专题6.11 平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
【解答过程】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，
对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
2．（5分）（2023下·重庆·高一校联考阶段练习）10(a+b)−(a−b)=（ ）
A．9a+9bB．9a+11b
C．11a+9bD．11a+11b
【解题思路】根据数乘向量的运算律化简求解即可.
【解答过程】根据向量运算公式可知，10(a+b)−(a−b)=10a+10b−a+b=9a+11b．
故选：B.
3．（5分）（2023下·广东佛山·高一校考期中）如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点．设CA=a，CB=b，则EA=（ ）

A．23a−16bB．23a+16bC．16a−23bD．16a+23b
【解题思路】根据向量的线性运算即可求得答案.
【解答过程】由题意在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点，
故EA=−AE=−12(AC+AD)=12CA−12AD
=12CA−16AB=12CA−16(CB−CA)
=23CA−16CB=23a−16b，
故选：A.
4．（5分）（2023上·江苏南通·高三校考阶段练习）已知非零向量a,b满足b=23a，且a⊥3a+b，则a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解题思路】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.
【解答过程】解：因为a⊥(3a+b)，
所以a⋅(3a+b)=3|a|2+a⋅b=0，
设a与b的夹角为θ，
所以csθ=a⋅b|a||b|=−3|a|2|a|×23|a|=−32，
所以θ=5π6.
故选：D.
5．（5分）（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π3，a=3，b=2，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
【解题思路】运用正弦定理计算出sinB，结合a>b有sinA>sinB，计算出B即可得.
【解答过程】由asinA=bsinB，得sinB=b⋅sinAa=2×323=22，
又a>b ，A=π3，故B只能为锐角，即B=π4，
故该三角形只有一解．
故选：A.
6．（5分）（2023上·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）设向量a=1,2，b=−3,5，c=4,x，若a+b=λcλ∈R，则λ+x的值为（ ）
A．−112B．112C．−292D．292
【解题思路】利用平面向量的坐标运算可得出关于λ、x的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得结果.
【解答过程】因为a+b=λcλ∈R，即−2,7=λ4,x，所以，4λ=−2λx=7，解得λ=−12，x=−14，
因此，λ+x=−292.
故选：C.
7．（5分）（2023·陕西安康·校联考模拟预测）已知向量a=3,−4,b=−2,m,c=2,1，若a+b⊥c，则m=（ ）
A．−2B．2C．−6D．6
【解题思路】利用向量加法和数量积的坐标表示求解即可.
【解答过程】由题意可得 a+b=1,m−4，
因为a+b⊥c，所以a+b⋅c=2+m−4=0，解得m=2，
故选：B.
8．（5分）（2023上·北京·高二清华附中校考期中）在△ABC中，sinB=2sinA,∠C=105°,c=3+1，则△ABC的面积为（ ）
A．3−12B．3−1C．3+12D．3+1
【解题思路】应用正弦定理进行边角互化，得b=2a，再应用余弦定理出cs∠C，进而得到a,b，利用同角三角函数关系求出sin∠C，应用三角形面积公式S=12absinC即可求得.
【解答过程】由sinB=2sinA，根据正弦定理得：b=2a，
又∠C=105°,c=3+1，则
cs105∘=cs(60∘+45∘)=cs60∘cs45∘−sin60∘sin45∘
=12⋅22−32⋅22=2−64，
sin105∘=1−(cs105∘)2=2+64
cs∠C=a2+b2−c22ab=a2+2a2−4−2322a2= 2−64，
解得a=2，则b=2，
S△ABC=12absin∠C=12⋅2⋅2⋅2+64=3+12
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若a//b,b//c，则a//c；
D．若a=b,b=c，则a=c
【解题思路】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论.
【解答过程】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；
四边形ABCD中，AB∥CD，则AB//CD且AB=CD，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；
当b=0时，满足a//b,b//c，但不能得到a//c，C选项错误；
由向量相等的条件可知，若a=b,b=c，则a=c，D选项正确.
故选：AC.
10．（5分）（2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知向量a，b满足a+2b=a，a⋅b+a2=0且a=2，则（ ）
A．b=2B．a+b=0C．a−2b=6D．a⋅b=4
【解题思路】由a+2b=a，得a⋅b+b2=0，又a⋅b+a2=0且a=2，得b=2，a⋅b=−4，可得csa,b=a⋅bab=−1，a,b=π，有a+b=0，a−2b=6，可判断各选项.
【解答过程】因为a+2b=a，所以a+2b2=a2，即a2+4a⋅b+4b2=a2，整理可得a⋅b+b2=0，
再由a⋅b+a2=0，且a=2，可得a2=b2=4，所以b=2，a⋅b=−4，A选项正确，D选项错误；
csa,b=a⋅bab=−1，即向量a，b的夹角a,b=π，故向量a，b共线且方向相反，所以a+b=0，B选项正确；
a−2b=a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=4+16+16=6，C选项正确.
故选：ABC.
11．（5分）（2023上·黑龙江大庆·高三校考期末）已知a=t,−2,b=−4,t，则（ ）
A．若a//b，则t=±22
B．若a⊥b，则t=0
C．a−b的最小值为2
D．若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(0,+∞)
【解题思路】利用向量平行垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论.
【解答过程】已知a=t,−2,b=−4,t，
若a//b，则t2=−2×−4=8，解得t=±22，A选项正确；
若a⊥b，则a⋅b=−4t−2t=0，解得t=0，B选项正确；
a−b=t+4,−2−t，a−b=t+42+−2−t2=2t+32+2，
当t=−3时，a−b有最小值2，C选项错误；
当t=22时，a=22,−2,b=−4,22，b=−2a，
向量a与向量b的夹角为180∘，D选项错误.
故选：AB.
12．（5分）（2023下·山东青岛·高一统考期中）在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若asinA+C2=bsinA,a+c=3b，则下列结论一定正确的为（ ）
A．B=π3B．a:c=2:1
C．△ABC为直角三角形D．a:b=1:3
【解题思路】由asinA+C2=bsinA，利用正弦定理求得角B，再根据a+c=3b，利用余弦定理求得a，c的关系逐项判断.
【解答过程】解：因为asinA+C2=bsinA，
由正弦定理得sinAcsB2=sinBsinA，
因为A,B∈0,π，
化简得csB2=2sinB2csB2，
则sinB2=12，B2=π6，
所以B=π3，故A正确；
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
=a+c2−2ac−2accsB，
即a+c32=a+c2−3ac，即2a2−5ac+2c2=0，
解得a=2c或a=12c，
当a=2c时，b=3c，则b2+c2=a2，a:b=2:3，
当a=12c时，b=32c，则b2+a2=c2， a:b=1:3，故BD错误，C正确，
故选：AC.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023下·海南儋州·高一校考阶段练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥ ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.
故答案为：③⑤⑥.
14．（5分）（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，P为线段AC上任意一点，则PB⋅PC的取值范围是 −116,3 ．
【解题思路】设PC=mAC，0≤m≤1，得到PB⋅PC=4m−182−116，求出取值范围.
【解答过程】设PC=mAC，0≤m≤1，则PB=PA+AB=m−1AC+AB，
故PB⋅PC=m−1AC+AB⋅mAC=mm−1AC2+mAB⋅AC
=4mm−1+mAB⋅ACcs∠BAC=4m2−4m+3m
=4m2−m=4m−182−116，
因为0≤m≤1，所以−18≤m−18≤78，
故−116≤4m−182−116≤3，PB⋅PC∈−116,3.
故答案为：−116,3.
15．（5分）（2023上·上海长宁·高三校考阶段练习）已知在△ABC中，E为AC的中点，D是线段BE上的动点，若AD=xAB+yAC，则2x+1y的最小值为 8 .
【解题思路】根据三点共线可得x+2y=1，利用“1”的技巧及均值不等式求解.
【解答过程】如图，

