初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程学案设计

这是一份初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程学案设计，共33页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的情况
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
【微点拨】
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
【微点拨】
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
【即学即练1】观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）
A．－1和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间
【答案】C
【解析】解：令x2＋3x－5，
当时，，
当时，，
x2＋3x－5=0的一个正数x的取值范围为1＜x＜2，
故选C．
【即学即练2】如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴是，
∴，即，
设的另一根为m，
利用根与系数的关系可得：，
∴．
故选：C
知识点02 抛物线与x轴的两个交点的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）
【即学即练3】若，是方程（c为常数）两个不相等的实数根，且满足，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵，是方程（c为常数）两个不相等的实数根，
∴，解得：，
设，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴当x=1时，y＞0，
∴，解得：，
∴c的取值范围是．
故选：C
知识点03 抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
【微点拨】
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【即学即练4】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是( )
A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7
【答案】C
【解析】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+c，
∵与x轴右交点为(5,0)，
∴25a﹣20a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，
∴ax2﹣4ax﹣21a＞0，
∵a＜0，
∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），
y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，
当x2﹣4x﹣21＝0时，
（x﹣7)(x+3)＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣3，
y＝x2﹣4x﹣21的图像如图，
∴x的取值范围是﹣3＜x＜7，
故选：C．
能力拓展
考法01 二次函数图像与坐标轴的交点问题
【典例1】 关于二次函数的三个结论，①图象与y轴的交点为；②对任意实数m，都有与对应的函数值相等；③图象经过点；其中，正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【解析】解：令x=0，可得y=-5，即二次函数与y轴的交点为（0，-5），故①正确；
此二次函数的对称轴为，根据二次函数的对称性，可得对任意实数m，都有 x1=2+m 与 x2=2−m 对应的函数值相等，故②正确；
当x=4时，y=16a-16a-5=-5，即函数的图象经过（4，-5），故③正确；
故选D．
考法02 根据二次函数的图像确定相应方程根的情况
【典例2】抛物线的对称轴为，若关于的二次方程在范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得：b=6，
∴，
∴二次方程在范围内有实数根看作抛物线与直线y=－t在内有交点，
当x=－1时，y=－4，
当x=4时，y=11，
当x=3时，y=12，
∴抛物线在的范围是－4＜y≤12，
∴－4＜－t≤12，则－12≤t＜4，
故选：C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A．(-3，0)B．(0，-3)C．D．
【答案】B
【解析】解：当x=0时，y=-3，
则抛物线y=x2-3与y轴交点的坐标为（0，-3），
故选：B．
2．二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（ ）
A．－4B．4C．5D．－5
【答案】D
【解析】解：由图象可知对称轴为，与x轴的一个交点横坐标是5，
∵交点到对称轴的距离是3个单位，
∴另外一个交点的横坐标是﹣1，
∴.
故选：D.
