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高中数学6.2 指数函数课堂教学ppt课件
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这是一份高中数学6.2 指数函数课堂教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了2指数函数，习题62等内容，欢迎下载使用。
这些函数的表达式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变量，这样的函数称为指数函数.
庄子，战国中期著名的思想家、哲学家和文学家，是道家学派的主要代表人物之一，主要著作有《庄子》.
一般地，函数 y＝ax (a＞0，a≠1)叫作指数函数(expnential functin)，它的定义域是 R .
当指数函数的底数 a＝0，a＝1，a＜0时，对自变量 x的取值有何影响?
二、指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与性质
注意： 在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数的大小有如下关系：
① 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小： ② 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y的取值去理解.
比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 1.52.5，1.53.2；
解：考察指数函数 y＝1.5x. 因为 1.5＞1， 所以 y＝1.5x在 R 上是增函数. 又因为2.5＜3.2，所以 1.52.5＜
(2) 0.5－1.2，0.5－1.5；
解：考察指数函数 y＝0.5x. 因为 0＜0.5＜1， 所以 y＝0.5x在 R 上是减函数. 又因为 －1.2＞－1.5， 所以 0.5－1.2＜0.5－1.5.
(3) 1.50.3 ，
解：考察指数函数 y＝1.5x. 因为 1.5＞1， 所以 y＝1.5x在 R 上是增函数. 又因为0.3＞0，所以 1.50.3＞1.50＞1. 同理 0.81.2＜0.80＝1， 故 1.50.3 ＞
(1) 已知 3x≥30.5，求实数 的取值范围；
解：因为 3 ＞ 1. 所以 指数函数 y＝3x 在 R 上是增函数， 由 3x≥30.5 可得 x≥0.5. 故的取值范围为区间 [0.5，＋∞).
(2) 已知 0.2x＜25，求实数 x的取值范围.
(1) y＝2x－2； (2) y＝2x＋2.
说明下列函数的图象与指数函数 y＝2x 的图象的关系并画出它们的示意图：
解 比较函数 y＝2x与函数 y＝2x－2，y＝2x＋2的取值关系， 列表如表 6-2-2 所示.
一般地，因为函数 y＝2x－2中x＝a＋2对应的y值与函数 y＝2x 中 x＝a 对应的 y 值相等，所以将指数函数y＝2x 的图象向平移2个单位长度，就得到函数 y＝2x－2 的图象. 同样地，因为函数 y＝2x＋2 中 x＝a－2 对应的y值与函数 y＝2x 中 x＝a 对应的 y 值相等，所以将指数函数y＝2x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象.
这些函数的图象如图 6-2-2 所示.
思 考
函数 y＝ax＋h与函数 y＝ax (a＞0，a≠1，h≠0) 的图象之间有怎样的关系?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) y＝x6 是指数函数.( ) (2) 指数函数的图象都在x轴的上方.( ) (3) 若指数函数 y＝ax 是减函数，则0＜a＜1. ( )
2. 若函数 f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则( ) A. a＝1或a＝2B. a＝1 C. a＝2D. a＞0且a≠1
解析：由2x－1≥0得2x≥1，即 x≥0， 所以函数的定义域为[0，＋∞).
5. 已知函数 f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)经过点(－1，5)， (0，4)，则 f(－2)的值为__________.
1. 函数 y＝(a－2)2ax 是指数函数，则( ) A. a＝1或a＝3 B. a＝1 C. a＝3 D. a＞0且a≠1
2. 当x＞0时，指数函数(a－1)x＜1 恒成立，则实数 a 的 取值范围是( ) A. (2，＋∞) B. (1，2) C. (1，＋∞) D. R
解析：因为当 x＞0 时，(a－1)x＜1恒成立， 所以0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
4. 已知 a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则 a，b，c 的大 小关系为( ) A. a＞b＞cB. b＞a＞c C. c＞a＞bD. b＞c＞a
解析：c ＜0，b＝53＞3，1＜a＜3，所以 b＞a＞c.
5. 已知函数 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点(2，4)， 则a＝________，若 a2x＋1＜a3x－1，则x的取值范围是 ____________.
解析：因为 f(x) 的图象经过点(2，4)， 所以 a2＝4，解得a＝2， 若a2x＋1＜a3x－1，即22x＋1＜23x－1， 故 2x＋1＜3x－1，解得x＞2.
