3 第六章 平面向量及其应用(解三角形篇）典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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一、基本概念回归
二重点例题（高频考点）
高频考点一：利用正余弦定理解三角形
角度1：利用正弦定理解三角形
角度2：利用余弦定理解三角形
高频考点二：三角形解的个数问题
高频考点三：判断三角形形状
高频考点四：边角互化
角度1：正弦定理边角互化
角度2：余弦定理边角互化
高频考点五：三角形外接圆问题
高频考点六：三角形周长（边长）问题
角度1：三角形周长（边长）定值问题
角度2：三角形周长（边长）最值问题
角度3：三角形周长（边长）取值范围问题
高频考点七：三角形面积问题
角度1：三角形面积定值问题
角度2：三角形面积最值问题
角度3：三角形面积取值范围问题
高频考点八：三角形中线问题
高频考点九：三角形角平分线问题
高频考点十：几何图形中的计算问题
高频考点十一：解三角形实际应用
角度1：距离测量问题
角度2：高度测量问题
角度3：角度测量问题
一、基本概念回归
1、正弦定理
①（为外接圆半径）
②边角互化：；；
③比值：
④应用：；；
2、余弦定理

3、余弦定理变形：
4、三角形面积公式
（为内切圆半径）
5、三角形中常用角的变换
注意这两个公式的正向，逆向应用
6、三角形中，中线问题
核心技巧①：向量形式，进一步可通过两边平方法求解
核心技巧②：
7、三角形中角平分线常用结论
①倍角：
②内角平分线定理：或
③面积关系式：
二重点例题（高频考点）
高频考点一：利用正余弦定理解三角形
角度1：利用正弦定理解三角形
1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（ ）
A．B．或C．D．或
2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（ ）
A．B．
C．或D．或
3．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·湖南湘潭·高二统考期末）在中，，则______.
5．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，角，，的对边分别为，，，且，求的面积.
角度2：利用余弦定理解三角形
1．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ）
A．2B．C．4D．16
3．（2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，，且，则______.
4．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足.
(1)求；
(2)若，求面积的最小值.
5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，，．
(1)求角C的大小；
(2)若，求边c．
高频考点二：三角形解的个数问题
1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
3．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（ ）
A．B．
C．D．
高频考点三：判断三角形形状
1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
2．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（ ）．
A．钝角三角形；B．锐角三角形；C．直角三角形；D．不能确定．
3．（2023·高一课时练习）在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（ ）
A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．以上都有可能．
4．（2023·高一课时练习）在中，已知，则是（ ）
A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．
5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为，，B．则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
高频考点四：边角互化
角度1：正弦定理边角互化
1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.
2．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）在中，角的对边分别为，若.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求的周长.
3．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求边长
4．（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求证：；
(2)若，，求△ABC的面积．
5．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，，求的周长.
角度2：余弦定理边角互化
1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2023·全国·高三专题练习）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）在中，角 的对边分别是 ，．
(1)求C；
(2)若，的面积是，求的周长．
5．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，．已知，．
(1)证明：；
(2)求面积的最大值．
高频考点五：三角形外接圆问题
1．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．
3．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.
4．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）在锐角中，BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R．
(1)求的值；
(2)若，且，求R．
5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若3a＝b+c，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的面积．
高频考点六：三角形周长（边长）问题
角度1：三角形周长（边长）定值问题
1．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知在锐角中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求的周长.
①；②.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．（2023·高一课时练习）在中，所对的边为 ，满足 ．
(1)求A的值；
(2)若，求的周长．
3．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）在 中，角的对边长分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的周长.
4．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）已知分别为 的三个内角 的对边， .
(1)求B；
(2)若的面积为4，求 .
角度2：三角形周长（边长）最值问题
1．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（ ）
A．7B．C．D．4
3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形中，，若，的面积为．
(1)求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
4．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若__________，求的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.
(1)求的长度；
(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.
6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①，② ，③ 中任选一个，
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的最大值．
7．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)求角A的大小；
(2)若，求△ABC周长的最大值．
角度3：三角形周长（边长）取值范围问题
1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.
2．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在平面四边形中，.
(1)求的长；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
3．（2023·广东茂名·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求证：.
(2)求的取值范围.
4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）当时，求的取值范围．
6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
高频考点七：三角形面积问题
角度1：三角形面积定值问题
1．（2023春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角的值;
(2)若,求的面积.
2．（2023·云南红河·统考一模）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求；
(2)若，，求△ABC的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
3．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且．
(1)求A的大小；
(2)若，求的面积．
4．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）如图,在四边形中,E为上一点,若.
(1)求证:;
(2)若,求四边形的面积.
5．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知，，分别为的内角，，的对边，且
(1)求；
(2)若，的面积为，求，.
角度2：三角形面积最值问题
1．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面横线处并解答.
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____________.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值.
2．（2023·全国·高三专题练习）记的面积为S，其内角的对边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)求面积的最大值．
3．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若O是的内心，，且，求面积的最大值.
4．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）在中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，C，且.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值.