3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（2，4），有以下结论：①当a>0时，b2－4ac>0；②当a>0时，ax2＋bx＋c≥4；③若点（-2，m）,（3，n）在抛物线上，则mA．①②B．①④C．②③D．②④
【答案】D
【解析】解：①当a＞0，顶点为（2，4）时，因为开口向上，与x轴没有交点，
所以Δ＜0，故①错误；
②当a＞0时，因为顶点坐标（2，4），开口向上，y有最小值，最小值为4，则y≥4，
∴ax2+bx+c≥4；故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴点（﹣2，m）与（6，m）是对称点，
当a＞0时，x＞2时，y随x的增大而增大，
当a＜0时，x＞2时，y随x的增大而减小，
而点（6，m），（3，n）在抛物线上，所以m与n的大小不能确定，
故③错误；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一根为﹣1，
由对称性可得：另一根为5．
所以④正确；
其中正确的是：②④；
故选：D．
4．二次函数y = x2 +(a + 2)x + a的图象与x轴交点的情况是（ ）
A．没有公共点B．有一个公共点
C．有两个公共点D．与a的值有关
【答案】C
【解析】∵
∴二次函数y = x2 +(a + 2)x + a的图象与x轴有两个不同的公共点
故选：C
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．0和一个正根
【答案】D
【解析】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，根据函数图象可知，点在轴正半轴，
所以方程ax2+bx+c＝0的解是0和一个正根
故选D
6．已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则_______．
【答案】6
【解析】解：∵抛物线与x轴的公共点坐标是，
令y=0，则，
解得：，
∴．
故答案为：6．
7．二次函数y＝ax2+bx+c图像上部分点的坐标满足下表：
则不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为______．
【答案】0＜x＜2
【解析】解：∵x＝﹣1和x＝3时，y＝﹣6，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），抛物线开口方向向下，
∴点（2，﹣3）关于对称轴直线x＝1对称的点为：（0，﹣3），
∴不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为：0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
8．若函数的图象与关于的函数的图象有交点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】联立两个函数得到方程，
两个函数的图象有交点，
则，
∴，
∴，
故答案为：．
9．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________．
【答案】−2【解析】∵抛物线与直线交于 A(−2，p) ，B(4，q)，抛物线开口向上，
∴ −2∴ ax2−mx+c故答案为：−210．已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
【答案】（1）开口向上，直线；（2）
【解析】（1）∵，
∴抛物线开口向上，
∵=，
∴对称轴是直线；
（2）∵，
∴，
∴与y轴交点坐标是．
题组B 能力提升练
1．若抛物线y=与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．36C．48D．96
【答案】C
【解析】解：令y=0，则可得方程=0，
解得：=6，=-2，
故它与x轴的两个交点分别是：（-2，0），（6，0），
当x=0时，y=-12，
故它与y轴的交点是：（0，-12），
∴该三角形的面积为．
故选：C．
2．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数y＝ax2+4x+c与x轴有两个不同交点的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：根据题意，画树状图得：
一共有12种等可能的结果，其中使判别式Δ＝16﹣4ac＞0，即ac＜4的有4种结果，
∴二次函数y＝ax2+4x+c与x轴有两个不同交点的概率为；
故选：B．
3．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为( )
A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3
【答案】C
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，点在y轴负半轴上，则下列a的值中，符合条件的是（ ）
A．0B．1C．－1D．2
【答案】A
【解析】解：由题意得点在y轴负半轴上，
∴
∴，根据题目已给的选项中0是符合题意的选项；
故选A．
5．如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点、点，则①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解： 由图可知：x=1是抛物线的对称轴，且抛物线的开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴，当x=1时，y的最大值为y=a+b+c，故①正确；
∴，
∴，故②正确；
由图象可知，函数图像与x轴有两个不同的交点，故，故③错误；
由函数图象可知当时，故④正确；
故选C．
6．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____．
【答案】
【解析】解：连接PB，
对于抛物线y=-x2+k，
对称轴是y轴，
∴PC=PB，
∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，
∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），
∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，
把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，
所以点B的坐标为（-2，0），
所以BD=，
故答案为：．
7．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【解析】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），
∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，
∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
8．抛物线上部分点的横坐标是，纵坐标的对应值如表：
由表可知，抛物线与轴的一个交点是（1，0），则与轴另一个交点的坐标是____．
【答案】（－5，0）
【解析】解：根据表中数据可知抛物线经过点（﹣3，8），（﹣1，8），