练 习
1. 下列各数中，哪些大于 1，哪些小于 1?
(0.16)0.2 ＜ (0.16)0＝1.
2. 指出下列函数的单调性：
解 ∵ y＝5x ，x∈R， ∴根据指数函数的性质，5 ＞ 1， 则函数在R上单调递增.
(3) y＝0.5x；
解 ∵ y＝0.5x，x∈R. ∴ 根据指数函数的性质0＜0.5＜1， 则函数在R上单调递减.
解 ∵ y＝－2x，x∈R. ∴ y′＝－2xln2＜0 在 R 上恒成立. 则函数在 R 上单调递减.
3. 设 a 为实数如果指数函数 f(x)＝(a－1)x是 R 上的减函 数，那么 a 的取值范围是( ). A. a＜2 B. a＞2 C. 1＜a＜2 D. 0＜a＜1
4. 比较下列各组数中两个值的大小关系：
(1) 3.10.5 ，3.12.3 ；
解 ∵ y＝3.1x 在 R 上单调递增，0.5＜2.3， ∴ 3.10.5＜
(3) 0.62，0.63；
解 ∵ y＝0.6x 在 R 上单调递减，2＜3， ∴ 0.62 ＜ 0.6 3.
(5) 0.53.2，1.32.1；
(6) 2.3－2.5，0.2－0.1.
解 ∵ 0.53.2＜ 0.50＝1，1.32.1＞1.30＝1， ∴ 0.53.2 ＜
解 ∵ 2.3－2.5＜ 2.30＝1，0.2－0.1＞0.20＝1， ∴ 2.3－2.5 ＜ 0.2－0.1.
5. 分别根据下列条件确定正数 a 与 1 的大小关系：
(4) a－0.5 ＜a －0.6.
解 ∵ －0.5＞－0.6，且 a－0.5＜ a－0.6 ， ∴ 函数 y＝ax 公在 R 上是减函数，故 0＜a＜1.
6. 分别求满下列条件的实数 x 的取值范围：
(1) 2x ＞ 8；
解 ∵ 2x＞8，即2x＞23， ∴ x＞3， ∴满足 2x＞8 的实数 x 的取值范围是(3，＋∞).
(4) 5x ＜ 0.2.
7. 函数 y＝2－x 的图象为 ( ).
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的 84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
解 设该物质最初的质量是 1，经过年剩留量是y. 经过1年，剩留量 y＝1×0.84＝0.841； 经过 2年，剩留量 y＝0.84×0.84＝0842； 一般地，经过 x 年，剩留量 y＝0.84x(x＞0，x∈N*).
某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为r，设存期是 x (x∈N*)，本利和(本金加上利息)为 y 元. (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式； (2)已知存入本金 1000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和.
(1) 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式；
解 已知本金为a元，利率为r，则1期后的本利和为 y＝a－ar ＝a(1＋r)， 2 期后的本利和为y＝a(1＋r) ＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， 3 期后的本利和为y＝a(1＋r)3， x 期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*， 即本利和y随存期x变化的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N*.
(2) 已知存入本金 1000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和.
解 将 a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5 代入上式， 得 y ＝1000×(1＋2.25%)5 ＝ 1000×1.02255 ≈ 1117.68(元)， 即5期后的本利和约为 1117.68 元.
在例 5 中，请借助计算器解答下列问题： (1) 第几期后的本利和超过本金的1.5倍? (2) 要使 10 期后的本利和翻一番，利率应为多少? (精确到 0.001)
2000~2002 年，我国国内生产总值年平均增长7.8%. 按照这个增长速度，画出从 2000 年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到 2016 年我国年国内生产总值约为 2000 年的多少倍 (结果取整数).
解 设 2000 年我国年国内生产总值是 1，x 年后我国年国内生产总值为 y .
因为国内生产总值年平均增长 7.8%， 所以从 2001 年开始，每年的国内生产总值是上一年的 1.078 倍， 则经过1年，y＝1×1.078 ＝1.078； 经过2年，y＝1.078×1.078＝ 1.0782； 经过3年，y＝1.0782×1.078＝1.0783；······ 一般地，经过x年，我国年国内生产总值y＝1.078x，x ∈N*.
画出指数函数 y＝1.078x 的图象，如图 6-2-3 所示从图象上看出，当x＝16 时，y≈3.
