1.6 平行线几何模型(M模型)(巩固培优篇) 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练(含答案)
展开专题1.16 平行线几何模型(M模型) (巩固培优篇)(专项练习) 1.已知直线AB//CD,EF是截线,点M在直线AB、CD之间. (1) 如图1,连接GM,HM.求证:∠M=∠AGM+∠CHM; (2) 如图2,在∠GHC的角平分线上取两点M、Q,使得∠AGM=∠HGQ.试判断∠M与∠GQH之间的数量关系,并说明理由. 2.阅读下面内容,并解答问题. 已知:如图1,,直线分别交,于点,.的平分线与的平分线交于点. 求证:; 填空,并从下列①、②两题中任选一题说明理由.我选择 题. ①在图1的基础上,分别作的平分线与的平分线交于点,得到图2,则的度数为 . ②如图3,,直线分别交,于点,.点在直线,之间,且在直线右侧,的平分线与的平分线交于点,则与满足的数量关系为 . 3.已知直线,直线EF分别与直线a,b相交于点E,F,点A,B分别在直线a,b上,且在直线EF的左侧,点P是直线EF上一动点(不与点E,F重合),设∠PAE=∠1,∠APB=∠2,∠PBF=∠3. 如图,当点在线段上运动时,试说明∠1+∠3=∠2; 当点P在线段EF外运动时有两种情况. ①如图2写出∠1,∠2,∠3之间的关系并给出证明; ②如图3所示,猜想∠1,∠2,∠3之间的关系(不要求证明). 4.问题情境:如图①,直线,点E,F分别在直线AB,CD上. 猜想:若,,试猜想______°; 探究:在图①中探究,,之间的数量关系,并证明你的结论; 拓展:将图①变为图②,若,,求的度数. 5.如图: (1) 如图1,,,,直接写出的度数. (2) 如图2,,点为直线,间的一点,平分,平分,写出与之间的关系并说明理由. (3) 如图3,与相交于点,点为内一点,平分,平分,若,,直接写出的度数. 6.(1)已知:如图(a),直线.求证:; (2)如图(b),如果点C在AB与ED之外,其他条件不变,那么会有什么结果?你还能就本题作出什么新的猜想? 7.如图,,点E在直线AB,CD内部,且. (1)如图1,连接AC,若AE平分,求证:平分; (2)如图2,点M在线段AE上, ①若,当直角顶点E移动时,与是否存在确定的数量关系?并说明理由; ②若(为正整数),当直角顶点E移动时,与是否存在确定的数量关系?并说明理由. 8.已知直线l1//l2, A是l1上的一点,B是l2上的一点,直线l3和直线l1,l2交于C和D,直线CD上有一点P. (1)如果P点在C,D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系?请说明理由. (2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与C,D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?(请直接写出答案,不需要证明) 9.(1)如图,AB//CD,CF平分∠DCE,若∠DCF=30°,∠E=20°,求∠ABE的度数; (2)如图,AB//CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°,求∠ABE的度数. (3)如图,P为(2)中射线BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,GN//PQ,GM平分∠DGP,若∠B=30°,求∠MGN的度数. 10.如图1,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°; 若∠E=60°,则∠F= ; 请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由; 如图2,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数. 11.如图1,AB//CD,E是AB,CD之间的一点. 判定∠BAE,∠CDE与∠AED之间的数量关系,并证明你的结论; 如图2,若∠BAE,∠CDE的角平分线交于点F,直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系; 将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若∠AGD的余角等于2∠E的补角,求∠BAE的大小. 12.已知AB//CD. (1)如图1,E为AB,CD之间一点,连接BE,DE,得到∠BED.求证:∠BED=∠B+∠D; (2)如图,连接AD,BC,BF平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BF,DF所在的直线交于点F. ①如图2,当点B在点A的左侧时,若∠ABC=50°,∠ADC=60°,求∠BFD的度数. ②如图3,当点B在点A的右侧时,设∠ABC=α,∠ADC=β,请你求出∠BFD的度数.(用含有α,β的式子表示) 13.已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上. (1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为: ;(不需要证明) 如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为: ;(不需要证明) (2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数; (3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数. 14.如图1,点、分别在直线、上,,. (1)求证:;(提示:可延长交于点进行证明) (2)如图2,平分,平分,若,求与之间的数量关系; (3)在(2)的条件下,如图3,平分,点在射线上,,若,直接写出的度数. 15.