专题6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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题型1
用向量关系研究几何图形的性质
1．（2023·江苏·高一专题练习）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
2．（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是（ ）
A．若AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形
B．若AD=13BC，则四边形ABCD为梯形
C．若AB=DC，且|AB|=|AD|，则四边形ABCD为菱形
D．若AB=DC，且AC⊥BD，则四边形ABCD为正方形
3．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：CN=//MA.
4．（2023·全国·高一随堂练习）分别根据下列条件判断四边形ABCD的形状:
(1)AD=BC;
(2)AD//BC,并且AB与CD不平行;
(3)AB=DC,并且|AB|=|AD|.
题型2
向量共线定理的应用
1．（2023下·天津和平·高一校考阶段练习）设e1，e2是两个不共线向量，若向量a=3e1+5e2与向量b=me1−3e2共线，则m的值等于（ ）
A．−53B．−95C．−35D．−59
2．（2023下·广东广州·高一校考阶段练习）设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1−e2，若三点A，B，D共线，则k的值为（ ）
A．－8B．8C．6D．－6
3．（2023下·河南南阳·高一校联考期末）如图，在△ABC中，CD=2DB,AE=EC．

(1)用AB，AD表示AC，BE；
(2)若点M满足AM=−12AB+34AC，证明：B，M，E三点共线．
4．（2023·全国·高一随堂练习）已知向量OA，OB（A,B,O三点不共线），判断下列各题中的点M,N,G是否在直线AB上．
(1)OM=13OA+23OB；
(2)ON=12OA−OB；
(3)OG=3OA+2OB．
题型3
向量线性运算的几何应用
1．（2023上·安徽安庆·高三校考阶段练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足OP=OA+λABABsinB+ACACsinC λ≥0，则P点轨迹一定通过三角形ABC的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
2．（2023上·湖北恩施·高二校联考期中）已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点（点M,N与点B,C不重合），设AB=xAM，AC=yAN，则12x−1+12y−1的最小值为（ ）
A．1B．1+22C．2D．1+22
3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a，AC=b.

(1)试用a，b表示AD；
(2)若点G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？
(3)若点G是△ABC的重心，求GA+GB+GC.
4．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2BC=2CD=2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
(1)用AB和AD表示AM；
(2)求ANNM；
(3)设AC=xDB+yAP，求xy的取值范围．
题型4
向量的夹角（夹角的余弦值）问题
1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知非零向量a与b满足|a|=2|b|，若|a+2b|=|a+b|，则csa,b=（ ）
A．12B．−34C．32D．−32
2．（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量a,b，若|a|=|b|=1,a与b的夹角为60∘；若a+b与ta−b的夹角为钝角，则t取值范围为（ ）
A．−∞,1B．1,+∞
C．−1,1∪1,+∞D．−∞,−1∪−1,1
3．（2023下·吉林长春·高一校考期中）已知向量a与b的夹角θ=2π3，且a=2，b=1．
(1)求a⋅b，a+b；
(2)求向量a与a+b的夹角的余弦值．
4．（2023下·天津·高一静海一中校联考期末）已知|a|=4,|b|=3,(2a−3b)⋅(2a+b)=61.求：
(1)a与b的夹角；
(2)a+b；
(3)若λa+b与a−b夹角为钝角，求λ的取值范围.
题型5
向量共线、垂直的坐标表示
1．（2023上·天津和平·高三校考阶段练习）已知向量a=−2,1,b=1,3,c=3,2，若a+λb∥c，则实数λ的值为（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
2．（2023·高一课时练习）已知向量a=1,2，b=2,−3，若向量c满足c+a∥b，c⊥(a+b)，则c=（ ）
A．79，73B．−79,−73C．73,79D．−73,79
3．（2023·高一课时练习）已知平面向量a=1,3，b=2x−1,−xx∈Z.
（1）若2a+b与a−2b垂直.求x；
（2）若向量c=7,−1，若a+b与b−c共线，求a−b.
4．（2023下·江苏盐城·高一校考期中）已知向量a=3,1，b=−1,−2，c=4,1．
(1)若a+kc⊥a+b，求实数k；
(2)设d满足d−c∥a−b，且d−c=1，求d的坐标．
题型6
向量坐标运算的几何应用
1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足AP=mAB+nAD（m，n均为正数），则1m+1n的最小值为（ ）
A．1B．34C．−34D．7+434
2．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点（含边界），若AP=23AB+λAC，则AP的最大值为（ ）
A．273B．83C．2193D．2133
3．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=2AB=2，∠OAB=2π3，BC=(−1,3).
（1）求点B，点C的坐标；
（2）求四边形OABC的面积.
4．（2023下·广西南宁·高一校考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，A(1,0),B(0,1),C(2,5)．
(1)求点D的坐标；
(2)设向量AB与AC夹角为θ，求csθ的值；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
题型7
用向量解决夹角、线段的长度问题
1．（2023下·福建三明·高一统考期末）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，点E满足CE=215CA+15CB，直线CE与直线AB相交于点D，则cs∠ADE=（ ）
A．1010B．31010C．−1010D．−31010
2．（2022·海南·统考模拟预测）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，且AB=6，AD=3.若线段CD上存在唯一的点E满足AE⋅BE=4，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A．[1,2)B．[1,5)C．[1,+∞)D．[5,+∞)
3．（2023下·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，AB=4，AD=2，点E为AB上一点