答 到2016 年我国国内生产总值约为 2000 年的3倍.
1. 已知 2016 年我国国内生产总值为a，设以后每年的年 平均增长率为 b，试写出 x 年后国内生产总值 y 和 x 之间的函数关系式：
解 因为2016年国内生产总值为a，以后每年的年平均增长率为b， 2017年为第一年， 则一年后，国内生产总值为：a ＋ab＝a(1＋b)，
二年后，国内生产总值为：a(1＋)＋a(1＋b)b＝a(1＋b)2，三年后，国内生产总值为：a(1＋b)2＋a(1＋b)2b＝a(1＋b)3，······则x年后，国内生产总值：y＝a(1＋b)x (x∈N*)
2. 某种产品的年销售量为 10 000 件，由于其他新产品的 出现，估计该产品的市场需求每年下降 10%. 写出x年 后，年销售量 y (单位：件) 和 x (单位：年) 之间的函 数关系式.
解 1年后销售量为： a－a·15% ＝a(1－15%)； 2年后销售量为：a(1－15%) －a(1－15%)·15%＝a(1－15%)2；
3年后销售量为：a(1－15%)2－a(1－15%)2·15%＝a(1－15%)3；······x年后销售量为：y＝a(1－15%)x ＝a·0.85x(x∈N*).
3. 某人向银行贷款 10 万元做生意，约定按利率 7% 的复 利计算利息，写出x年后，需要还款总数 y (单位：万 元) 和 x (单位：年) 之间的函数关系式，并用计算器计 算 5 年后的还款总额.
解 由题意可得， 一年后还款总额为：10＋10×7%＝10× (1＋7%)， 二年后还款总额为：10× (1＋7%)＋10× (1＋7%) ×7%＝10× (1＋7%)2，
三年后还款总额为：10×(1＋7%)2＋10×(1＋7%)2×7%＝10×(1＋7%)3，······又因为x年后，需要还款总额为y，所以 y＝10×(1＋7%) ＝10×1.07x( x∈N*).当x＝5时，y＝10×1.075≈14.03.即5年后的还款总额约为14.03万元
1. 某种细胞分裂时，由 1个分裂成 2 个，2个分裂成 4 个 ·····依此类推，写出这样的一个细胞分裂 x 次后，得 到的细胞个数 y 与分裂次数 之间的函数关系式.
解 由题意知该函数模型为指数函数， 设 y＝ax (a＞0，a≠1)； ∴当x＝1时，y＝2， ∴ a＝2，∴y＝2x(x∈N*).
3. 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 1.7m，1.7m＋l；
解 1.7m，1.7m＋1可看作函数 y＝1.7x 的两个函数值， 由于1.7＞1，所以函数 y＝1.7x 在R上单调递增， 由于m＜m＋1，所以1.7m＜1.7m＋1.
(2) 0.8－0.1，0.8－0.2；
解 0.8－0.1，0.8－0.2可看作函数 y＝0.8x 的两个数值， 由于0.8＜1，所以函数 y＝0.8x在R上单调递减， 由于－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.
(3) 0.9m，0.9m－1；
解 0.9m，0.9m－1 可看作函数 y＝0.9x 的两个函数值， 由于0.9＜1，所以函数 y＝0.9x 在R上单调递减， 由于m＞m－1，所以 0.9m＜0.9m－1.
(4) 0.6181.9，
解 0.6181.9，0.6181.8可看作函数 y＝0.618x 的两个数值， 由于0.618＜1，所以函数 y＝0.618x在R上单调递减， 由于1.9＞1.8，所以0.6181.9 ＜
4. 分别把下列各题中的 3 个数按从小到大的顺序用不等 号连接起来：
(1) 22.1，21.9，0.32.1；
解 22.1＞1，21.9＞1，0.32.1＜1， 又 y＝2x 在 R 上单调递增， 2.1＞1.9，22.1＞21.9， 因此 0.32.1＜21.9＜22.1.