5．（2023·陕西铜川·校考一模）已知的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，若．
(1)求角A的值；
(2)若，求面积S的最大值．
6．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）记的内角的对边分别为，满足，是边上的点，且.
(1)求；
(2)求的最小值.
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为m，n，，，.
(1)求；
(2)若，，，记，求线段的长和面积的最大值.
角度3：三角形面积取值范围问题
1．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角中，角A，，所对的边分别为．
(1)求A；
(2)若，求面积的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）△的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．
3．（2023·全国·高三专题练习）在中，设，，所对的边长分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围.
4．（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，.
(1)求的值.
(2)求的值.
(3)若线段AC上存在一点H且，求的取值范围.
5．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：．
(1)求A；
(2)求面积取值范围．
高频考点八：三角形中线问题
1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为，求AC边上的中线长．
2．（2023秋·云南·高二统考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线，且，求的周长．
3．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，边上的中线，求的面积．
4．（2023秋·广东湛江·高二统考期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．
(1)求；
(2)若B是钝角，求AC边上的中线长．
5．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在中，角，，对边分别为，，，且，.
(1)求；
(2)若，边上中线，求的面积.
高频考点九：三角形角平分线问题
1．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求C；
(2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.
2．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，且．
(1)求；
(2)若角B的角平分线交AC于点D，，求△ABC的面积．
4．（2023秋·山西运城·高三统考期末）在锐角中，内角的对边分别为，且满足：
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．
高频考点十：几何图形中的计算问题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，且是边长为的等边三角形，交于点．
(1)若，求；
(2)若，设，求．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，．
(1)证明：为直角三角形；
(2)若，求四边形面积S的最大值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为．
(1)求；
(2)若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）若∠BCD＝，求BC的长．
高频考点十一：解三角形实际应用
角度1：距离测量问题
1．（2023·高一课时练习）根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转；为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成该指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（参考数据：）.
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，某公园有三条观光大道围成直角三角形，其中直角边，斜边.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏，
（1）若甲、乙都以每分钟100的速度从点出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达，甲到达，求此时甲、乙两人之间的距离；
（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点.设，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且，请将甲、乙之间的距离表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离.
3．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求（单位：）.
(1)当时，求线段的长度；
(2)设，当取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）
4．（2022春·山东青岛·高一统考期末）如图所示，在海岛上有一座海拔0.5千米的山，山顶设有一个观察站（观察站高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东方向，俯角为的处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西方向，俯角为的处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛的距离？
角度2：高度测量问题
1．（2022秋·安徽合肥·高三校考阶段练习）现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度.如图（1）.龙城大道沿线的水平路面上有两点A.B其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出AB长度为2km，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的C.D两点，测得，学习小组根据上述条件计算出CD长度，并将其与CD的实际长度2.84km进行比较，若误差介于-20米~20米之间，则认为百度地图测距是正确的.
(1)通过计算说明百度地图测距是否正确？（）
(2)如图（2），小组在A处测得现代传媒大厦楼顶M在西偏北方向上，且仰角，在B处测得楼顶M在西偏北方向上，通过计算得，，若百度地图测出的AB=2km是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度（精确到1米）
2．（2022春·河北唐山·高一校联考期中）位于唐山市中心区的凤凰山，山势挺拔秀丽，苍松翠柏密布，因前山如凤凰展翅故名．古朴典雅的八角重檐凤凰亭矗立在山巅，登二楼平台眺望，唐山美景一览无余．某测量小组为测量山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C–OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表凤凰亭的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB为90米．（附：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．）
(1)求；
(2)同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出，求山高的近似值OC．
3．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）“龙塔”是哈尔滨市有名的地标性建筑，位于中国黑龙江省哈尔滨市南岗区，是亚洲著名高钢塔，2008年11月8日龙塔被正式批准加入世界高塔协会.如图所示，两名外地旅客（绿码）从龙塔（图中PH）正西方的招商证券大厦（图中A点）出发，沿长江路以北偏东75°方向匀速驾驶机动车到达市图书馆（图中B点），此时望见龙塔底端（图中H点）位于南偏西45°方向，坐副驾驶的旅客沿途始终保持观察龙塔，他发现在途中的点E处观察的仰角达到最大值，此时仰角为60°，已知招商证券大厦与龙塔的距离为，机动车行驶速度为．
(1)这两名旅客从招商证券大厦行驶到市图书馆用时多少秒？
(2)“龙塔”高度为多少？
角度3：角度测量问题
1．（2022春·山东东营·高一统考期末）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得灯塔底部在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，此时测得灯塔底部在北偏东方向上，测得塔顶的仰角为，已知灯塔高为．
(1)求巡逻船的航行速度
(2)若该船继续航行分钟到达处，问此时灯塔底部位于处的南偏东什么方向
2．（2022春·陕西榆林·高一榆林市第一中学校考期末）如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75，且与海岸距离为45的海上B处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.
(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.
3．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，，求的最大值．（仰角为直线AP与平面ABC所成角）