(1)若DE⊥AC，求AE的长；
(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求cs∠CME．
4．（2023下·陕西西安·高一校考阶段练习）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且BE=λBC，DF=1−λDC，λ∈R．
(1)当AE⋅BC=0时，求λ的值；
(2)当λ=23时，求DMMB的值；
(3)求AF+12AE的取值范围．
题型8
向量与几何最值问题
1．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）在△ABC中，点D是边BC的中点，且AD=4，点E满足BE=sin2θ⋅BA+12cs2θ⋅BC（θ∈R），则EB+EC⋅EA的最小值为（ ）
A．−10B．−8C．−6D．−4
2．（2023上·北京海淀·高三统考期中）在等腰直角三角形ABC中，AB=2,M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径作AC，点P在线段BC上，点Q在AC上，则AP+MQ的取值范围是（ ）
A．0,10B．0,2+2C．2−2,10D．2−2,2+2
3．（2023·高一课时练习）在ΔABC中，满足：AB⊥AC，M是BC的中点.
（1）若AB=AC，求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值；
（2）若O是线段AM上任意一点，且AB=AC=2，求OA⋅OB+OC⋅OA的最小值：
（3）若点P是∠BAC内一点，且AP=2，AP⋅AC=2，AP⋅AB=1，求AB+AC+AP的最小值.
4．（2023·全国·高一专题练习）在锐角△ABC中，csB=22，点O为△ABC的外心.
(1)若BO=xBA+yBC，求x+y的最大值；
(2)若b=2，
（i）求证：OB+sin2A⋅OA−cs2A⋅OC=0；
（ii）求3OB+2OA+OC的取值范围.
题型9
正、余弦定理判定三角形形状
1．（2023下·山东临沂·高一校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中不正确的是（ ）
A．若acsA=bcsB，则△ABC一定是等腰三角形
B．若csA−B⋅csB−C=1，则△ABC一定是等边三角形
C．若acsC+ccsA=c，则△ABC一定是等腰三角形
D．若cs2B+C+csC>0，则△ABC一定是钝角三角形
2．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a2cs2A2−1=b1−tan2B21+tan2B2，则△ABC的形状是（ ）.
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
3．（2023下·陕西西安·高一陕西师大附中校考期末）在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a2=(2b−c)b+(2c−b)c．
(1)求角A的大小；
(2)若b=2ccsA，试判断△ABC的形状．
4．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m→=sinB,a，n→=sinC,b，且m∥n．
(1)在①cs2B−3sinB+2=0；②2bcsC=2a−c；③ba=csB+13sinA，这三个条件中任选一个，判定△ABC的形状．
(2)求sinAsinCsinB的取值范围．
题型10
三角形面积的最值或范围问题
1．（2023下·河北保定·高一校考期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=1，则△ABC面积的取值范围为（ ）
A．(38,34)B．(18,14)
C．(14,12)D．(38,32)
2．（2023下·广东清远·高一校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足sinBsinA＝1−csBcsA，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是( )
A．8+534B．4+534C．3D．4+52
3．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）锐角△ABC中，内角A,B,C的边分别对应a,b,c，已知ac+ca=sin2BsinAsinC+2.
(1)求B；
(2)若b=2，求S△ABC的取值范围.
4．（2023下·云南昆明·高一校考期中）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心(大小忽略不计)，在点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=2km,BC=4km且△ACD为正三角形．
(1)若∠BAC=π3，求△ABD面积；
(2)设∠ABC=α，试用α表示△ABD的面积，并求最大值．
题型11
求求求三角形中的边长或周长的最值或范围
1．（2023·全国·高一专题练习）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且2S=a2−b−c2，则2b2+c2bc的取值范围为（ ）
A．4315,5915B．22,4315
C．22,5915D．22,+∞
2．（2023下·福建龙岩·高一统考期末）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs2B+csBcsA−C=sinAsinC，a=23，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A．63,6+63B．3+33,6+63
C．3+33,93D．63,93
3．（2023·江苏盐城·统考三模）在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,且AD=2.
(1)若∠BAC=2π3,AB=3,求△ABC的面积;
(2)若BD=3,求边AC的取值范围.
4．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）已知△ABC中，点D是线段AC上一点，AC=3AD，且①AB=4，②BC=13，③BD=13，④A=π3.
(1)求AC的长；
(2)E为边AB上的一点，若△ADE为锐角三角形，求△ADE的周长取值范围.
上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.
你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程.
题型12
求求测量问题
1．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）如图，为了测量两个信号塔塔尖M,N之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点P与Q（M,N,P,Q在同一铅垂平面内）．已知在点P处测得点M的仰角为15°，点N的仰角为45°，在点Q处测得点M的仰角为30°，点N的仰角为15°，且PQ=400米，则MN=（ ）
A．2002米B．400米C．4003米D．4005米
2．（2023上·安徽铜陵·高三统考阶段练习）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家3A级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为7.5m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（参考数据：3≈1.73）

A．31.42mB．33.26mC．35.48mD．37.52m
3．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处（BD平行于地平面），已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α（tanα=2）.

(1)设平面β过BD且平行于地平面，点C到平面β的距离为h米，求BC与CD的长（用h表示）；
(2)已知cs∠BCD=91040，求天门山的海拔.
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距6+2海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以32海里/小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船