专题14 二次函数 中考数学一轮复习专题训练（北京专用）

这是一份专题14 二次函数 中考数学一轮复习专题训练（北京专用），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021九上·平谷期末）用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
2．（2021九上·石景山期末）正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．反比例函数
3．（2021九上·海淀期末）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0，0)的是（ ）
A．y=x+1B．y=x2C．y=(x−4)2D．y=1x
4．（2021九上·燕山期末）在求解方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，先在平面直角坐标系中画出函数y=ax2+bx+c的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（ ）
A．x1=−3，x2=2B．x1=−3，x2=3
C．x1=−2，x2=2D．x1=−2，x2=3
5．（2021九上·密云期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．S=4x+6B．S=4x-6C．S=x2+3xD．S=x2-3x
6．（2021九上·昌平期末）关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A．当x＞-2时，y随x增大而减小B．当x＞-2时，y随x增大而增大
C．当x＞2时，y随x增大而减小D．当x＞2时，y随x增大而增大
7．（2021九上·通州期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0
8．（2021九上·大兴期末）将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（ ）
A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1
C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1
9．（2021九上·丰台期末）抛物线y=(x−4)2+1的对称轴是（ ）
A．x=4B．x=1C．x=−1D．x=−4
10．（2022九下·北京市开学考）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→QB．P→B→QC．P→C→QD．P→D→Q
二、填空题
11．（2021九上·海淀期末）若点A(−1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1 y2（填“＞”，“=”或“＜”）．
12．（2021九上·通州期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y2=14x2(x≥0)于B、C两点，那么线段BC的长是 ．
13．（2021九上·朝阳期末）某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足y=−x2+6x−7，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 元．
14．（2021九上·大兴期末）已知抛物线y=x2−x−3经过点A(2，y1)、B(3，y2)，则y1与y2的大小关系是 ．
15．（2021九上·丰台期末）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
那么该抛物线的顶点坐标是 ．
16．（2022九下·北京市开学考）如果抛物线y=3x2向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
17．（2021九上·丰台期末）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 m．
18．（2021九上·顺义期末）若二次函数y=x2+bx+4配方后为y=(x−1)2+k，则b＝ ， k＝ ．
19．（2021九上·北京市月考）若二次函数y＝2x2－3的图象上有两个点A(1，m)，B(2，n)，则m n(填“<”“＝”或“>”)．
20．（2021九上·平谷期末）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断 月份出售这种药材获利最大．
三、综合题
21．（2021九上·海淀期末）在平面直角坐标系xOy中，点(4，3)在抛物线y=ax2+bx+3(a>0)上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知m>0，当2−m≤x≤2+2m时，y的取值范围是−1≤y≤3，求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n−222．（2021九上·丰台期末）在平面直角坐标系xOy中，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线y=x2−2mx+m2−1上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若x1=m−2，x2=m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于−1≤x1<4，x2=4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．
23．（2022九上·昌平期中）已知二次函数y=x2+2x−3．
（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求该二次函数的图象与x轴交点．
24．（2021九上·昌平期末）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2＋bx的图象上
（1）当m＝-3时
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点（-1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，则a的取值范围是 ▲ ；
（2）当mn＜0时，求b的取值范围
25．（2021九上·西城期末）已知二次函数y=x2+4x+3．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象；
（3）若点A(0，y1)和B(m，y2)都在此函数的图象上，且y126．（2022九上·昌平期中）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
27．（2022九上·昌平期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)与y轴交于点A．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；
（3）已知点P(4，0)，Q(−1a，0)．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
28．（2022·房山模拟）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．
（1）求二次函数的解析式及P点坐标；
（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．
29．（2021九上·东城期末）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
30．（2022九上·海淀期中）探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为y=ax2，则抛物线的焦点为(0，14a)．如图，在平面直角坐标系xOy中，某款探照灯抛物线的表达式为y=14x2，焦点为F．
（1）点F的坐标是 ；
（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线AM射出，AM所在直线与x轴的交点坐标为(4，0)．
① 画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP；
②BP所在直线与x轴的交点坐标为 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为2−2x2米，
则S=x×2−2x2=−x2+x
则S与x的函数关系为二次函数关系
故答案为：D
【分析】设矩形的一边长为x米，则另一边长为2−2x2米，根据矩形的面积公式可得S=x×2−2x2=−x2+x，即可得到答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形的周长为x，
∴正方形的边长为x4，
∴正方形的面积y=(x4)2=116x2；
故答案为：C．
【分析】先利用x的表达式求出正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列出解析式y=(x4)2=116x2即可得到答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A.当x=0时，y=0+1=1，y=x+1图象过点(0，1)，选项A不合题意；
B.当x=0时，y=02=0，y=x2图象过点(0，0)，选项B合题意；
C.当x=0时，y=(0−4)2=16，y=(x−4)2图象过点(0，16)，选项C不合题意；
D.当x=0时，y=1x无意义，选项D不合题意．
故答案为：B．
【分析】将点（0，0）分别代入各选项的解析式求解判断即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：x1=−2，x2=3，
所以方程的近似解是x1=−2，x2=3.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm
由题意得：S=x（x+3）=x2+3x.