∴抛物线的对称轴为直线，
∵（1，0）关于直线对称，可得对称点为（－5，0），
∴抛物线与轴另一个交点的坐标是（－5，0），
故答案为：（－5，0）．
9．已知二次函数的图像的顶点为，与x轴交于点，根据图像回答下列问题：当x_______时，y随x的增大而减小：方程的两个根是___________．
【答案】 ，
【解析】解（1）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴二次函数的对称轴为直线x=2，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
（2）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是，．
10．如图，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为．
(1)求该抛物线相应的函数表达式；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直角三角形，理由见解析
【解析】（1）解：∵点在抛物线的图像上，
∴，
解得：，
∴抛物线相应的函数表达式为：．
（2）是直角三角形，理由如下：
当时，，
∴，
∴，
当时，，
解得：，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
，
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
题组C 培优拔尖练
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）D．﹣1＜a＜﹣
【答案】D
【解析】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴（m为任意实数），
∴，
∵a＜0，
∴（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵-=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【解析】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴b＝2，
∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y=3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，-1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②③
【答案】C
【解析】解：∵对称轴为x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故选项①正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误；
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项③错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确；
故选：C．
4．二次函数，其中，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当时，都有y随x的增大而增大；③若当时，都有y随x的增大而减小，则；④该函数图象与直线的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③④
【答案】C
【解析】解：∵，
∴对称轴为，开口向上，
，
①该函数图象与坐标轴必有2个交点，故①错误；
②当x>时，都有y随x的增大而增大，故②错误；
③若当x④该函数图象与直线y=−x+6的交点不随m的取值变化而变化
由题意可得：，
解得：x=0或x=6，
∴y=6或x=0，
∴抛物线与直线的交点为(0,6)或(6,0)
∴函数图象与直线的交点不随m的取值变化而变化，故④正确；
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（ ）
A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2B．若M1＝1，M2＝1，则M3＝1
C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝2
【答案】B
【解析】解：∵a＝2，
∴y1＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，0），
∴M1＝1，
∵y2＝x2+bx+2，
∴，
当M2＝1时，b2﹣8＝0，
∴b2＝ac＝8，
∴c＝4，
∴y3＝x2+4x+3，
∵，
∴M3＝2，故A选项正确,B错误；
当M2＝0时，b2﹣8＜0，
∴b2＝ac＜8，
∴c＜4，
∴，
∴M3＝0或1或2，故C正确；
当M2＝2时，，
∴，
∴，
∴，
∴M3＝2，故D选项正确；
故选：B．
6．已知抛物线．若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为____．
【答案】10
【解析】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：10．
7．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】解：二次函数与一次函数的图象相交于点和，由图象可得：使不等式成立的的取值范围是，
故答案为：．
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），a＋b＋c＝0．下列四个结论：
①抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
②若抛物线经过点（－1，0），则b＝0；
③若b＝c，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有根x＝－2；
④点A（x1，y1），B（x1，y1）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＞x2＞1时，y1＞y2．
其中正确的是____________（填写序号）．
【答案】②
【解析】解：∵当x=1时，a+b+c=0，
∴，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故①不正确；
当抛物线过（-1，0）时，
a-b+c=0，
∵a+b+c=0，
两式相减得，2b=0，
∴b=0，
故②正确，
当b=c时，由a+b+c=0得，
a+2c=0，
∴a=-2c，
当x=-2时，，
故③不正确，
∵0＜a＜c，
∴＞1，抛物线开口向上，
∴抛物线对称轴在点（1，1）右侧，
∵对称轴x=-位置不确定，跟对称轴的位置关系不确定，
∴和的大小无法确定，故④不正确．
故答案为：②．
9．如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，（点 位于点 的左侧）， 为顶点，直线 经过点 ，与 轴交于点 ．
(1)求线段 的长；
(2)沿直线 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 ，若点 在反比例函数 的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．