(3) 0.80.8，0.80.9，1.20.8；
解 0.80.8＜1，0.80.9＜1，1.20.8＞1， 又y＝0.8x在R上单调递减，0.8＜0.9，则0.80.9＜0.80.8， 因此 0.80.9 ＜0.80.8 ＜
5. 设 m，n 为实数，已知下列不等式成立，试比较 m，n 的大小：
(1) 2m ＜ 2n；
解 ∵ 2＞1. ∴ y＝2x 在R上是单调增函数， ∵ 2m＜2n. ∴m＜n；
(2) 0.2m ＜ 0.2n；
解 ∵0＜0.2＜1， ∴y＝0.2x 在R上是单调减函数， 又∵0.2m＜0.2n. ∴m＞n；
(3) am＜an (0＜a＜1).
解 ∵0＜a＜1. ∴y＝ax 在R上是单调减函数， 又∵ am＜an ∴m＞n.
6. 设 a 为实数，a＞0，a≠1.已知下列不等式成立，求 a 的取值范围：
(1) a3＜ a2；
解：∵ a3＜a2， ∴函数y＝ax 在 R 上是减函数，∴0＜a＜1.
(2) a0.8＜ a0.5；
解：∵ a0.8＜a0.5， ∴函数y＝ax 在 R 上是减函数，∴0＜a＜1.
(3) a－2 ＞ a－3；
解：∵ a－2＞a－3， ∴函数y＝ax 在 R 上是增函数，∴a＞1.
(4) am ＞ an (m＞n).
解：∵ am＞an， ∴函数y＝ax 在 R 上是增函数，∴a＞1.
8. 求满足下列条件的实数 x 的取值范围：
解 由3x＜9，得3x＜32. ∴x＜2；
(4) 3x ＞7x .
解 由3x＞7x，根据幂函数的性质，可得 x＜0.
9. 设 f(x)＝3x，求证：
(1) f(x)f(y) ＝ f(x＋y)；
解 ∵ f(x) ＝3x. ∴左边＝3x·3y＝3x＋y，右边＝3x＋y， 即左边＝右边， ∴原式得证.
(2) f(x)÷f(y) ＝ f(x－y).
10. (1) 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件 a 个， 计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子 元件的产量比上一年增长 p%，试写出此种规格电子 元件的年产量随年数变化的函数关系式；
解 设从今年开始的第x年的电子元件的产量为y，去年电子元件的产量为a个，今年是第一年， 第一年电子元件的产量为：a＋ap% ＝ a(1＋p%)；
第二年电子元件的产量为：a(1＋p%)＋a(1＋p%)p% ＝ a(1＋p%)2第三年电子元件的产量为：a(1＋p%)2＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)3······所以 y＝a(1＋p%)x (0＜x＜m，x∈N)；
(2) 一电子元件厂去年生产某种规格电子元件的成本是 a 元/个，计划从今年开始的 m 年内，每年生产此种规 格电子元件的单件成本比上一年下降 p%，试写出此 种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式.
解 设从今年开始的第x年的电子元件的单件成本为y，去年电子元件的成本是a元/个，今年是第一年， 第一年电子元件的单件成本为：a－ap%＝a(1－p%).0
第二年电子元件的单件成本为：a(1－p%)－a(1－p%)p% ＝ a(1－p%)2第三年电子元件的单件成本为：a(1－p%)2－a(1－p%)p% ＝ a(1－p%)3所以 y＝a(1－p%)x (0＜x≤m，x∈N)
11. 设 a，k 为实数，a＞0，a≠1. 试根据如图所示的函数 y＝ka－x的图象，求 k 和 a 的值.
12. 设 a，b 为实数，a＞0，a≠1. 已知函数 y＝ax＋b的图 象如图所示，求 a，b 的取值范围.
解 ∵函数 y＝ax＋b 在R上单调递增， ∴a＞1. ∴ a的取值范围是(1，＋∞)； ∵当x＝0时，y＝a0＋b＝1＋b＜0. ∴b＜－1， ∴b的取值范围是(－∞，－1) ∴a的取值范围是(1，＋∞)；b的取值范围是(－∞,－1).
15. 已知 y＝f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时， f(x)＝1＋2x，你能画出此函数的图象吗?
解 先在坐标系中画出函数 y＝2x的图像，再向上平移1个单位，取 y 轴左侧部分再作出关于原点的对称图形，所得图像就是函数 y＝f(x) 的图像(包括原点)，如图所示.
16. 有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释 放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量 Q 呈指数 函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具 有关系式Q＝Q0e－0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量. (1) 随时间 t 的增加，臭氧的含量是增加还是减少? (2) 试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失. (用计算器计算)
(1) 随时间 t 的增加，臭氧的含量是增加还是减少?