已知ABCD,∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F. (1)如图1,若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线,且∠BED=100°,求∠M的度数; (2)如图2,若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,∠BED=α°,求∠M的度数; (3)若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系. 16.已知直线AM、CN和点B在同一平面内,且AM∥CN,AB⊥BC. (1)如图1,求∠A和∠C之间的数量关系; (2)如图2,若BD⊥AM,垂足为D,求证:∠ABD=∠C; (3)如图3,已知点D、E、F都在直线AM上,且∠ABD=∠NCB,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD.若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,请直接写出∠EBC的度数. 17.如图1,点在直线上,点在直线上,点在,之间,且满足. (1)证明:; (2)如图2,若,,点在线段上,连接,且,试判断与的数量关系,并说明理由; (3)如图3,若(为大于等于的整数),点在线段上,连接,若,则______. 18.如图1,直线ABCD,点P在两平行线之间,点E在AB上,点F在CD上,连接PE,PF. (1)若∠PEB=60°,∠PFD=50°,请求出∠EPF.(请写出必要的步骤,并说明理由) (2)如图2,若点P,Q在直线AB与CD之间时,∠1=30°,∠2=40°,∠3=70°,请求出∠4= .(不需说明理由,请直接写出答案) (3)如图3,在图1的基础上,作P1E平分∠PEB,P1F平分∠PFD,若设∠PEB=x°,∠PFD=y°,则∠P1= (用含x,y的式子表示).若P2E平分∠P1EB,P2F平分∠P1FD,可得∠P2;P3E平分∠P2EB,P3F平分∠P2FD,可得∠P3…,依次平分下去,则∠Pn= .(用含x,y的式子表示) 19.已知,点为平面内一点,于. (1)如图1,点在两条平行线外,则与之间的数量关系为______; (2)点在两条平行线之间,过点作于点. ①如图2,说明成立的理由; ②如图3,平分交于点平分交于点.若,求的度数. 20.如图1,MN∥PQ,点C、B分别在直线MN、PQ上,点A在直线MN、PQ之间. (1)求证:∠CAB=∠MCA+∠PBA; (2)如图2,CD∥AB,点E在PQ上,∠ECN=∠CAB,求证:∠MCA=∠DCE; (3)如图3,BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AF∥CG.若∠CAB=60°,求∠AFB的度数. 21.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,. (1)= ; (2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求 的度数; (3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若 ,,且,求n的值. 22.如图1,//,点、分别在、上,点在直线、之间,且. (1)求的值; (2)如图2,直线分别交、的角平分线于点、,直接写出的值; (3)如图3,在内,;在内,,直线分别交、分别于点、,且,直接写出的值. 23.已知,定点,分别在直线,上,在平行线,之间有一动点. (1)如图1所示时,试问,,满足怎样的数量关系?并说明理由. (2)除了(1)的结论外,试问,,还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 (3)当满足,且,分别平分和, ①若,则__________°. ②猜想与的数量关系.(直接写出结论) 24.如图1,由线段组成的图形像英文字母,称为“形”. (1)如图1,形中,若,则______; (2)如图2,连接形中两点,若,试探求与的数量关系,并说明理由; (3)如图3,在(2)的条件下,且的延长线与的延长线有交点,当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中,直接写出与所有可能的数量关系. 参考答案 1.(1)证明见详解 (2);理由见详解 【分析】(1)过点作,由,可知.由此可知:,,故; (2)由(1)可知.再由,∠AGM=∠HGQ,可知 :,利用三角形内角和是180°,可得. (1) 解:如图:过点作, ∴, ∴,, ∵, ∴. (2)解:,理由如下: 如图:过点作, 由(1)知, ∵平分, ∴, ∵∠AGM=∠HGQ, ∴, ∵, ∴. 【点拨】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系,正确的作出辅助线是解决本题的关键,同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用. 2.(1)见分析 (2)①;②结论: 【分析】(1)利用平行线的性质解决问题即可; (2)①利用基本结论求解即可;②利用基本结论,,求解即可. 解:(1)证明:如图,过作, , , , , 平分,平分, ,, , 在中,, , ; (2)解:①如图2中,由题意,, 平分,平分, , , 故答案为:; ②结论:. 理由:如图3中,由题意,,, 平分,平分, ,, , 故答案为:. 【点拨】本题考查平行线的性质和判定,角平分线的性质,垂直的定义,解题的关键是熟练掌握相关的性质. 3.(1)证明见详解 (2)①;证明见详解;②;证明见详解 【分析】(1)如图4过点作,利用平行线的传递性可知,根据平行线的性质可知,,根据等量代换就可以得出; (2)①如图5过点作,利用平行线的传递性可知,根据平行线的性质可知,,根据等量代换就可以得出; ②如图6过点作,利用平行线的传递性可知,根据平行线的性质可知,,根据等量代换就可以得出. (1)解:如图4所示:过点作, ∵ ∴ ∴,, ∵, ∴; (2)解:①如图5过点作, ∵ ∴ ∴,, ∵, ∴; ②如图6过点作, ∵ ∴ ∴,, ∵, ∴. 【点拨】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系,准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键. 4.