2 第六章 平面向量及其应用（向量篇）典型例题实战（练透核心考点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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练透核心考点一：平面向量的概念
1．（2023·高一课时练习）给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③（为实数），则必为零；
④为实数，若，则与共线；
⑤向量的大小与方向有关．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
3．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
5．（2023春·河北·高二统考学业考试）下列说法中正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若和都是单位向量，则
D．零向量与其它向量都共线
练透核心考点二：平面向量的线性运算
角度1：向量的加法与减法运算
1．（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心B．外心C．重心D．垂心
3．（2023·高一课时练习）在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，用、的线性组合表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）在 中，点 满足 ，则（ ）
A．点 不在直线 上B．点 在 的延长线上
C．点 在线段 上D．点 在 的延长线上
5．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则P点（ ）
A．在线段BC上，且B．在线段CB的延长线上，且
C．在线段BC的延长线上，且D．在线段BC上，且
6．（2023·高一课时练习）如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之.
角度2：平面向量的数乘运算
1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东茂名·统考一模）在中，，，若点M满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在中，，设点P，Q满足.若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·高三课时练习）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
高频考点三：平面向量基本定理
1．（2023·福建漳州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知是内部（不含边界）一点，若，，则__________.
4．（2023秋·天津南开·高三天津市第九中学校考期末）如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则______，若是线段的中点，且，则______.
练透核心考点四：平面向量数量积运算
角度1：用定义求向量的数量积
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·统考一模）在平行四边形中，，则（ ）
A．4B．C．D．3
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（ ）
A．0B．C．1D．
3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（2023·全国·高三专题练习）已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的取值范围是________.
5．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D，边BC上有两动点E，F，若，则的取值范围是______．
角度2：已知数量积求模
1．（2023秋·云南·高二统考期末）设，夹角为，则等于（ ）
A．37B．13C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知为单位向量，且，则__________.
4．（2023·全国·模拟预测）若平面向量，，且，则______.
5．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知向量，若与垂直，则___________.
角度3：已知模求参数
1．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知向量，，若，则________．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量的夹角为，，，则的取值范围是________.
5．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知向量，，若，，则______.
角度4：向量模的最值问题
1．（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.
2．（2022·高一单元测试）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是______．
3．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）已知，向量，，，、、是坐标平面上的三点，使得，，则的最大值为__．
4．（2022秋·江苏宿迁·高三泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；
(2)求的最小值．
5．（2022·全国·高一专题练习）已知两个不共线的向量的夹角为，且．
(1)若，求的值；
(2)若为定值，点M在直线上移动，的最小值为，求的值．
角度5：求向量的夹角
1．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）设向量，，若与的夹角大于，则实数的取值范围为____________.
3．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知平面向量，，其中，．
(1)求与的夹角；
(2)若与共线，求实数的值．
4．（2023·高一课时练习）平面内有向量，，，点为直线上的一个动点．
（1）当取最小值时，求的坐标；
（2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值．
5．（2022秋·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考阶段练习）已知向量，.
(1)若，求实数m的值；
(2)若非零向量满足，求与的夹角.
角度6：向量数量积的最值问题
1．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·高一课时练习）如图，正六边形的边长为，记，从点､､､､､这六点中任取两点为向量的起点和终点，则的最大值为______.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________.
4．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）已知中，，，的对边，，成等比数列，，延长至点，使.求：
(1)的大小；
(2)的取值范围.
5．（2023·高三课时练习）已知P是边长为2的正六边形内的一点，求的取值范围．
角度7：向量的投影（向量）
1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A．B．3C．D．1
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·上海黄浦·统考一模）已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为______.
4．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
5．（2023秋·浙江·高三期末）已知向量，则在方向上的投影向量是______________．
练透核心考点五：平面向量的共线（平行）问题
1．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）已知空间向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）如图，已知平行四边形中，点为的中点，，，若，则（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
3．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心．
(1)求；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．
4．（2023·高一课时练习）已知，，，且与平行，求m的值．
5．（2023·全国·高一专题练习）平面内给定三个向量，，．
(1)若，求实数；
(2)若满足，且，求的坐标．
高频考点六：已知向量成锐角（钝角）求参数
1．（2022春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知向量，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．
(1)若∥，求 的值；
(2)若⊥（＋2），求实数k的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
3．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．
(1)若且与垂直，求与的夹角 ；
(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
4．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知，，
(1)求在方向上的投影．
(2)求．
(3)若，求k的值．
(4)若与的夹角为锐角，求的范围．
练透核心考点七：平面向量的垂直问题
1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知向量，，若，则实数__________．
2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知向量，，若，则___________.
3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知向量，，若，则t的值为______．
4．（2023·高一单元测试）已知向量，，．
(1)当k为何值时，与平行；
(2)若向量满足，且，求．
5．（2022春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）已知向量，．
(1)求；
(2)若向量与互相垂直，求的值．
练透核心考点八：三点共线的等价关系
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，点D满足，E为上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，是边上一点.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为
A．B．C．D．
4．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF交于点M，若
，则实数λ与μ的乘积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．8
练透核心考点九：向量在物理中的应用举例
1．（2023·高一课时练习）已知一物体在两力、的作用下，发生位移，则所做的功是________．
2．（2023·高一单元测试）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则、 的合力对该质点所做的功为______．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为_____．
4．（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.
5．（2023·全国·高三专题练习）平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：
(1)的大小；
(2)与夹角的大小．
练透核心考点十：向量新定义题
1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）黄金分割〔〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．若，则B．若，则
C．D．
3．（多选）（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点F在弧上，且，点E在弧上运动.则下列结论正确的有（ ）
A．B．，则
C．在方向上的投影向量为D．的最小值是-3
4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响．如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（ ）
A．与能构成一组基底B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．