(2) 试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失. (用计算器计算)
这些函数的表达式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变量，这样的函数称为指数函数.
庄子，战国中期著名的思想家、哲学家和文学家，是道家学派的主要代表人物之一，主要著作有《庄子》.
一般地，函数 y＝ax (a＞0，a≠1)叫作指数函数(expnential functin)，它的定义域是 R .
当指数函数的底数 a＝0，a＝1，a＜0时，对自变量 x的取值有何影响?
二、指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与性质
注意： 在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数的大小有如下关系：
① 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小： ② 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y的取值去理解.
比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 1.52.5，1.53.2；
解：考察指数函数 y＝1.5x. 因为 1.5＞1， 所以 y＝1.5x在 R 上是增函数. 又因为2.5＜3.2，所以 1.52.5＜
(2) 0.5－1.2，0.5－1.5；
解：考察指数函数 y＝0.5x. 因为 0＜0.5＜1， 所以 y＝0.5x在 R 上是减函数. 又因为 －1.2＞－1.5， 所以 0.5－1.2＜0.5－1.5.
(3) 1.50.3 ，
解：考察指数函数 y＝1.5x. 因为 1.5＞1， 所以 y＝1.5x在 R 上是增函数. 又因为0.3＞0，所以 1.50.3＞1.50＞1. 同理 0.81.2＜0.80＝1， 故 1.50.3 ＞
(1) 已知 3x≥30.5，求实数 的取值范围；
解：因为 3 ＞ 1. 所以 指数函数 y＝3x 在 R 上是增函数， 由 3x≥30.5 可得 x≥0.5. 故的取值范围为区间 [0.5，＋∞).
(2) 已知 0.2x＜25，求实数 x的取值范围.
(1) y＝2x－2； (2) y＝2x＋2.
说明下列函数的图象与指数函数 y＝2x 的图象的关系并画出它们的示意图：
解 比较函数 y＝2x与函数 y＝2x－2，y＝2x＋2的取值关系， 列表如表 6-2-2 所示.
一般地，因为函数 y＝2x－2中x＝a＋2对应的y值与函数 y＝2x 中 x＝a 对应的 y 值相等，所以将指数函数y＝2x 的图象向平移2个单位长度，就得到函数 y＝2x－2 的图象. 同样地，因为函数 y＝2x＋2 中 x＝a－2 对应的y值与函数 y＝2x 中 x＝a 对应的 y 值相等，所以将指数函数y＝2x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象.
这些函数的图象如图 6-2-2 所示.
思 考
函数 y＝ax＋h与函数 y＝ax (a＞0，a≠1，h≠0) 的图象之间有怎样的关系?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) y＝x6 是指数函数.( ) (2) 指数函数的图象都在x轴的上方.( ) (3) 若指数函数 y＝ax 是减函数，则0＜a＜1. ( )
2. 若函数 f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则( ) A. a＝1或a＝2B. a＝1 C. a＝2D. a＞0且a≠1
解析：由2x－1≥0得2x≥1，即 x≥0， 所以函数的定义域为[0，＋∞).
5. 已知函数 f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)经过点(－1，5)， (0，4)，则 f(－2)的值为__________.
1. 函数 y＝(a－2)2ax 是指数函数，则( ) A. a＝1或a＝3 B. a＝1 C. a＝3 D. a＞0且a≠1
2. 当x＞0时，指数函数(a－1)x＜1 恒成立，则实数 a 的 取值范围是( ) A. (2，＋∞) B. (1，2) C. (1，＋∞) D. R
解析：因为当 x＞0 时，(a－1)x＜1恒成立， 所以0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
4. 已知 a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则 a，b，c 的大 小关系为( ) A. a＞b＞cB. b＞a＞c C. c＞a＞bD. b＞c＞a
解析：c ＜0，b＝53＞3，1＜a＜3，所以 b＞a＞c.
5. 已知函数 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点(2，4)， 则a＝________，若 a2x＋1＜a3x－1，则x的取值范围是 ____________.
解析：因为 f(x) 的图象经过点(2，4)， 所以 a2＝4，解得a＝2， 若a2x＋1＜a3x－1，即22x＋1＜23x－1， 故 2x＋1＜3x－1，解得x＞2.
练 习
1. 下列各数中，哪些大于 1，哪些小于 1?