(1) (2);证明见详解 (3) 【分析】(1)过点作,利用平行的性质就可以求角度,解决此问; (2)利用平行线的性质求位置角的数量关系,就可以解决此问; (3)分别过点、点作、,然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可. (1)解:如图过点作, ∵, ∴. ∴, . ∵,, ∴ ∴. ∵, ∴∠P=80°. 故答案为:; (2)解:,理由如下: 如图过点作, ∵, ∴. ∴, . ∴ ∵, . (3)如图分别过点、点作、 ∵, ∴. ∴, , . ∴ ∵, , , ∴ ∴ 故答案为:. 【点拨】本题考查了平行线的性质定理,准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键. 5.(1)∠BED=66°;(2)∠BED=2∠F,见分析;(3)∠BED的度数为130°. 【分析】(1)首先作EF∥AB,根据直线AB∥CD,可得EF∥CD,所以∠ABE=∠1=45°,∠CDE=∠2=21°,据此推得∠BED=∠1+∠2=66°; (2)首先作EG∥AB,延长DE交BF于点H,利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F; (3)延长DF交AB于点H,延长GE到I,利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°. 解:(1)如图,作EF∥AB, , ∵直线AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠ABE=∠1=45°,∠CDE=∠2=21°, ∴∠BED=∠1+∠2=66°; (2)解:∠BED=2∠F, 理由是:过点E作EG∥AB,延长DE交BF于点H, ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EG, ∴∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4, 又∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE, ∴∠2=∠1,∠3=∠4,则∠5=2∠2,∠6=2∠3, ∴∠BED=2(∠2+∠3) , 又∠F+∠3=∠BHD,∠BHD+∠2=∠BED, ∴∠3+∠2+∠F=∠BED, 综上∠BED=∠F+12∠BED,即∠BED=2∠F; (3)解:延长DF交AB于点H,延长GE到I, ∵∠BGD=60°, ∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°,∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°, ∴∠2+∠1=35°,即2(∠2+∠1) =70°, ∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE, ∴∠ABE=2∠2,∠CDE=2∠1, ∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE,∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE, ∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°, ∴∠BED的度数为130°. 【点拨】本题考查了平行线的判定和性质,三角形的外角性质等知识,掌握平行线的判定和性质,正确添加辅助线是解题关键. 6.(1)见分析;(2)当点C在AB与ED之外时,,见分析 【分析】(1)由题意首先过点C作CF∥AB,由直线AB∥ED,可得AB∥CF∥DE,然后由两直线平行,内错角相等,即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD; (2)根据题意首先由两直线平行,内错角相等,可得∠ABC=∠BFD,然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD. 解:(1)证明:过点C 作CF∥AB, ∵AB∥ED, ∴AB∥ED∥CF, ∴∠BCF=∠ABC,∠DCF=∠EDC, ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD; (2)结论:∠ABC-∠CDE=∠BCD, 证明:如图: ∵AB∥ED, ∴∠ABC=∠BFD, 在△DFC中,∠BFD=∠BCD+∠CDE, ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE, ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD. 若点C在直线AB与DE之间,猜想, ∵AB∥ED∥CF, ∴ ∴. 【点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质,熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键,注意掌握辅助线的作法. 7.(1)见分析;(2)①∠BAE+∠MCD=90°,理由见分析;②∠BAE+∠MCD=90°,理由见分析. 