【答案】(1)
(2)新抛物线对应的函数表达式为：或．
【分析】（1）解：由得，，，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（−2，0），
∵直线y＝x＋m经过点A，
∴−2＋m＝0，
解得：m＝2，
∴直线AD解析式为：y＝x＋2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD＝；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：，
∴C'（m，n），
由题意得：CC′平行于直线AD，且经过C（0，−4），
∴直线CC′的解析式为：y＝x−4，
∴n＝m−4，
∵点C'在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：或，
∴新抛物线对应的函数表达式为或，
∴新抛物线对应的函数表达式为：或．
10．已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
(1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值；
(2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
(3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________．
【答案】(1)b＝1，c＝﹣2
(2)b的值为﹣6或
(3)4
【解析】（1）解：∵抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），
∴y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣2；
（2）∵c＝b+2
∴y＝x2﹣2bx+c＝x2﹣2bx+b+2，对称轴为x＝b，
①当b＜0时，由题意可知b+2＝﹣4，解得b＝﹣6，符合题意；
②当0≤b≤2时，，解得b1＝3，b2＝﹣2，不合题意舍去；
③当b＞2时，根据题意可知22﹣4b+b+2＝﹣4，解得b＝，符合题意；
综上所述，所求b的值为﹣6或．
（3）当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，
如图所示，抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，
当3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，
则可知抛物线C的顶点坐标为（3，1），
设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最大值，
由解得x1＝3，x2＝4，
∴m的最大值为4．
11．已知抛物线，a、b、c为实数．
(1)当且时
①若抛物线的对称轴为直线，求抛物线的解析式；
②若中，恒有，求c的取值范围；
(2)若抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于；直线与抛物线交于点P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值．
【答案】(1)①；②
(2)证明见解析
【解析】(1)解∶ 把且代入得，
①∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴
②∵在中，恒有，
∴，
∴；
(2)解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于，
∴设抛物线解析式为，将代入，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
如图，设直线与抛物线交于点、，
∴，整理得：，
∴，，
∴，
设直线MQ的解析式为，将，代入，
得：，解得：，
∴直线MQ为，
当时，
故对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值．
12．在平面直角坐标系xy中，抛物线y=a（x-m）（x-n）（a＜0，m＜n）与x轴交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．直线y=h与抛物线相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点（P、Q不重合），与直线BC交于点N（x3，y3）．
(1)若a=-1，m=1，n=3，
①求线段AB的长；
②当h＜1时，证明：x1+x2的值不会随着h的变化而变化；
(2)若点A在直线BC的上方，
①求m 的取值范围；
②令h=m²，一定存在一个a的值，对于任何符合（t＞0）的m、n均可以使得x1+x2-x3恒为定值，求a的值以及t的取值范围．
【答案】(1)①2；②见解析
(2)①m＞0；②a=-1；t≥3
【解析】(1)解：①∵a=-1，m=1，n=3，
∴抛物线的解析式为，
令得，
解得或，
∵点A在点B的左边，
∴，，
∴线段AB的长为：．
②证明：∵抛物线的解析式为，
∴时，取最大值，最大值为1，
∴当h＜1时，直线y=h与抛物线肯定有两个交点P（x1，y1）、Q（x2，y2）．
∵直线y=h与抛物线的两个交点关于对称轴对称，
∴P（x1，y1）与Q（x2，y2）关于对称轴对称，
∴
∴，
∴x1+x2的值不会随着h的变化而变化；
(2)解：①抛物线的解析式为，
令得，
解得或，
∵点A在点B的左边，m＜n，
∴，，
令得，
∴．
设直线BC的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
∵点在直线BC的上方，
∴当时，，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为，最大值为．
∵直线与抛物线相交于不重合的P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，
∴，
方程两边同时除以得，
整理得，
∵，
∴．
∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点关于对称，
∴，
∴，
∵直线与直线BC交于点N（x3，y3），
∴．
由①得直线BC的解析式为，
将代入得，
解得，
∴，
∴，
令得，
此时为定值，
将代入，
得，
∴当时，，满足，
∴，．
课程标准
课标解读
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系。
2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系。
1.理解抛物线与x轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系；
2.能判断出抛物线与X轴的交点个数，并能求出相应坐标。
3.能指出二次函数大于0、小于0时，x的取值范围。
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
－1
0
1
2
3
4
－7
－5
－1
5
13
23
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
（或）
无解
△＜0
全体实数
无解
x
…
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
…
0
1
…
…
8
9
8
5
0
…