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章末复习 教案
展开章末复习 【知识与技能】 掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的运用,及在实数范围内分解因式的方法,培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力. 【过程与方法】 通过寻求乘法公式与因式分解的关系,理解因式分解的含义. 【情感态度】 通过因式分解的学习,体会整体数学思想和转化的数学思想. 【教学重点】 熟练运用各种方法来进行因式分解. 【教学难点】 因式分解各种方法的综合运用,利用因式分解解决数学问题. 一、知识结构 分解因式 【教学说明】引导学生回顾本章知识点,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 二、释疑解惑,加深理解 1.因式分解的定义 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解. 2.提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到括号外面,这种分解因式的方法叫做提公因式法. 3.公式法 (1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b). 即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积. (2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2. 其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式. 【教学说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算. (2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验. 三、典例精析,复习新知 例1下列变形是否是因式分解?为什么? (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2; (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn. 解:(1)不是因式分解,因为因式分解是恒等变形而本题不恒等; (2)不是因式分解,不满足因式分解的含义; (3)不是因式分解,因为因式分解是恒等变形而本题不恒等; (4)不是因式分解,是整式乘法. 例2下列变形是否正确?为什么? (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y); (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2; (3)x2-2x-1=(x-1)2. 解:(1)不正确,目前在有理数范围内不能再分解; (2)不正确,4x2-6xy+9y2不是完全平方式,不能用完全平方公式进行分解,而且在有理数范围内不能再分解; (3)不正确,x2-2x-1不是完全平方式,不能用完全平方公式进行分解,而且在有理数范围内也不能分解. 例3用提公因式法将下列各式因式分解. (1)ax-ay;(2)6xyz-3xz2;(3)-x3z+x4y; (4)36aby-12abx+6ab;(5)3x(a-b)+2y(b-a); (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m). 分析:(1)~(4)题直接提取公因式分解即可,(5)题和(6)题首先要适当的变形,其中(5)题把b-a化成-(a-b)的,(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y),然后再提取公因式. 解:(1)ax-ay=a(x-y); (2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z); (3)-x3z+x4y=x3(-z+xy); (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1); (5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y); (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m) =x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y) =(m-x)(m-y)(x-m) =-(m-x)2(m-y). 例4用公式法分解因式. (1)m2+2m+1;(2)9x2-12x+4; (3)1-10x+25x2;(4)(m+n)2-6(m+n)+9; (5)4x2-9. 解:(1)m2+2m+1=(m+1)2; (2)9x2-12x+4=(3x-2)2; (3)1-10x+25x2=(1-5x)2; (4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2; (5)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). 例5分解因式. (1)x3-2x2+x; (2)(a+b)2-4a2; (3)x4-81x2y2; (4)x2(x-y)+y2(y-x); (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2. 解:(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2; (2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a); (3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y); (4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y) =(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y) =(x+y)(x-y)2; (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2 =[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)] =2a·(2b+2c) =4a(b+c). 【教学说明】基础习题的练习,促进学生对于上面知识点的理解,也有利于学生发现自己的学习漏洞,及时弥补,同时也为本节课做了一个很好的知识铺垫. 四、复习训练,巩固提高 1.若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k= . 分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差). 解:∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2, ∴±kxy=2·3x·6y=36xy. ∴k=±36. 2.利用因式分解计算下列各题. (1)7.6×201.4+4.3×201.4-1.9×201.4; (2)20142-4028×2015+20152; (3)5652×11-4352×11; (4)(5)2-(2)2. 解:(1)原式=2014;(2)原式=1;(3)原式=1430000;(4)原式=28. 3.计算: 分析:本题旨在考查因式分解的灵活运用, 4.解方程组 分析:本题是一个二元二次方程组,就目前的知识水平来说,用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5,再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中,即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出. 解:由①得(x+2y)(x-2y)=5③, 把②代入③中得x+2y=5④, ∴原方程组化为 ②+④得2x=6,∴x=3. ②-④得4y=4,∴y=1. ∴原方程组的解为 5.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值. 解:x3y-2x2y2+xy3=xy(x2-2xy+y2) =xy(x-y)2. 当x-y=1,xy=2时, 原式=2×12=2. 6.已知x-y=2,x2-y2=6,求x与y的值. 解:∵x2-y2=6, ∴(x+y)(x-y)=6. 又∵x-y=2①, ∴x+y=3②. 由①②组成方程组 解得 7.四个连续自然数的积再加上1,一定是一个完全平方数. 解:设这四个连续自然数依次为n,n+1,n+2,n+3,则 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2 ∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数. 【教学说明】这些训练题有一定的难度,应对学生分层教学. 五、师生互动,课堂小结 解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式或提取公因式后,再考虑能否用公式法,最后,直到每一个因式都不能再分解为止. 1.布置作业:教材第69页“复习题3”中第1、3、4、7、9题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. (1)对象:因式分解是把一个多项式进行恒等变形; (2)方向:因式分解与整式的乘法是互逆的过程,具有方向性; (3)目标:是要把一个多项式化成几个整式的乘积; (4)最终:把一个多项式分解到不能再分解为止.