【分析】(1)根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°,再根据可得∠EAC+∠ECA=90°,根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°,继而求得∠DCE=∠ECA; (2)①过E作EF∥AB,先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD,再利用平行线的性质及已知条件可推得答案; ②过E作EF∥AB,先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD,再利用平行线的性质及已知条件可推得答案. (1)解:因为, 所以∠BAC+∠DCA=180°, 因为, 所以∠EAC+∠ECA=90°, 因为AE平分∠BAC, 所以∠BAE=∠EAC, 所以∠BAE+∠DCE=90°, 所以∠EAC+∠DCE=90°, 所以∠DCE=∠ECA, 所以CE平分∠ACD; (2)①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系:∠BAE+∠MCD=90°, 理由如下: 过E作EF∥AB, ∵AB∥CD, ∴EF∥AB∥CD, ∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE, ∵∠E=90°, ∴∠BAE+∠ECD=90°, ∵∠MCE=∠ECD, ∴∠BAE+∠MCD=90°; ②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系:∠BAE+∠MCD=90°, 理由如下: 过E作EF∥AB, ∵AB∥CD, ∴EF∥AB∥CD, ∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE, ∵∠E=90°, ∴∠BAE+∠ECD=90°, ∵∠MCE=∠ECD, ∴∠BAE+∠MCD=90°. 【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义,解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质. 8.(1);(2)当点在直线上方时,;当点在直线下方时,. 【分析】(1)过点作,由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出,再由“两直线平行,内错角相等”得出、,再根据角与角的关系即可得出结论; (2)按点的两种情况分类讨论:①当点在直线上方时;②当点在直线下方时,同理(1)可得、,再根据角与角的关系即可得出结论. 解:(1). 过点作,如图1所示. ,, , ,, , . (2)结论:当点在直线上方时,;当点在直线下方时,. ①当点在直线上方时,如图2所示.过点作. ,, , ,, , . ②当点在直线下方时,如图3所示.过点作. ,, , ,, , . 【点拨】本题考查了平行线的性质以及角的计算,解题的关键是根据“两直线平行,内错角相等”找到相等的角.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据平行线的性质得出相等(或互补)的角是关键. 9.(1)∠ABE=40°;(2)∠ABE=30°;(3)∠MGN=15°. 【分析】(1)过E作EMAB,根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可; (2)过E作EMAB,过F作FNAB,根据平行线的判定与性质,角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可; (3)过P作PLAB,根据平行线的判定与性质,三角形的内角和定理,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分线的定义解答即可. 解:(1)过E作EMAB, ∵ABCD, ∴CDEMAB, ∴∠ABE=∠BEM,∠DCE=∠CEM, ∵CF平分∠DCE, ∴∠DCE=2∠DCF, ∵∠DCF=30°, ∴∠DCE=60°, ∴∠CEM=60°, 又∵∠CEB=20°, ∴∠BEM=∠CEM﹣∠CEB=40°, ∴∠ABE=40°; (2)过E作EMAB,过F作FNAB, ∵∠EBF=2∠ABF, ∴设∠ABF=x,∠EBF=2x,则∠ABE=3x, ∵CF平分∠DCE, ∴设∠DCF=∠ECF=y,则∠DCE=2y, ∵ABCD, ∴EMABCD, ∴∠DCE=∠CEM=2y,∠BEM=∠ABE=3x, ∴∠CEB=∠CEM﹣∠BEM=2y﹣3x, 同理∠CFB=y﹣x, ∵2∠CFB+(180°﹣∠CEB)=190°, ∴2(y﹣x)+180°﹣(2y﹣3x)=190°, ∴x=10°, ∴∠ABE=3x=30°; (3)过P作PLAB, ∵GM平分∠DGP, ∴设∠DGM=∠PGM=y,则∠DGP=2y, ∵PQ平分∠BPG, ∴设∠BPQ=∠GPQ=x,则∠BPG=2x, ∵PQGN, ∴∠PGN=∠GPQ=x, ∵ABCD, ∴PLABCD, ∴∠GPL=∠DGP=2y, ∠BPL=∠ABP=30°, ∵∠BPL=∠GPL﹣∠BPG, ∴30°=2y﹣2x, ∴y﹣x=15°, ∵∠MGN=∠PGM﹣∠PGN=y﹣x, ∴∠MGN=15°. 【点拨】此题考查平行线的判定与性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,解题关键在于作辅助线和掌握判定定理. 10.(1) (2),理由见分析 (3) 【分析】(1)如图1,分别过点,作,,根据平行线的性质得到,,,代入数据即可得到结论; (2)如图1,根据平行线的性质得到,,由,,得到,根据平行线的性质得到,于是得到结论; (3)如图2,过点作,设,则,根据角平分线的定义得到,,根据平行线的性质得到,,于是得到结论. (1)解:如图1,分别过点,作,, , ,, 又,, , , 又, , ,, ; 故答案为:; (2)解:如图1,分别过点,作,, , ,, 又,, , , 又, , ,, , ; (3)解:如图2,过点作, 由(2)知,, 设,则, 平分,平分, ,, , ,, , . 【点拨】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键. 11.(1);(2);(3) 【分析】(1)作EF∥AB,如图1,则EF∥CD,利用平行线的性质得∠1=∠EAE,∠2=∠CDE,从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED (2)如图2,由(1)的结论得∠AFD=∠BAE,∠CDF=∠CDE,则∠AFD=(∠BAE+∠CDE),加上(1)的结论得到∠AFD=∠AED; (3)由(1)的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG,利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF,再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE,加上90°-∠AGD=180°-2∠AED,从而计算出∠BAE的度数. 