(0.16)0.2 ＜ (0.16)0＝1.
2. 指出下列函数的单调性：
解 ∵ y＝5x ，x∈R， ∴根据指数函数的性质，5 ＞ 1， 则函数在R上单调递增.
(3) y＝0.5x；
解 ∵ y＝0.5x，x∈R. ∴ 根据指数函数的性质0＜0.5＜1， 则函数在R上单调递减.
解 ∵ y＝－2x，x∈R. ∴ y′＝－2xln2＜0 在 R 上恒成立. 则函数在 R 上单调递减.
3. 设 a 为实数如果指数函数 f(x)＝(a－1)x是 R 上的减函 数，那么 a 的取值范围是( ). A. a＜2 B. a＞2 C. 1＜a＜2 D. 0＜a＜1
4. 比较下列各组数中两个值的大小关系：
(1) 3.10.5 ，3.12.3 ；
解 ∵ y＝3.1x 在 R 上单调递增，0.5＜2.3， ∴ 3.10.5＜
(3) 0.62，0.63；
解 ∵ y＝0.6x 在 R 上单调递减，2＜3， ∴ 0.62 ＜ 0.6 3.
(5) 0.53.2，1.32.1；
(6) 2.3－2.5，0.2－0.1.
解 ∵ 0.53.2＜ 0.50＝1，1.32.1＞1.30＝1， ∴ 0.53.2 ＜
解 ∵ 2.3－2.5＜ 2.30＝1，0.2－0.1＞0.20＝1， ∴ 2.3－2.5 ＜ 0.2－0.1.
5. 分别根据下列条件确定正数 a 与 1 的大小关系：
(4) a－0.5 ＜a －0.6.
解 ∵ －0.5＞－0.6，且 a－0.5＜ a－0.6 ， ∴ 函数 y＝ax 公在 R 上是减函数，故 0＜a＜1.
6. 分别求满下列条件的实数 x 的取值范围：
(1) 2x ＞ 8；
解 ∵ 2x＞8，即2x＞23， ∴ x＞3， ∴满足 2x＞8 的实数 x 的取值范围是(3，＋∞).
(4) 5x ＜ 0.2.
7. 函数 y＝2－x 的图象为 ( ).
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的 84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
解 设该物质最初的质量是 1，经过年剩留量是y. 经过1年，剩留量 y＝1×0.84＝0.841； 经过 2年，剩留量 y＝0.84×0.84＝0842； 一般地，经过 x 年，剩留量 y＝0.84x(x＞0，x∈N*).
某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为r，设存期是 x (x∈N*)，本利和(本金加上利息)为 y 元. (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式； (2)已知存入本金 1000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和.
(1) 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式；
解 已知本金为a元，利率为r，则1期后的本利和为 y＝a－ar ＝a(1＋r)， 2 期后的本利和为y＝a(1＋r) ＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， 3 期后的本利和为y＝a(1＋r)3， x 期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*， 即本利和y随存期x变化的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N*.
(2) 已知存入本金 1000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和.
解 将 a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5 代入上式， 得 y ＝1000×(1＋2.25%)5 ＝ 1000×1.02255 ≈ 1117.68(元)， 即5期后的本利和约为 1117.68 元.
在例 5 中，请借助计算器解答下列问题： (1) 第几期后的本利和超过本金的1.5倍? (2) 要使 10 期后的本利和翻一番，利率应为多少? (精确到 0.001)
2000~2002 年，我国国内生产总值年平均增长7.8%. 按照这个增长速度，画出从 2000 年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到 2016 年我国年国内生产总值约为 2000 年的多少倍 (结果取整数).
解 设 2000 年我国年国内生产总值是 1，x 年后我国年国内生产总值为 y .
因为国内生产总值年平均增长 7.8%， 所以从 2001 年开始，每年的国内生产总值是上一年的 1.078 倍， 则经过1年，y＝1×1.078 ＝1.078； 经过2年，y＝1.078×1.078＝ 1.0782； 经过3年，y＝1.0782×1.078＝1.0783；······ 一般地，经过x年，我国年国内生产总值y＝1.078x，x ∈N*.
画出指数函数 y＝1.078x 的图象，如图 6-2-3 所示从图象上看出，当x＝16 时，y≈3.
答 到2016 年我国国内生产总值约为 2000 年的3倍.