故答案为：C.
【分析】设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm，根据矩形的面积公式可得S=x（x+3）=x2+3x.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵y=−（x−2）2＋3，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大
∴C符合题意，
故答案为：C．
【分析】由于抛物线开口向下，对称轴为x=2，可得当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大，据此逐一判断即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系即可得出答案。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：y=x2−4x+4+1=(x−2)2+1，
故答案为：D．
【分析】利用配方法将一般式化为顶点式即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线y=(x−4)2+1的对称轴是直线x=4，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线顶点式的解析式可得对称轴为直线x=4。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故答案为：B．
【分析】分类讨论投篮线路经过A、B、C、D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解即可。
11．【答案】＜
【解析】【解答】解：∵若点A(−1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=2x2上，
y1=2×（-1）2=2，y2=2×4=8，
∵2＜8，
∴y1﹤y2．
故答案为：﹤.
【分析】根据抛物线的性质求解即可。
12．【答案】2
【解析】【解答】解：∵x≥0，则y=4y=x2解得x=2y=4，即B(2，4)
y=4y2=14x2解得x=4y=4，即C(4，4)
∴BC=4−2=2
故答案为：2
【分析】根据二次函数的图象分析即可得出答案。
13．【答案】2
【解析】【解答】解：y=−x2+6x−7
y=−(x−3)2+2
根据函数图象性质可知在x=3时，y最大且取值为2
故答案为：2．
【分析】将一般式化为顶点式，再利用抛物线的性质求解即可。
14．【答案】y
【解析】【解答】解：∵点A(2，y1)点B（3，y2）经过抛物线y=x2-x-3，
∴y1=22-2-3=1， y2=32-3-3=3，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【分析】根据抛物线的解析式求出y1与y2的值，再求解即可。
15．【答案】（1，-4）
【解析】【解答】解：观察表格并由抛物线的图像与性质可知
该抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1
∵顶点坐标在对称轴上
∴由表格可知该抛物线的顶点坐标为（1，-4）
故答案为：（1，-4）．
【分析】观察表格并由抛物线的图像与性质可知该抛物线的对称轴，因为顶点坐标在对称轴上，即可得出答案。
16．【答案】y=3x2−2
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y=3x2向下平移2个单位，得到的抛物线是： y=3x2−2．
故答案是： y=3x2−2．
【分析】根据函数解析式平移的原则：上加下减，左加右减求解即可。
17．【答案】454
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图：
根据题意可知，点A的坐标为（3，10），点C的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.5，
设抛物线的的解析式为y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得，
9a+3b+c=1025a+5b+c=0b−2a=3.5，
解得，a=−5b=35c=−50，
抛物线解析式为：y=−5x2+35x−50，
把x=3.5代入得，y=454；
故答案为：454
【分析】建立平面直角坐标系，再设抛物线的的解析式为y＝ax2+bx+c，再求出抛物线的解析式，然后将x=3.5代入计算即可。