解:(1)∠BAE+∠CDE=∠AED 理由如下: 作EF∥AB,如图1 ∵AB∥CD ∴EF∥CD ∴∠1=∠BAE,∠2=∠CDE ∴∠BAE+∠CDE=∠AED (2)如图2,由(1)的结论得 ∠AFD=∠BAF+∠CDF ∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F ∴∠BAF=∠BAE,∠CDF=∠CDE ∴∠AFE=(∠BAE+∠CDE) ∵∠BAE+∠CDE=∠AED ∴∠AFD=∠AED (3)由(1)的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG 而射线DC沿DE翻折交AF于点G ∴∠CDG=4∠CDF ∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2(∠AED-∠BAE)=2∠AED-∠BAE ∵90°-∠AGD=180°-2∠AED ∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED ∴∠BAE=60° 【点拨】本题考查了平行线性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等. 12.(1)见分析;(2)55°;(3) 【分析】(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可; (2)①如图2,过点作,当点在点的左侧时,根据,,根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数; ②如图3,过点作,当点在点的右侧时,,,根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数. 解:(1)如图1,过点作, 则有, , , , ; (2)①如图2,过点作, 有. , . . . 即, 平分,平分, ,, . 答:的度数为; ②如图3,过点作, 有. , , . . . 即, 平分,平分, ,, . 答:的度数为. 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质. 13.(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不变,30° 【分析】(1)过E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;过F作FH∥AB,易得FH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解; (2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(∠BME+∠END)+∠BMF-∠FND=180°,可求解∠BMF=60°,进而可求解; (3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME,进而可求解. 解:(1)过E作EH∥AB,如图1, ∴∠BME=∠MEH, ∵AB∥CD, ∴HE∥CD, ∴∠END=∠HEN, ∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END, 即∠BME=∠MEN﹣∠END. 如图2,过F作FH∥AB, ∴∠BMF=∠MFK, ∵AB∥CD, ∴FH∥CD, ∴∠FND=∠KFN, ∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND, 即:∠BMF=∠MFN+∠FND. 故答案为∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND. (2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND. ∵NE平分∠FND,MB平分∠FME, ∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END, ∵2∠MEN+∠MFN=180°, ∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°, ∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°, 即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°, 解得∠BMF=60°, ∴∠FME=2∠BMF=120°; (3)∠FEQ的大小没发生变化,∠FEQ=30°. 由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END, ∵EF平分∠MEN,NP平分∠END, ∴∠FEN=∠MEN=(∠BME+∠END),∠ENP=∠END, ∵EQ∥NP, ∴∠NEQ=∠ENP, ∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=(∠BME+∠END)﹣∠END=∠BME, ∵∠BME=60°, ∴∠FEQ=×60°=30°. 【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义,作平行线的辅助线是解题的关键. 14.(1)见分析;(2),见分析;(3)或. 【分析】(1)根据平行线的判定与性质求证即可; (2)根据三角形的内角和为180°和平角定义得到,结合平行线的性质得到,再根据角平分线的定义证得,结合已知即可得出结论; (3)分当在直线下方和当在直线上方两种情况,根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可. 