1. 已知 2016 年我国国内生产总值为a，设以后每年的年 平均增长率为 b，试写出 x 年后国内生产总值 y 和 x 之间的函数关系式：
解 因为2016年国内生产总值为a，以后每年的年平均增长率为b， 2017年为第一年， 则一年后，国内生产总值为：a ＋ab＝a(1＋b)，
二年后，国内生产总值为：a(1＋)＋a(1＋b)b＝a(1＋b)2，三年后，国内生产总值为：a(1＋b)2＋a(1＋b)2b＝a(1＋b)3，······则x年后，国内生产总值：y＝a(1＋b)x (x∈N*)
2. 某种产品的年销售量为 10 000 件，由于其他新产品的 出现，估计该产品的市场需求每年下降 10%. 写出x年 后，年销售量 y (单位：件) 和 x (单位：年) 之间的函 数关系式.
解 1年后销售量为： a－a·15% ＝a(1－15%)； 2年后销售量为：a(1－15%) －a(1－15%)·15%＝a(1－15%)2；
3年后销售量为：a(1－15%)2－a(1－15%)2·15%＝a(1－15%)3；······x年后销售量为：y＝a(1－15%)x ＝a·0.85x(x∈N*).
3. 某人向银行贷款 10 万元做生意，约定按利率 7% 的复 利计算利息，写出x年后，需要还款总数 y (单位：万 元) 和 x (单位：年) 之间的函数关系式，并用计算器计 算 5 年后的还款总额.
解 由题意可得， 一年后还款总额为：10＋10×7%＝10× (1＋7%)， 二年后还款总额为：10× (1＋7%)＋10× (1＋7%) ×7%＝10× (1＋7%)2，
三年后还款总额为：10×(1＋7%)2＋10×(1＋7%)2×7%＝10×(1＋7%)3，······又因为x年后，需要还款总额为y，所以 y＝10×(1＋7%) ＝10×1.07x( x∈N*).当x＝5时，y＝10×1.075≈14.03.即5年后的还款总额约为14.03万元
1. 某种细胞分裂时，由 1个分裂成 2 个，2个分裂成 4 个 ·····依此类推，写出这样的一个细胞分裂 x 次后，得 到的细胞个数 y 与分裂次数 之间的函数关系式.
解 由题意知该函数模型为指数函数， 设 y＝ax (a＞0，a≠1)； ∴当x＝1时，y＝2， ∴ a＝2，∴y＝2x(x∈N*).
3. 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 1.7m，1.7m＋l；
解 1.7m，1.7m＋1可看作函数 y＝1.7x 的两个函数值， 由于1.7＞1，所以函数 y＝1.7x 在R上单调递增， 由于m＜m＋1，所以1.7m＜1.7m＋1.
(2) 0.8－0.1，0.8－0.2；
解 0.8－0.1，0.8－0.2可看作函数 y＝0.8x 的两个数值， 由于0.8＜1，所以函数 y＝0.8x在R上单调递减， 由于－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.
(3) 0.9m，0.9m－1；
解 0.9m，0.9m－1 可看作函数 y＝0.9x 的两个函数值， 由于0.9＜1，所以函数 y＝0.9x 在R上单调递减， 由于m＞m－1，所以 0.9m＜0.9m－1.
(4) 0.6181.9，
解 0.6181.9，0.6181.8可看作函数 y＝0.618x 的两个数值， 由于0.618＜1，所以函数 y＝0.618x在R上单调递减， 由于1.9＞1.8，所以0.6181.9 ＜
4. 分别把下列各题中的 3 个数按从小到大的顺序用不等 号连接起来：
(1) 22.1，21.9，0.32.1；
解 22.1＞1，21.9＞1，0.32.1＜1， 又 y＝2x 在 R 上单调递增， 2.1＞1.9，22.1＞21.9， 因此 0.32.1＜21.9＜22.1.
(3) 0.80.8，0.80.9，1.20.8；
解 0.80.8＜1，0.80.9＜1，1.20.8＞1， 又y＝0.8x在R上单调递减，0.8＜0.9，则0.80.9＜0.80.8， 因此 0.80.9 ＜0.80.8 ＜
5. 设 m，n 为实数，已知下列不等式成立，试比较 m，n 的大小：
(1) 2m ＜ 2n；
解 ∵ 2＞1. ∴ y＝2x 在R上是单调增函数， ∵ 2m＜2n. ∴m＜n；
(2) 0.2m ＜ 0.2n；
解 ∵0＜0.2＜1， ∴y＝0.2x 在R上是单调减函数， 又∵0.2m＜0.2n. ∴m＞n；
(3) am＜an (0＜a＜1).
