高考数学二轮专题回顾8 平面解析几何

这是一份高考数学二轮专题回顾8 平面解析几何，共7页。试卷主要包含了直线的倾斜角α与斜率k，直线的方程，两直线的平行与垂直，圆的方程，直线、圆的位置关系，理解圆锥曲线的定义要抓住关键词，直线与圆锥曲线的位置关系等内容，欢迎下载使用。

(1)倾斜角α的范围为[0，π).
(2)直线的斜率
①定义：k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k).
[检验1] 直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.(0，π)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 D
2.直线的方程
(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线.
(2)斜截式：y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线.
(3)两点式：eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，它不包括垂直于坐标轴的直线.
(4)截距式：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.
(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式.
[检验2] 过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0
C.2x－y＝0或x＋y－3＝0D.2x－y＝0或x－y＋1＝0
答案 D
解析 当直线过原点时，满足题意的方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，
∵直线过(1，2)，
∴eq \f(1,a)－eq \f(2,a)＝1，∴a＝－1，
∴方程为x－y＋1＝0，故选D.
3.两直线的平行与垂直
①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[检验3] 设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当______时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合.
答案 －1 eq \f(1,2) m≠3且m≠－1 3
4.点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
[检验4] 在平面直角坐标系xOy中，已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是eq \r(5)，则m＋n等于( )
A.－6 B.1
C.0 D.2
答案 C
解析 直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，所以n＝－2，
因为两平行线之间的距离d＝eq \r(5)，
所以eq \r(5)＝eq \f(|m＋3|,\r(1＋22))，解得|m＋3|＝5，
整理得m＝2或－8(负值舍去)，
故m＋n＝2＋(－2)＝0.
5.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，只有当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为
eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)的圆.
[检验5] 写出一个同时满足下列条件①②的圆C的标准方程：________.
①圆C与直线x＋y＝0相切；②A，B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴，AB为圆C的直径.
答案 (x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一，形如(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，a>0即可)
解析 设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A，B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴，AB为圆C的直径，所以原点在圆C上，即a2＋b2＝r2，
又圆C与直线x＋y＝0相切，
所以eq \f(|a＋b|,\r(2))＝r，
解得r＝eq \r(2)a＝eq \r(2)b，
取a＝1，则b＝1，r＝eq \r(2)，此时圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
故答案可为：(x－1)2＋(y－1)2＝2.(答案不唯一，形如(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，a>0即可)
6.直线、圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)有相交、相离、相切三种位置关系.可从代数和几何两个方面来判断；
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d＜r⇔相交；d＞r⇔相离；d＝r⇔相切.
(2)圆与圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则①当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；②当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；④当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；⑤当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含.
[检验6] (1)已知直线l：mx＋y－m－1＝0与圆C：x2＋y2－4x＋4y－10＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________.
(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0相交，且公共弦长为2eq \r(2)，则a＝________.
答案 (1)4eq \r(2) (2)±eq \f(\r(10),4)
解析 (1)由题得m(x－1)＋y－1＝0，所以直线l：mx＋y－m－1＝0经过定点M(1，1)，
圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝18的圆心为C(2，－2)，半径为3eq \r(2).
圆心到定点M(1，1)的距离为eq \r(（2－1）2＋（－2－1）2)＝eq \r(10)，
当CM⊥l时，|AB|取得最小值，且最小值为2eq \r(（3\r(2)）2－（\r(10)）2)＝2eq \r(18－10)＝4eq \r(2).
(2)圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0的方程相减即为公共弦所在直线方程：2ax＋4ay－5＝0，圆x2＋y2＝4圆心(0，0)到公共弦距离d＝eq \f(5,\r(4a2＋16a2))＝eq \f(\r(5),2\r(a2))，
则公共弦长度为2eq \r(2)＝2eq \r(4－d2)，
解得a＝±eq \f(\r(10),4).
7.理解圆锥曲线的定义要抓住关键词.例如椭圆中定长大于两定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支，在抛物线的定义中必须注意条件：F∉l，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线.
[检验7] (1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
(2)设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上一点.若|PF2|＝|F1F2|，点F2到直线PF1的距离为2a，则C的离心率为________.
(3)拋物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(2，m)为C上一点，若|PF|＝3，则m＝________.
答案 (1)3 (2)eq \f(5,3) (3)±2eq \r(2)
解析 (1)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，eq \(PF1,\s\up6(→))与eq \(PF2,\s\up6(→))垂直 ，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝2b2，
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝eq \f(1,2)×2b2＝b2＝9，所以b＝3.
(2)如图所示，作PF1中点M，连接F2M，
由已知得F2M⊥PF1，且|F2P|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝2a，
则|F1P|＝2|F1M|＝2eq \r(（2c）2－（2a）2)＝4b，又由双曲线定义可知|F1P|－|F2P|＝2a，即4b－2c＝2a，而b2＝c2－a2，可得5a2＋2ac－3c2＝0，即(a＋c)(5a－3c)＝0，
所以C的离心率e＝eq \f(5,3).
(3)拋物线C：y2＝2px的准线方程为：x＝－eq \f(p,2)，因为|PF|＝3，
所以2－(－eq \f(p,2))＝3⇒p＝2，
把P(2，m)代入抛物线方程中，得m2＝2×2×2⇒m＝±2eq \r(2).
8.求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般按照先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，后求出待定系数.
(1)椭圆标准方程：焦点在x轴上，eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)；焦点在y轴上，eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0).
(2)双曲线标准方程：焦点在x轴上，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)；焦点在y轴上，eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0).
(3)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)具有共同渐近线的双曲线系为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
(4)抛物线标准方程
焦点在x轴上：y2＝±2px(p＞0)；
焦点在y轴上：x2＝±2py(p＞0).
[检验8] (1)过点(2，－2)，且与双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1
(2)y＝4x2的焦点坐标是________.
答案 (1)D (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
9.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)在把圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系.有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切.
(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋k2))[（x1＋x2）2－4x1x2])或|P1P2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2])(k≠0).
(3)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)，D(x2，y2)，则①焦半径|CF|＝x1＋eq \f(p,2)；②弦长|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
[检验9] 已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________.
答案 16