18．【答案】-2；3
【解析】【解答】解：∵y＝（x−1）2＋k＝x2−2x＋1＋k，
∴b＝−2，1＋k＝4，
解得k＝3，
故答案为：-2；3．
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可。
19．【答案】<
【解析】【解答】因点A(1，m)，B(2，n)在函数的图象上，则有 m=2×12−3=−1，n=2×22−3=5
所以m＜n
【分析】先求出m=2×12−3=−1，再求出n=2×22−3=5，最后比较大小即可。
20．【答案】5
【解析】【解答】解：设每千克的售价是y元，月份为x，则可设y=kx+b
把（3，8），（6，6）代入得，3k+b=86k+b=6
解得，k=−23b=10
∴y=−23x+10
设每千克成本是z元，根据图象可设z=a(x−6)2+1
把（3，4）代入z=a(x−6)2+1，得a(3−6)2+1=4
∴a=13
∴z=13x2−4x+13
∴设利润为w，则有：
w=y−z=−23x+10−(13x2−4x+13)=−13(x−5)2+163
∵−13<0
∴w=−13(x−5)2+163有最大值，
∴当x=5时，w有最大值，
∴5月份出售这种药材获利最大．
故答案为：5
【分析】先求出售价的函数解析式y=−23x+10，再求出成本的函数解析式z=13x2−4x+13再设利润为w，列出函数解析式w=y−z=−23x+10−(13x2−4x+13)=−13(x−5)2+163，最后利用抛物线的性质求解即可。
21．【答案】（1）解：依题意，
∵ 抛物线y=ax2+bx+3过点（0，3），（4，3），
∴ 该抛物线的对称轴为直线x=2．
（2）解：∵ 抛物线y=ax2+bx+3对称轴为直线x=2，
∴−b2a=2，即b=−4a①．
∵m>0，
∴2−m<2<2+2m．
∵a>0，抛物线开口向上，
∴ 当x=2时，函数值在2−m≤x≤2+2m上取得最小值−1．
即 4a+2b+3=−1②．
联立①②，解得a=1，b=−4．
∴ 抛物线的表达式为y=x2−4x+3，即y=(x−2)2−1．
∵m>0，
∴ 当2−m≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x=2−m时取得最大值，
当2≤x≤2+2m时，y随x的增大而增大，当x=2+2m时取得最大值，
∵对称轴为x=2，
∴x=2−m与x=2+m时的函数值相等．
∵2<2+m<2+2m，
∴ 当x=2+2m时的函数值大于当x=2+m时的函数值，即x=2−m时的函数值．
∴ 当x=2+2m时，函数值在2−m≤x≤2+2m上取得最大值3．
代入有4m2−1=3，舍去负解，得m=1．
（3）存在，n=1
【解析】【解答】解：（3）解：存在，n=1．
∵当n−2∴关于x的取值范围一定不包含对称轴，
①当n≤2时，n−2∵二次函数开口向上，
∴x=n−2时，y有最大值，x=n时，y有最小值，
由题意可知：(n−2)2−4(n−2)+3=3n+5n2−4n+3=3n−3，解得：n=1，
故n=1，
②当n−2≥2时，n−2∵二次函数开口向上，
∴x=n−2时，y有最小值，x=n时，y有最大值，
由题意可知：(n−2)2−4(n−2)+3=3n−3n2−4n+3=3n+5，此时n无解，
故不符合题意，
∴n=1．
【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+3过点（0，3），（4，3），即可得出该抛物线的对称轴；
（2）根据抛物线y=ax2+bx+3对称轴为直线x=2，得出抛物线开口向上，当x=2时，函数值在2−m≤x≤2+2m上取得最小值−1．当2−m≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x=2−m时取得最大值，当2≤x≤2+2m时，y随x的增大而增大，当x=2+2m时取得最大值，当x=2+2m时的函数值大于当x=2+m时的函数值，即x=2−m时的函数值．当x=2+2m时，函数值在2−m≤x≤2+2m上取得最大值3；
（3）存在，①当n≤2时，n−222．【答案】（1）解：y=x2−2mx+m2−1
=(x−m)2−1
所以抛物线的顶点坐标为：(m，1)
（2）解：∵y=(x−m)2−1，
∴ 抛物线的对称轴为：直线x=m，
∵x1=m−2，x2=m+2，
∴m−2而m−(m−2)=2=m+2−m，
∴P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线x=m对称，
∴y1=y2.
