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苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题32反比例函数中的将军饮马(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题32反比例函数中的将军饮马(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了的图象交于，两点等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）
2．（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是___________．
4．（2022春·河南开封·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点P在y轴上，求的最小值．
5．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在中，，斜边，经过原点O，点C在y轴的正半轴上，交x轴于点D，且，反比例函数的图象经过A、B两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为直线上一动点，求的最小值．
6．（2023秋·广东广州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数与反比例函数（）的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当时，的取值范围；
(3)若点在轴上，求的最小值．
7．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点．
(1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
(2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围；
(3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数的图象过边上一点E，与边交于点D，，，
(1)求k的值；
(2)直线过点D及线段的中点F，点P是直线上一动点，当的值最小时，直接写出这个最小值．
9．（2023春·河南省直辖县级单位·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积．
(3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标.
10．（2022春·九年级课时练习）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCO中，，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．
(1)求反比例函数和直线DE的解析式．
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，的周长最小值是_________．
12．（2022·河南平顶山·平顶山市第十六中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比例函数y的图象经过点M，交BC于点N．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．
13．（2022春·四川泸州·九年级校考期末）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出最小值及此时点P的坐标．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标．
15．（2022春·九年级课时练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，面积为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上求一点P，使的值最大，并求出其最大值和P点坐标．
16．（2022秋·陕西西安·九年级校联考期中）如图，反比例函数（，）的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点．
(1)求和的解析式及m值；
(2)根据图象直接写出时x的取值范围；
(3)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标．
17．（2022秋·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，一次函数（≠0）的图象与反比例函数（≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（，4）和点B（8，）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在轴上取点P，使|PA﹣PB|取得最大值时，求出点P的坐标．
18．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是找一点，使值最大，则点的坐标是________．
专题32 反比例函数中的将军饮马
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）
【答案】A
【详解】思路引领：求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
答案详解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y1＝2，y2＝1，
∴A（1，2），B（2，1），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐标代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
即P（3，0）．
故选：A．
2．（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，，得出，根据，得出，根据平行线的性质，得出，得出等于点P到直线距离的倍，得出，得出的最小值即为的最小值，即当F、P、N三点共线时，最小，求出最值即可．
【详解】解：∵ ，，
∴，
∵，
∴，
∵轴交直线于点M，
∴，
∴等于点P到直线距离的倍，
∵点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，
∴，
∴的最小值即为的最小值，
当F、P、N三点共线时，最小，
∴其最小值为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是求出，得出的最小值即为的最小值，是解题的关键．
3．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是___________．
【答案】
【分析】由正方形的边长是8，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为8，求得，根据三角形的面积列方程得到，作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵正方形的边长是8，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为8，
∵，的面积为，
∴，
∴（负值舍去）
∴，
作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值，
∵，，
∴，
∴ ，
根据勾股定理求得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出M、N的坐标是解题的关键．
4．（2022春·河南开封·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点P在y轴上，求的最小值．
【答案】(1)
(2)PA+PB的最小值为
【分析】（1）依据反比例函数的图像交于A（1，m）、（n，1）两点，即可得到A（1，3）、B（3，1），代入一次函数，可得直线AB的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴与点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，利用勾股定理即可得到BC的长．
（1）
解：把， 代入，得，，
∴，，
代入，可得，
∴，
∴；
（2）
解：作A关于y轴的对称点为C，则，
连接交y轴于点P，则的最小值等于的长，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称求最短距离，以及勾股定理等知识，得出不等式的取值范围是解答此题的关键．