因为AD=xAB+yAC，E为AC的中点，
所以AD=xAB+2yAE，
因为B,E,D三点共线，所以x+2y=1(x>0,y>0)，
2x+1y=x+2y2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx⋅xy=8，
当且仅当4yx=xy，即x=12,y=14时等号成立，
故2x+1y的最小值为8.
故答案为：8.
16．（5分）（2023上·全国·高三专题练习）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝ 1515 米．
【解题思路】设OP=ℎ,ℎ>0，表示出OA,OB,OC，利用cs∠OBC=−cs∠OBA结合余弦定理列方程求解.
【解答过程】设OP=ℎ,ℎ>0，
则OA=OPtan30°=3ℎ,OB=OPtan60°=33ℎ,OC=OPtan45°=ℎ.
由∠OBC+∠OBA=π得cs∠OBC=−cs∠OBA，
由余弦定理得33ℎ2+752−ℎ22×75×33ℎ=−33ℎ2+752−3ℎ22×75×33ℎ，
解得ℎ=1515，即OP为1515米．
故答案为：1515.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·江苏·高一专题练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA=a，OB=b，OC=c．在以A,B,C,D,E,F,O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与a相等的向量有哪些？
(2)b的相反向量有哪些？
(3)与c的模相等的向量有哪些？
【解题思路】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可.
【解答过程】（1）由相等向量定义知：与a相等的向量有DO,EF,CB.
（2）由相反向量定义知：b的相反向量有OE,CD,AF,BO.
（3）由向量模长定义知：与c的模相等的向量有CO,OF,FO,OE,EO,OD,DO,OB,BO,OA, AO,AB,BA,AF,FA,FE,EF,ED,DE,DC,CD,CB,BC.
18．（12分）（2023上·山东德州·高三校考阶段练习）设向量a，b满足a=b=1，且a−2b=7.
(1)求a与b的夹角；
(2)求a+3b的大小.
【解题思路】（1）平方a−2b=7计算得到csθ=−12，得到答案.
（2）确定a+3b=a+3b2，计算得到答案.
【解答过程】（1）设a与b的夹角为θ0≤θ≤π，
a−2b=a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=7，则a2−4a⋅bcsθ+4b2=7，
将a=b=1代入得1−4csθ+4=7，csθ=−12，故θ=2π3；
（2）a+3b=a+3b2=a2+6a⋅b+9b2=a2+6a⋅bcsθ+9b2
将a=b=1代入得a+3b=1+6×−12+9=7，故a+3b=7.
19．（12分）（2023下·吉林长春·高一校考阶段练习）已知平面向量a→=1,x,b→=2x+3,−xx∈R
(1)若a⊥b，求x的值：
(2)若a∥b，求a−b
【解题思路】（1）直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解；
（2）先通过向量平行的坐标公式求出x，再通过向量的坐标运算求模.
【解答过程】（1）∵a⊥b，
∴a⋅b=2x+3−x2=0，
解得x=3或x=−1；
（2）∵a∥b，
∴−x=2x+3x，即2x2+4x=0解得x=0或x=−2，
当x=0时，a=1,0,b=3,0，a−b=−2,0，∴a−b=2；
当x=−2时，a=1,−2,b=−1,2，a−b=2,−4，∴a−b=4+16=25，
∴a−b=2或a−b=25.
20．（12分）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度AC=3km，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程AB=2km，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度v1的大小为v1，水流的速度v2的大小为v2=2km/h.求：