解:(1)如图1,延长交于点, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴; (2)延长交于点,交于点, ∵,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵平分,平分, ∴,, ∴, ∵,, ∴; (3)当在直线下方时,如图,设射线交于, ∵, ∴, ∵平分, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∵,, ∴, 即, 解得:. 当在直线上方时,如图,同理可证得, 则有, 解得:. 综上,故答案为或. 【点拨】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键. 15.(1)65°(2)(3)2n∠M+∠BED=360° 【分析】(1)首先作EGAB,FHAB,利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°,再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°,从而得到∠BFD的度数,再根据角平分线的定义可求∠M的度数; (2)先由已知得到∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,由(1)得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED,∠M=∠ABM+∠CDM,等量代换即可求解; (3)先由已知得到,,由(2)的方法可得到2n∠M+∠BED=360°. 解:(1)如图1,作,, ∵, ∴, ∴,,,, ∴, ∵, ∴, ∵的角平分线和的角平分线相交于F, ∴, ∴, ∵、分别是和的角平分线, ∴,, ∴, ∴; (2)如图2,∵,, ∴,, ∵与两个角的角平分线相交于点, ∴,, ∴, ∵, ∴, ∴; (3)∵∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF, ∴,, ∵与两个角的角平分线相交于点, ∴,, ∴, ∵, ∴. 【点拨】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算,关键在于掌握两直线平行同位角相等,内错角相等,同旁内角互补的性质. 16.(1)∠A+∠C=90°;(2)见分析;(3)∠EBC=105°. 【分析】(1)通过平行线性质和直角三角形内角关系求解. (2)画辅助平行线找角的联系. (3)利用(2)的结论,结合角平分线性质求解. 解:(1)如图1, ∵AM∥CN, ∴∠C=∠AOB, ∵AB⊥BC, ∴∠ABC=90°, ∴∠A+∠AOB=90°, ∠A+∠C=90°, 故答案为:∠A+∠C=90°; (2)如图2,过点B作BG∥DM, ∵BD⊥AM, ∴DB⊥BG, ∴∠DBG=90°, ∴∠ABD+∠ABG=90°, ∵AB⊥BC, ∴∠CBG+∠ABG=90°, ∴∠ABD=∠CBG, ∵AM∥CN, ∴∠C=∠CBG, ∴∠ABD=∠C; (3)如图3,过点B作BG∥DM, ∵AM∥CN, ∴CN∥BG, ∴∠CBG=∠BCN, ∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD, ∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE, ∵∠ABD=∠NCB, ∴∠ABD=∠CBG, ∴∠ABF=∠GBF, 设∠DBE=α,∠ABF=β, 则∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG, ∠GBF=∠AFB=β, ∠BFC=3∠DBE=3α, ∵BG∥DM, ∴∠DFB=∠GBF=β, ∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β, ∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°, ∴∠FCB=∠AFC=3α+β, △BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得: 2α+β+3α+3α+β=180°, ∵AB⊥BC, ∴β+β+2α=90°, ∴α=15°, ∴∠ABE=15°, ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°. 【点拨】本题考查平行线性质,三角形内角和定理,角平分线的定义,画辅助线,找到角的关系是求解本题的关键. 17.(1)见分析;(2)见分析;(3)n-1 【分析】(1)连接AB,根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°,即可得证; (2)作CF∥ST,设∠CBT=α,表示出∠CAN,∠ACF,∠BCF,根据AD∥BC,得到∠DAC=120°,求出∠CAE即可得到结论; (3)作CF∥ST,设∠CBT=β,得到∠CBT=∠BCF=β,分别表示出∠CAN和∠CAE,即可得到比值. 解:(1)如图,连接, , , , , (2), 理由:作,则 如图, 设,则. ,, ,, . 即. (3)作,则 如图,设,则. , , , , , 故答案为. 【点拨】本题主要考查平行线的性质和判定,解题关键是角度的灵活转换,构建数量关系式. 18.(1)110°;(2)80°;(3) 【分析】(1)过点P作PH∥AB∥CD,根据平行线的性质:两直线平行,内错角相等即可证得; (2)同理依据两直线平行,内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3,求得∠4=80°; (3)利用(1)的结论和角平分线的性质即可写出结论. 解:(1)如图1, 过点P作PH∥AB∥CD, ∴∠1=∠EPH,∠2=∠FPH, 而∠EPF=∠EPH+∠FPH, ∴∠EPF=∠1+∠2=110°; (2)过点P作,, , , , , ,, ,, ∴∠1+∠4=∠2+∠3, ∵∠1=30°,∠2=40°,∠3=70°, ∴∠4=80°, 故答案为:80°; (3)过点P作, 平分, , 同理, ∴ , 同理, 故答案为:,. 