5．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在中，，斜边，经过原点O，点C在y轴的正半轴上，交x轴于点D，且，反比例函数的图象经过A、B两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为直线上一动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点A作轴于点E，根据题意可得A、B关于原点对称，再由直角三角形的性质可得，再由平行线分线段成比例可得，然后根据勾股定理求出，可得到点A的坐标，即可求解；
（2）延长至点F，使得，连接交直线于点P，连接，可得垂直平分，从而得到，再由“两点间线段最短”可得的最小值为线段的长，然后根据A、B关于原点对称，可得，可求出点F的坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过点A作轴于点E，
∵经过原点O，
∴A、B关于原点对称，
∴O为的中点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：如图②，延长至点F，使得，连接交直线于点P，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由“两点间线段最短”可得的最小值为线段的长，
由（1）得A、B关于原点对称，
∴，
∵C为线段的中点，
∴，，即，，
解得，，
∴点F的坐标为，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
6．（2023秋·广东广州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数与反比例函数（）的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当时，的取值范围；
(3)若点在轴上，求的最小值．
【答案】(1)，（）
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，从而求得点坐标，代入一次函数即可求解；
（2）根据图象确定一次函数大于反比例函数的范围，即可求解；
（3）作点关于轴的对称点，连接，的最小值等于的长，求解即可．
【详解】（1）∵反比例函数（）过点，
∴，
∴反比例函数解析式为（），
将代入得，
∴点的坐标为，
将点，分别代入一次函数，可得
解得
∴一次函数的解析式为；
（2）由图象可得：当时，的取值范围是；
（3）如图，作点关于轴的对称点，则，连接，的最小值等于的长，
∵，
∴
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及了线段和的最小值，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
7．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点．
(1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
(2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围；
(3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点B的坐标
(2)图见解析，或
(3)存在，
【详解】（1）解：∵把点代入，
∴，解得：，
∴点，
∵把点代入，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称，且两图象的一个交点．
∴这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
（2）解：画图如下：
观察图象得：当或时，反比例函数的图象位于正比例函数的下方，
∴使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围为或；
（3）解：存在
作点A关于直线的对称点，连接，并延长，交直线于点P，连接，在直线上任取一点D，连接，则，
∵，
∵，
∴，
当B、C、P共线时，的值最大，
设直线的解析式为，
把和分别代入中得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查对用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解方程组等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数的图象过边上一点E，与边交于点D，，，
(1)求k的值；
(2)直线过点D及线段的中点F，点P是直线上一动点，当的值最小时，直接写出这个最小值．
【答案】(1)48
(2)
【分析】（1）由四边形是正方形，得到，，在中，由勾股定理求出，则，得到，由待定系数法求得答案；
（2）先求出点D的坐标为，再求出直线的解析式和直线的解析式，得到，延长交y轴于点G，证明，则，连接交于点P，则,且P、C、G三点共线，此时，根据两点之间线段最短，此时取得最小值，最小值是的长度，即点P满足要求，求出即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴或（不符合题意舍去），
∴，
∴，
将代入得，
∴；
（2）解：由 （1）得到反比例函数解析式为，
设D点坐标为，代入得到，，
解得，即点D的坐标为，
∴，
延长交y轴于点G，
∵线段的中点F，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴点D与点G关于直线轴对称，
连接交于点P，连接，则,且P、C、G三点共线，此时，
根据两点之间线段最短，此时取得最小值，最小值是的长度，即点P满足要求，
∵，
∴点，
∵，
∴点，
此时,
即的最小值为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式、相似三角形的判定和性质，勾股定理、轴对称最短路径问题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
9．（2023春·河南省直辖县级单位·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积．
(3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标.
【答案】(1)反比例函数y=(x>0)；
(2)线段OD扫过的面积为；
(3)P点作标（，0）
【分析】（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，求出A点坐标，求出表达式即可．
（2）将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，求出D′点的纵坐标为3，表示出DF、OO′再求出线段OD扫过图形的面积．
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出直线的关系式，再求出P点坐标．
【详解】（1）作DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为(4，3)，
∴FO=4，DF=3，
∴DO=5，
∴AD=5，
∴A点坐标为：(4，8)，
∴xy=4×8=32，
∴k=32；
反比例函数y=(x>0)
（2）
∵将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，
∴DF=3， =3，
∴点的纵坐标为3，
∴3=，x=，
∴=，
∴=−4=，
∴平行四边形 平移的面积S=×3=；
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，
∵OB＝OD＝5
∴点B的坐标是(0，5)，
∴点的坐标是(0，-5)，
设直线的关系式
把A (4，8)，(0，-5)代入解析式得∶
解得：
当y=0时，，
∴PA+PB有最小值，P点作标（，0 ）
【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积、待定系数法求一次函数，解题的关键是利用菱形性质找出点A、B的坐标，利用坐标求出一次函数．
10．（2022春·九年级课时练习）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得，，
所以反比例函数解析式是；
（2）存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，
和，
，
和，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，
，
．
