高考数学二轮专题回顾7 立体几何与空间向量

这是一份高考数学二轮专题回顾7 立体几何与空间向量，共6页。试卷主要包含了简单几何体的表面积和体积，空间中的平行关系，空间中的垂直关系，空间向量在立体几何中的应用，三棱锥中等内容，欢迎下载使用。

[检验1] 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
答案 A
解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.
2.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
[检验2] 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________.
答案 36eq \r(2)
解析 在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，如图，则易得O′D′＝3eq \r(2)，
所以原平面图形为一边长为6，高为6eq \r(2)的平行四边形，所以其面积为6×6eq \r(2)＝36eq \r(2).
3.简单几何体的表面积和体积
(1)S直棱柱侧＝ch(c为底面的周长，h为高).
(2)S正棱锥侧＝eq \f(1,2)ch′(c为底面周长，h′为斜高).
(3)S正棱台侧＝eq \f(1,2)(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高).
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线长)，
S圆锥侧＝πrl(r为底面半径，l为母线长)，
S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底面的半径，l为母线长).
(5)体积公式
V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)，
V锥＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)，
V台＝eq \f(1,3)(S＋eq \r(SS′)＋S′)h(S，S′分别为上、下底面面积，h为高).
(6)球的表面积和体积
S球＝4πR2，V球＝eq \f(4,3)πR3.
[检验3] (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A.8 B.6eq \r(2)
C.8eq \r(2) D.8eq \r(3)
(2)已知底面边长为1，侧棱长为eq \r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.eq \f(32π,3) B.4π
C.2π D.eq \f(4π,3)
答案 (1)C (2)D
解析 (1)连接BC1(图略)，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形.
又AB＝2，所以BC1＝2eq \r(3).
又B1C1＝2，
所以BB1＝eq \r(（2\r(3)）2－22)＝2eq \r(2)，
故该长方体的体积V＝2×2×2eq \r(2)＝8eq \r(2).故选C.
(2)球的直径2R＝eq \r(1＋1＋2)＝2，故R＝1，V球＝eq \f(4,3)π.
4.空间中的平行关系
(1)线面平行：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,b⊂α,a⊄α))⇒a∥α；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,a⊂β))⇒a∥α；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,a⊥β,a⊄α))⇒a∥α；
(2)面面平行：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,a∥β,b∥β))⇒α∥β；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,a⊥β))⇒α∥β；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,γ∥β))⇒α∥γ；
(3)线线平行：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥c,b∥c))⇒a∥b.
[检验4] 已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面.若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2
答案 D
解析 对A，若m与l1平行可满足m∥β且l1∥α，但α，β可能相交，故A错误；
对B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必须满足m，n相交，故B错误；
对C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必须满足m，n相交，故C错误；
对D，由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由选项D可以推知α∥β，故D正确.
5.空间中的垂直关系
(1)线面垂直：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a，l⊥b))⇒l⊥α；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α，a⊥l))⇒a⊥β；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,a⊥α))⇒a⊥β；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α；
(2)面面垂直：二面角为90°；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂β,a⊥α))⇒α⊥β；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥β,a⊥α))⇒α⊥β；
(3)线线垂直：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b.
[检验5] 已知直线m和平面α，β满足：m⊥α，α⊥β，则( )
A.m⊥β B.m∥β或m⊂β
C.m⊂β D.m∥β
答案 B
解析 当m⊂β，m⊥α时，有α⊥β，故由m⊥α，α⊥β，可得m⊂β；
当m⊄β，m⊥α，α⊥β，则m∥β，故由m⊥α，α⊥β，可得m∥β或m⊂β.
6.空间向量在立体几何中的应用
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v.
(1)空间位置关系：
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；
l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；
α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.
(2)空间角：①设异面直线l，m的夹角θ，则cs θ＝eq \f(|a·b|,|a|·|b|)；
②设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝eq \f(|a·u|,|a|·|u|)；
③设平面α，β所成锐二面角为θ，则cs θ＝eq \f(|u·v|,|u|·|v|).
(3)空间距离：设A是平面α外一点，O是α内一点，则A到平面α的距离d＝eq \f(|\(AO,\s\up6(→))·u|,|u|).
注意 (1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦.
(2)求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析.
[检验6] 在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 取BC的中点E，连接DE、AE，如图：
依题意三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，设棱长为2，
则AE＝eq \r(3)，DE＝1，
因为D、E分别是BC1和BC的中点，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，
所以DE⊥AE，
所以AD＝eq \r(AE2＋DE2)＝eq \r(3＋1)＝2，
因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，
所以AE⊥平面BCC1B1，
所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，所以sin∠ADE＝eq \f(AE,AD)＝eq \f(\r(3),2).
所以AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是eq \f(\r(3),2).
7.三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S侧cs θ＝S底.
[检验7] 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.
(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点.
(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.
(4)若P到AB，BC，CA三边距离相等，则点O是△ABC的________心.
答案 (1)中 (2)外 (3)垂 (4)内