（3）解：m≤32
【解析】【解答】(3)解：当抛物线的对称轴x=m≤−1时，如图，
Q始终在P的上方，满足y1所以m≤−1，
当−1(2m−4，y2)，
当2m−4≤−1时，满足y1≤y2，
此时−1当m≥4时，同理可得y2综上：对于−1≤x1<4，x2=4，都有y1≤y2，m的取值范围为：m≤32.
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点事求解即可；
（2）分别将x1=m−2，x2=m+2，代入解析式求解即可；
（3）求出关于对称轴对称点，根据抛物线开口向上及y1≤y2求解即可。
23．【答案】（1）解：y=x2+2x−3
=(x+1)2−4，
∴二次函数的图象的对称轴为直线x=−1和顶点坐标为(−1，−4)
（2）解：令y=0，有x2+2x−3=0，
解得：x1=−3，x2=1，
∴该二次函数的图象与x轴交点为(−3，0)，(1，0)．
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式y=(x+1)2−4，再求解即可；
（2）将y=0代入y=x2+2x−3可得x2+2x−3=0，再求出x的值即可。
24．【答案】（1）解：当m＝-3时
①把点（1，-3）代入y＝x2＋bx，得b＝-4，
二次函数表达式为y＝x2 -4x＝（x-2）2 -4
所以顶点坐标为（2，-4）
②a<−1或a>5
（2）解：将点（1，m），（3，n）代入y＝x2＋bx，可得m＝1＋b ，n＝9＋3b
当mn＜0时，有两种情况：
①若m>0，n<0. 把m＝1＋b ，n＝9＋3b代入可得1+b>0，9+3b<0. 此时不等式组无解
②若m<0，n>0. 把m＝1＋b ，n＝9＋3b代入可得1+b<0，9+3b>0.解得-3＜b＜-1
所以-3＜b＜-1
【解析】【解答】解：（1）②根据题意得抛物线y＝x2 -4x开口向上，对称轴为直线x=2，
∵y2＞y1，
∴i)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴左侧时，有a<−1；
ii)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴两侧时，根据对称性可知a>5；
所以a的取值范围是：a＜-1或a＞5
故答案为：a＜-1或a＞5
【分析】（1）①把点（1，-3）代入y＝x2＋bx中求出b值，即得y＝x2 -4x，再化为顶点式即可求解；
②分两种情况：i)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴左侧；ii)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴两侧时，据此分别求解即可；
（2） 将点（1，m），（3，n）代入y＝x2＋bx，可得m＝1＋b ，n＝9＋3b ，当mn＜0时，有两种情况：①若m>0，n<0.②若m<0，n>0. ，据此分别建立不等式组并求解即可.
