
∴，即有2个实数根，
∴，
解得：，
∵这两点都在第一象限，
∴即
解得：
∴
（3）解： 设二次函数的图象上的“正气点”为
∵二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“正气点”，
∴有两个相等的实数根，
即，
∴
∴
∴
∵
∴一次函数的函数图象经过一、二、三象限，
当时，
当时，
设一次函数与轴，轴所围成的三角形面积为
∴，
∴，
∵，
∴当即时，取得最小值，最小值为，
∴的最大值为，
当时，取得最大值，最大值为,
∴取得最小值为．
∴
【点睛】本题结合新定义综合考查了二次函数的性质反比例函数的性质，一次函数与坐标轴交点问题，一元二次方程根的判别式的意义，关键是运用新定义设坐标结合二次函数增减性变化及最值取得的条件建立新的二次函数．
25．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点．
(1)如图2，当时，求点的坐标；
(2)如图3，在旋转过程中，连接，，交于点，与轴交于点，连接．设，的面积为．
①求的度数；
②求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围；
在（2）的情况下，设，的面积为，．请直接写出关于的函数表达式（无需写出的取值范围）．
【答案】(1)
(2)①，②
(3)
【分析】（1）根据题意，得到，故，在中，利用勾股定理，得到，由此得到答案．
（2）①过点作交于点，通过证明，得到，又，故，即点为等腰直角斜边的中点，由此得到答案．
②通过证明，得到，，在中，由勾股定理得：，即，由此得到．
（3）由（2）得到，，在等腰中，由勾股定理得：，又，，故，把代入得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，
得到如图正方形，
由旋转的性质得：
，
四边形是正方形，
，，
在中，
，
由勾股定理，
得：，
，
解得：，，
点的坐标为．
（2）根据题意，由旋转的性质，
得：，
在和中，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
在中，由勾股定理得：
，
，
如图，过点作交于点，
则，即，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
又，
，
即点为等腰直角斜边的中点，
综上：①；
②
（3）根据题意，如图所示，
由（2）得：
，，
在等腰中，由勾股定理得：
，
即，
，
，
又的面积为，
，
，
，
把代入得：
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理，利用已知条件，作正确的辅助线，构造全等的三角形，是解答本题的关键．