【点拨】本题考查了平行线性质的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,学会探究规律,利用规律解决问题. 19.(1)∠A+∠C=90°;(2)①见分析;②105° 【分析】(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可; (2)①过点B作BG∥DM,根据平行线找角的联系即可求解;②先过点B作BG∥DM,根据角平分线的定义,得出∠ABF=∠GBF,再设∠DBE=α,∠ABF=β,根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得2α+β+3α+3α+β=180°,根据AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程组即可得到∠ABE=15°,进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°. 解:(1)如图1,AM与BC的交点记作点O, ∵AM∥CN, ∴∠C=∠AOB, ∵AB⊥BC, ∴∠A+∠AOB=90°, ∴∠A+∠C=90°; (2)①如图2,过点B作BG∥DM, ∵BD⊥AM, ∴DB⊥BG, ∴∠DBG=90°, ∴∠ABD+∠ABG=90°, ∵AB⊥BC, ∴∠CBG+∠ABG=90°, ∴∠ABD=∠CBG, ∵AM∥CN,BG∥DM, ∴∠C=∠CBG, ∠ABD=∠C; ②如图3,过点B作BG∥DM, ∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD, ∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE, 由(2)知∠ABD=∠CBG, ∴∠ABF=∠GBF, 设∠DBE=α,∠ABF=β, 则∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG, ∠GBF=∠AFB=β, ∠BFC=3∠DBE=3α, ∴∠AFC=3α+β, ∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°, ∴∠FCB=∠AFC=3α+β, △BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得: 2α+β+3α+3α+β=180°, ∵AB⊥BC, ∴β+β+2α=90°, ∴α=15°, ∴∠ABE=15°, ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°. 【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用,解决问题的关键是作平行线构造内错角,运用等角的余角(补角)相等进行推导.余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联.解题时注意方程思想的运用. 20.(1)证明见分析;(2)证明见分析;(3)120°. 【分析】(1)过点A作AD∥MN,根据两直线平行,内错角相等得到∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB,根据角的和差等量代换即可得解; (2)由两直线平行,同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD=180°,由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN=180°,再等量代换即可得解; (3)由平行线的性质得到,∠FAB=120°﹣∠GCA,再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF=60°,最后根据三角形的内角和是180°即可求解. 解:(1)证明:如图1,过点A作AD∥MN, ∵MN∥PQ,AD∥MN, ∴AD∥MN∥PQ, ∴∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB, ∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA, 即:∠CAB=∠MCA+∠PBA; (2)如图2,∵CD∥AB, ∴∠CAB+∠ACD=180°, ∵∠ECM+∠ECN=180°, ∵∠ECN=∠CAB ∴∠ECM=∠ACD, 即∠MCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE, ∴∠MCA=∠DCE; (3)∵AF∥CG, ∴∠GCA+∠FAC=180°, ∵∠CAB=60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB=180°, ∴∠FAB=180°﹣60°﹣∠GCA=120°﹣∠GCA, 由(1)可知,∠CAB=∠MCA+∠ABP, ∵BF平分∠ABP,CG平分∠ACN, ∴∠ACN=2∠GCA,∠ABP=2∠ABF, 又∵∠MCA=180°﹣∠ACN, ∴∠CAB=180°﹣2∠GCA+2∠ABF=60°, ∴∠GCA﹣∠ABF=60°, ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB=180°, ∴∠AFB=180°﹣∠FAB﹣∠FBA =180°﹣(120°﹣∠GCA)﹣∠ABF =180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF =120°. 【点拨】本题主要考查了平行线的性质,线段、角、相交线与平行线,准确的推导是解决本题的关键. 21.(1)100;(2)75°;(3)n=3. 【分析】(1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°,即可求出∠AOB; (2)如图:分别延长AC、CD交GH于点E、F,先根据角平分线求得,再根据平行线的性质得到;进一步求得,,然后根据三角形外角的性质解答即可; (3)设BF交MN于K,由∠NAO=116°,得∠MAO=64°,故∠MAE=,同理∠OBH=144°,∠HBF=n∠OBF,得∠FBH=,从而,又∠FKN=∠F+∠FAK,得,即可求n. 