25．【答案】（1）解：∵抛物线解析式为y=x2+4x+3=(x+2)2−1，
∴抛物线对称轴为直线x=−2，顶点坐标为（-2，-1）；
（2）解：列表如下：
函数图象如下所示：
（3）m<−4或m>0
【解析】【解答】解：（3）
由函数图象可知，当y10．
【分析】（1）根据抛物线解析式即可得出答案；
（2）根据列表即可画出函数图象；
（3）由函数图象可知，当y126．【答案】（1）解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设y=a(x−3)2+3，
∵y=a(x−3)2+3经过点(0，53 )，
∴53=a(0−3)2+3
解得∶a=−427，
∴y=−427(x−3)2+3=−427x2+89x+53，
∴y关于x的函数表达式为y=−427x2+89x+53
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数y=−427x2+89x+53，当y=0时，有−427x2+89x+53=0
∴4x2−24x−45=0，
解得∶x1=152， x2=−32 (舍去)，
∵152>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【解析】【分析】（1）设y=a(x−3)2+3，再将点（0，53）代入y=a(x−3)2+3可得53=a(0−3)2+3，求出a的值，即可得到二次函数的解析式；
（2）将y=0代入解析式y=−427x2+89x+53可得−427x2+89x+53=0，再求出x的值即可。
27．【答案】（1）(0，-3)
（2）解：∵x=−b2a=−−2aa=1；
∴B(2，−3)
（3）解：当抛物线过点P（4，0）时，a=38，
∴Q(−83，0)．
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
当抛物线过点Q(−1a，0) 时，a=1，
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，
∴38≤a≤1．
当抛物线开口向下时，a<−3．
综上所述，当38≤a≤1或a<−3时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．
【解析】【解答】解：（1）由题意抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)与y轴交于点A ，将x=0代入求出坐标为(0，−3)；
【分析】（1）根据抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)与y轴交于点A即可直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，即可求点B的坐标；
（3）根据点P(4，0)，Q(−1a，0)，若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围。
28．【答案】（1）解：点A、C在二次函数的图象上，
∴1+b+c=0c=−3，
解得b=2c=−3，
∴二次函数的解析式为：y=x2+2x−3，
∵y=(x+1）2−4
∴顶点P的坐标为（−1，−4）；
（2）解：m⩽x⩽m+1时，y的最小值为−4，
∴m⩽−1⩽m+1，即−2⩽m⩽−1，
①−2⩽m<−32时，y最大值=m2+2m−3，
由m2+2m−3=2m，解得：m=3（舍去），m=−3，
②当−32⩽m⩽−1时，y最大值=(m+1)2+2(m+1)−3，
由(m+1)2+2(m+1)−3=2m，
解得：m=0（舍去），m=−2（舍去），
综上：m的值为−3．
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入y=x2+bx+c求出b、c的值，再利用配方法将一般式化为顶点式可得点P的坐标；
（2）分两种情况：①−2⩽m<−32时，y最大值=m2+2m−3，②当−32⩽m⩽−1时，y最大值=(m+1)2+2(m+1)−3，再分别求解即可。
29．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=x m，
∴BC=(40-2x)m，
∴花园的面积为：y=AB•BC=x•(40-2x)=-2x2+40x，
∵40-2x≤25，x+x<40，
∴x≥7.5，x<20，
∴7.5≤x<20，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-2x2+40x（7.5≤x<20）；
（2）解：∵y=−2(x−10)2+200，(7.5≤x<20)
∴ 当x=10时，ymax=200．
答：当x为10m时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．
【解析】【分析】（1）根据AB=x m，BC=(40-2x)m，再利用y=AB•BC=x•(40-2x)=-2x2+40x即可得到答案；
（2）利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式y=−2(x−10)2+200，再利用抛物线的性质求解即可。
30．【答案】（1）（0，1）
（2）解：①由题意可知抛物线y=14x2的对称轴是y轴，
∴经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，
∴AM∥y轴
∵AM所在的直线与x轴的交点坐标为(4，0)，
∴A点的横坐标为4，纵坐标为y=14×42=4，
∴A(4，4)，
①经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，
∴BP∥y轴
∴画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP，如下图所示：
；
②（-1，0）
【解析】【解答】（1）解：根据题意得y=14x2，a=14，
∴14a=1，
∴F(0，1)，
故答案为：（0，1）；
（2）②设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，把A(4，4)、F(0，1)代入，
得4k+b=4b=1，
解得：k=34b=1
∴直线AB的解析式为y=34x+1，
由题意可知，直线AB与抛物线交于A、B两点，
把y=14x2代入y=34x+1
整理得x2−3x−4=0，
解得：x1=−1，x2=4，
∵点B在y轴的左侧，
∴B点的横坐标为−1，
∵BP∥y轴，
∴BP所在直线与x轴的交点坐标为(−1，0)，
故答案为：(−1，0)．
【分析】（1）根据题意先求出14a=1，再求点的坐标即可；
（2）①先求出 AM∥y轴 ，再求出 BP∥y轴 ，最后求解即可；
②利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=34x+1，再求出B点的横坐标为−1，最后求点的坐标即可x
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y
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