（备战24高考数学）18.（回归教材）新教材中的圆锥曲线六大定义及应用

18.新教材中的圆锥曲线六大定义及应用 关于椭圆与双曲线的定义，在人教版新教材中均有涉及，而且不光是第一定义，焦点与准线型定义，斜率型定义均作为例题和习题出现，而且教材也鲜明地指出了这三个定义之间的关系. 翻看近年全国卷的题目，我们发现很多选填题都是会涉及到这三个定义（解答题亦有考察），本节，我将从椭圆的第一定义出发，逐次推出二，三定义，并通过例题分析其进一步的应用，同时再给出其他三个常见的定义 一．基本原理 ★定义1 1.椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么： ① 将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得： ② 对②式继续平方，再整理可得： ③ 由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④. 这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④. 2.椭圆的焦半径公式： 在上述推导中，定位到②式，⑤， ⑤式右端表示椭圆上的点到右焦点的距离，即，为离心率. 同理可得： （“左加右减”）. ★定义2 3.椭圆的第二定义： 继续定位到②式，⑥. ⑥式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率. 利用第二定义，下面推导椭圆的焦点弦相关结论. 4.角度形式焦半径：上加下减. 证明：设椭圆的准线与轴交于点，为椭圆的左右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点.设，过两点向准线引垂线，垂足记为点.根据椭圆第二定义，,.过两点再向轴引垂线，垂足记为点. 显然，再代入可得，整理化简： 同理可得： 5.比例式. 进一步，设椭圆的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则． ★定义3 6.椭圆第三定义： 由④式，⑦，⑦式表明椭圆上的点到左右两顶点的斜率之积为一个定值. 实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点（不与重合）到点的斜率之积为一个定值. 证明：设的坐标分别为，，则由于三点均在椭圆上，故满足：，即. ★定义4 如图，圆的圆心为，点，点为圆上任意一点，求线段的垂直平分线与线段的交点的轨迹方程． 解析：连接，如下图：由题意可知，，圆的半径，且， 由垂直平分线定理可知，，故 由椭圆定义可知，的轨迹为椭圆，设的轨迹方程为：()， 从而，即，又因为、，所以，又由可知，， 从而的轨迹方程为：. ★定义5 已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切. 求动圆圆心的轨迹方程. 解析：设圆的半径的，则， 所以的轨迹是以的焦点的椭圆，则，，所以，，，故动圆圆心轨迹方程为 ★定义6 丹德林双球的定义 如下图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球. 如图，设直线分别与圆锥母线交于两点，再设过点的母线分别与，交于两点，由切线长定理：，，故. 同理，对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点，过的母线分别与，交于两点，则. 即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长. 二．典例分析 1.定义1及应用 例1．已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：设椭圆的左焦点为，A是C的上顶点，连接，如下图所示： 由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则，又 ，四边形为平行四边形， ，又，解得： A到l的距离为：，解得：，即， . 故选：B. 例2.已知椭圆内有一点，、分别为其左右焦点，是椭圆上一点，求： (1).的最大值与最小值； (2).的最大值与最小值. 解析：（1）如图：，等号成立当在一侧，且三点共线以及当在一侧，且三点共线.故的最大值与最小值为：. 由椭圆定义可知：，由（1）可知：的最大值与最小值为：，故的最大值与最小值为：与 . 2.定义2的坐标式及应用 例3.（2019全国三卷）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________. 解：由已知可得， ．∴．由焦半径公式可知 设，由焦半径公式可知 再代入椭圆方程可解得的坐标为． 例4.（2018全国三卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 解：（1）设，则. 两式相减，并由得. 由题设知，于是.① 由题设得，故. （2）由题意得，设，则. 由（1）及题设得. 又点P在C上，所以，从而，. 于是 . 同理. 所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则 .② 将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得： .故，代入②解得. 所以该数列的公差为或. 3.定义2的角度式及应用 例5．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为 ，离心率为，过焦点且倾斜角为的直线交椭圆两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若时，，求实数； （3）试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论． （1）因为，椭圆离心率，所以所以椭圆的标准方程． （3）的值与的大小无关．证明如下：设点到右准线的距离分别为． 因为，所以．又由图可知 ， 所以，即，即． 同理． 所以． 所以．显然该值与的大小无关． 例6.已知椭圆的两个焦点为，且经过点. (1) 求椭圆的方程； (2) 过的直线与椭圆交于A,B两点(点A位于轴上方)，若,求直线的斜率的值． 解：（1）. 4.定义3的应用 例7.椭圆的左、右顶点分别为A和B，点P在C上，设直线、的斜率分别为、，若，则的取值范围是______. 解析：由椭圆第三定义，，所以， ，故的取值范围是. 例8（2015·新课标2卷）已知A、B是双曲线E的左、右顶点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ） A. B.2 C. D. 解析：设双曲线，由题意，，，，所以直线和直线的斜率分别为和，由双曲线第三定义，，所以离心率. 例9．椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为　　 A． B． C． D． 解析：设椭圆的右顶点为, 由于点均在上且关于轴对称,所以直线,也关于轴对称, 即 即故选：． 例10．已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的3倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 解析：   设，，则，，设、、，分别为直线、、的斜率，则，，，因直线是以为直径的圆的切线所以，，所以，又在直线上，所以，因、在上，所以，， 两式相减得，整理得，故，即，，故，故选：D 例11．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：设，由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称，所以且，由题意知：，两式相减得： ，即， 又，由椭圆的离心率的取值范围是， 即，所以，即，故选：D. 4.定义6的应用 例12．（2023届广州一模）如图是数学家 Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________. 解析：设，由，解得， 所以，所以， 设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示， 则，两式相加得，即，过作，垂直为，则四边形为矩形，所以，，所以椭圆的离心率为. 故答案为：