解:(1)如图:过O作OP//MN, ∵MN//GHl ∴MN//OP//GH ∴∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180° ∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360° ∵∠NAO=116°,∠OBH=144° ∴∠AOB=360°-116°-144°=100°; (2)分别延长AC、CD交GH于点E、F, ∵AC平分且, ∴, 又∵MN//GH, ∴; ∵, ∵BD平分, ∴, 又∵ ∴; ∴; (3)设FB交MN于K, ∵,则; ∴ ∵, ∴,, 在△FAK中,, ∴, ∴. 经检验:是原方程的根,且符合题意. 【点拨】本题主要考查平行线的性质及应用,正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键. 22.(1) ;(2)的值为40°;(3). 【分析】(1)过点O作OG∥AB,可得AB∥OG∥CD,利用平行线的性质可求解; (2)过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD,由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x,∠CFN=∠OFN=y,由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°,进而求解; (3)设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,根据平行线的性质即三角形外角的性质及,可得,结合,可得 即可得关于n的方程,计算可求解n值. 解:证明:过点O作OG∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥OG∥CD, ∴ ∴ 即 ∵∠EOF=100°, ∴∠; (2)解:过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD, ∵EM平分∠BEO,FN平分∠CFO, 设 ∵ ∴ ∴x-y=40°, ∵MK∥AB,NH∥CD,AB∥CD, ∴AB∥MK∥NH∥CD, ∴ ∴ =x-y =40°, 故的值为40°; (3)如图,设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K, ∵AB∥CD, ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∵FK在∠DFO内, ∴ , ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 解得 . 经检验,符合题意, 故答案为:. 【点拨】本题主要考查平行线的性质,角平分线的定义,灵活运用平行线的性质是解题的关键. 23.(1)∠AEP+∠PFC=∠EPF;(2)∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;(3)①150°或30;②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF 【分析】(1)由于点是平行线,之间有一动点,因此需要对点的位置进行分类讨论:如图1,当点在的左侧时,,,满足数量关系为:; (2)当点在的右侧时,,,满足数量关系为:; (3)①若当点在的左侧时,;当点在的右侧时,可求得; ②结合①可得,由,得出;可得,由,得出. 解:(1)如图1,过点作, , , , , , ; (2)如图2,当点在的右侧时,,,满足数量关系为:; 过点作, , , , , , ; (3)①如图3,若当点在的左侧时, , , ,分别平分和, ,, ; 如图4,当点在的右侧时, , , ; 故答案为:或30; ②由①可知:, ; , . 综合以上可得与的数量关系为:或. 【点拨】本题主要考查了平行线的性质,平行公理和及推论等知识点,作辅助线后能求出各个角的度数,是解此题的关键. 24.(1)50°;(2)∠A+∠C=30°+α,理由见分析;(3)∠A-∠DCM=30°+α或30°-α 【分析】(1)过M作MN∥AB,由平行线的性质即可求得∠M的值. (2)延长BA,DC交于E,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题. (3)分两种情形分别求解即可; 解:(1)过M作MN∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥MN∥CD, ∴∠1=∠A,∠2=∠C, ∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°; 故答案为:50°; (2)∠A+∠C=30°+α, 延长BA,DC交于E, ∵∠B+∠D=150°, ∴∠E=30°, ∵∠BAM+∠DCM=360°-(∠EAM+∠ECM)=360°-(360°-∠E-∠M)=30°+α; 即∠A+∠C=30°+α; (3)①如下图所示: 延长BA、DC使之相交于点E,延长MC与BA的延长线相交于点F, ∵∠B+∠D=150°,∠AMC=α,∴∠E=30° 由三角形的内外角之间的关系得: ∠1=30°+∠2 ∠2=∠3+α ∴∠1=30°+∠3+α ∴∠1-∠3=30°+α 即:∠A-∠C=30°+α. ②如图所示,210-∠A=(180°-∠DCM)+α,即∠A-∠DCM=30°-α. 综上所述,∠A-∠DCM=30°+α或30°-α. 【点拨】本题考查了平行线的性质.解答该题时,通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB,利用平行线的性质(两直线平行内错角相等)将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来,从而求得∠M的度数.