(1)v1；
(2)船在静水中速度v1与水流速度v2夹角的余弦值.
【解题思路】（1）由题意得v=v1+v2，结合已知利用余弦定理可求解；
（2）由（1）结合余弦定理可求出csv1,v2.
【解答过程】（1）∵河的宽度AC=3km，AB=2km，
∴sin∠ABC=ACAB=32，∴∠ABC=60°.
如图，设合速v=OE，v2=OF，船在静水中的速度v1=FE，则v=v1+v2，

由题意可得v=20.2=10kmh，且∠EOF=∠ABC=60°，
又v2=2km/h，∴在△EOF中，由余弦定理可得
v1=OE2+OF2−2×OE×OF×cs60°=100+4−2×10×2×12=221kmh
（2）由（1）知EF=221，OE=10，OF=2，
由余弦定理可得cs∠OFE=4+84−1002×2×221=−2114.
∴csv1,v2=cs180°−∠OFE=−cs∠OFE=2114.
21．（12分）（2023下·广西钦州·高一校考期中）如图，在△ABC中，BC=4BD，AC=3CE，BE与AD相交于点M．

(1)用AB，AC表示AD，BE；
(2)若AM=mAB+nAC，求m+n的值．
【解题思路】（1）由BC＝4BD得出BD=14AC−14AB，然后可得AD=34AB+14AC；根据AC=3CE得出AE=23AC，然后根据BE=AE−AB即可用AB,AC表示出BE；
（2）根据A，M，D三点共线得出AM=3λ4AB+λ4AC，然后根据平面向量基本定理得出m=3n；根据B，M，E三点共线得出AM=kAB+2(1−k)3AC，然后即可根据平面向量基本定理求出k的值，进而得出m+n的值．
【解答过程】（1）因为BC=4BD，所以BD=14BC=14AC−AB=14AC−14AB，
所以AD=AB+BD=AB+14AC−14AB=34AB+14AC．
因为AC=3CE，所以AE=23AC，
所以BE=AE−AB=23AC−AB．
（2）因为A，M，D三点共线，所以AM=λAD=3λ4AB+λ4AC．
因为AM=mAB+nAC，所以m=3λ4n=λ4，即m=3n．
因为B，M，E三点共线，所以AM=kAB+1−kAE=kAB+21−k3AC．
因为AM=mAB+nAC，所以m=kn=21−k3．
因为m=3n，所以k=3×231−k，解得k=23，
从而m=23，n=29，故m+n=89．
22．（12分）（2023·四川成都·校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanA=b2sinB.
(1)求角A的值；
(2)若a=6，b=2c，求△ABC的面积.
【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，结合角的范围求解即得.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出c，再利用三角形面积公式计算即得.
【解答过程】（1）在△ABC中，atanA=b2sinB得acsAsinA=b2sinB，
由正弦定理得sinAcsAsinA=sinB2sinB.又sinA>0,sinB>0，
因此csA=12，而A∈0,π，所以A=π3.
（2）由（1）知A=π3，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc，
而a=6，b=2c，则36=4c2+c2−2c2=3c2，解得c=23（舍去负值），所以b=2c=43，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×43×23×32=63.