解 ∵0＜a＜1. ∴y＝ax 在R上是单调减函数， 又∵ am＜an ∴m＞n.
6. 设 a 为实数，a＞0，a≠1.已知下列不等式成立，求 a 的取值范围：
(1) a3＜ a2；
解：∵ a3＜a2， ∴函数y＝ax 在 R 上是减函数，∴0＜a＜1.
(2) a0.8＜ a0.5；
解：∵ a0.8＜a0.5， ∴函数y＝ax 在 R 上是减函数，∴0＜a＜1.
(3) a－2 ＞ a－3；
解：∵ a－2＞a－3， ∴函数y＝ax 在 R 上是增函数，∴a＞1.
(4) am ＞ an (m＞n).
解：∵ am＞an， ∴函数y＝ax 在 R 上是增函数，∴a＞1.
8. 求满足下列条件的实数 x 的取值范围：
解 由3x＜9，得3x＜32. ∴x＜2；
(4) 3x ＞7x .
解 由3x＞7x，根据幂函数的性质，可得 x＜0.
9. 设 f(x)＝3x，求证：
(1) f(x)f(y) ＝ f(x＋y)；
解 ∵ f(x) ＝3x. ∴左边＝3x·3y＝3x＋y，右边＝3x＋y， 即左边＝右边， ∴原式得证.
(2) f(x)÷f(y) ＝ f(x－y).
10. (1) 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件 a 个， 计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子 元件的产量比上一年增长 p%，试写出此种规格电子 元件的年产量随年数变化的函数关系式；
解 设从今年开始的第x年的电子元件的产量为y，去年电子元件的产量为a个，今年是第一年， 第一年电子元件的产量为：a＋ap% ＝ a(1＋p%)；
第二年电子元件的产量为：a(1＋p%)＋a(1＋p%)p% ＝ a(1＋p%)2第三年电子元件的产量为：a(1＋p%)2＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)3······所以 y＝a(1＋p%)x (0＜x＜m，x∈N)；
(2) 一电子元件厂去年生产某种规格电子元件的成本是 a 元/个，计划从今年开始的 m 年内，每年生产此种规 格电子元件的单件成本比上一年下降 p%，试写出此 种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式.
解 设从今年开始的第x年的电子元件的单件成本为y，去年电子元件的成本是a元/个，今年是第一年， 第一年电子元件的单件成本为：a－ap%＝a(1－p%).0
第二年电子元件的单件成本为：a(1－p%)－a(1－p%)p% ＝ a(1－p%)2第三年电子元件的单件成本为：a(1－p%)2－a(1－p%)p% ＝ a(1－p%)3所以 y＝a(1－p%)x (0＜x≤m，x∈N)
11. 设 a，k 为实数，a＞0，a≠1. 试根据如图所示的函数 y＝ka－x的图象，求 k 和 a 的值.
12. 设 a，b 为实数，a＞0，a≠1. 已知函数 y＝ax＋b的图 象如图所示，求 a，b 的取值范围.
解 ∵函数 y＝ax＋b 在R上单调递增， ∴a＞1. ∴ a的取值范围是(1，＋∞)； ∵当x＝0时，y＝a0＋b＝1＋b＜0. ∴b＜－1， ∴b的取值范围是(－∞，－1) ∴a的取值范围是(1，＋∞)；b的取值范围是(－∞,－1).
15. 已知 y＝f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时， f(x)＝1＋2x，你能画出此函数的图象吗?
解 先在坐标系中画出函数 y＝2x的图像，再向上平移1个单位，取 y 轴左侧部分再作出关于原点的对称图形，所得图像就是函数 y＝f(x) 的图像(包括原点)，如图所示.
16. 有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释 放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量 Q 呈指数 函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具 有关系式Q＝Q0e－0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量. (1) 随时间 t 的增加，臭氧的含量是增加还是减少? (2) 试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失. (用计算器计算)
(1) 随时间 t 的增加，臭氧的含量是增加还是减少?
(2) 试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失. (用计算器计算)
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