【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCO中，，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．
(1)求反比例函数和直线DE的解析式．
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，的周长最小值是_________．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得D点坐标，从而得到反比例函数解析式，进而得到E点坐标，再由待定系数法可以确定直线DE的解析式；
（2）作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接PD．此时的周长最小．由作图写出的坐标，求出的解析式，然后令y=0，即可得到P点坐标；
（3）由（2）及勾股定理即可得到的周长最小值．
【详解】（1）解：点D是边AB的中点，，
∴，
四边形ABCO是矩形，，
D点的坐标为
点在的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为，
∵E在反比例函数图象上，
∴当时，，
∴E点的坐标为，
∴直线过点和点，
，
解得：，
直线DE的解析式为；
（2）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接PD．此时的周长最小，
D点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
直线过点和点，
解得
∴直线的解析式为，
∵当时，，
点P的坐标为；
（3）解：由（2）可得：
的周长最小值．
因此，的周长最小值是．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、利用轴对称求最短路径的方法及勾股定理的应用是解题关键．
12．（2022·河南平顶山·平顶山市第十六中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比例函数y的图象经过点M，交BC于点N．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．
【答案】(1)y=；
(2)
【分析】（1）先确定点M的坐标，再把点M点的坐标代入中，求出k得到反比例函数解析式；
（2）先画出图形，再根据两点间的距离公式求解即可．
（1）
∵点D坐标为（2，2），
∴OA=2，AD=2，
∵M是AD的中点，
∴点M的坐标是（2，1），
把点M（2，1）代入，得k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）
∵正方形ABCD，点D坐标为（2，2），
∴AB=BC=2，
∵点N在上，OA=2，
∴点N的横坐标为2+2=4，代入，得y=，
∴N(4，)，
作点M关于x轴的对称点M＇（2，-1），连接M＇N，则点P在M＇N与x轴的交点处时，PM＋PN的值最小，如图，理由如下；
∵点M与点M＇（2，-1）关于x轴的对称，
∴PM＝PM＇，
根据“两点之间，线段最短”可知：当点P在M＇N与x轴的交点处时，PM＇＋PN的值最小，从而PM＋PN的值最小，
此时，M＇N＝，
∴PM＋PN的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式及最短路径问题，解题的关键是正确画出图形．
13．（2022春·四川泸州·九年级校考期末）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出最小值及此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)；点P的坐标为（0，）
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），利用待定系数法求函数的解析式；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=-x+，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点D是边AB的中点，AB=2，
∴AD=1，
∵四边形OABC是矩形，BC=4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）；
（2）解：∵反比例函数的解析式为y=（x＞0），
当x=2时，y=2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y=mx+n（m≠0）得，，
∴，
∴直线DE的解析式为y=-2x+6；
作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵点D的坐标为（1，4），
∴点D′的坐标为（-1，4），
设直线D′E的解析式为y=ax+b，
∴，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y=-x+，
令x=0，得y=，
∴点P的坐标为（0，）；
∵D（1，4），E（2，2），
∴BE=2，BD=1，
∴DE= ，
由（2）知，D′的坐标为（-1，4），
∴BD′=3，
∴D′E=，
∴△PDE的周长最小值=DE+D′E=，
故答案为：+．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称-最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用的几何意义，求出反比例函数解析式，再求出两点坐标，待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象，找到双曲线在直线上方时，的取值范围即可；
（3）作关于轴的对称点，连接，交轴与点，求出直线的解析式，再求出点坐标即可．
【详解】（1）解：由得，
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴反比例函数：，
将，代入，
解得，；
（2）由（1）知，，
结合图象可知的解集为或；
（3）解：作关于轴的对称点，连接交轴与点，连接，
则
当且仅当，，，三点共线时，取“=”号，有最大值.
设，
代入，，
有，解得，
∴，
取，得，
∴；
故当取得最大值时：．
．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，是解题的关键．
15．（2022春·九年级课时练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，面积为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上求一点P，使的值最大，并求出其最大值和P点坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为，
【分析】（1）由面积为1，可直接得到答案；
（2）记一次函数的图象与x轴的交点为P点，此时的值最大，最大值为的长．联立： ，再解方程组求解A，B的坐标，从而可得最大值，再令，则，解得，从而可得P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，面积为1，
∴，
∵，
∴，
故反比例函数的解析式为：；
（2）解：记一次函数的图象与x轴的交点为P点，此时的值最大，最大值为的长．
联立：
整理得：
解得：
所以方程组的解为：
，
∴，
∴的最大值为，
∵一次函数，
令，则，
解得，
∴P点坐标为．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点坐标问题，两条线段的绝对值之差的最大值的理解，掌握“反比例函数的性质”是解本题的关键．
16．（2022秋·陕西西安·九年级校联考期中）如图，反比例函数（，）的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点．
(1)求和的解析式及m值；
(2)根据图象直接写出时x的取值范围；
(3)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)
【分析】(1)根据点A坐标可求出，即可得点B坐标，由A、B两点的坐标可得的函数表达式；
(2)根据题意，可知要求使得反比例函数在直线的上方，所对应的x的范围
(3) 点C关于x轴的对称点为，当点A、F、M共线时，可得最大，故点M为直线AF与x轴的交点坐标．
【详解】（1）∵图象过点，
∴，得，
∴；
把点代入中得，
∴，点B为，
∵过点A，B，
∴把和代入得
，
解得，
∴
易知关于x轴对称点在图象上，
∴
∴；
（2）由图象得或；
（3）由（1）得，，，
点C关于x轴的对称点为，
射线AF交x轴于点M，
设AF的解析式为，
把，分别代入中，
，
解得，
∴AF的解析式为，
令，则，
∴当最大时M的坐标为．
【点睛】本题考查了确定一次函数和反比例函数的解析式，根据函数图象分析不等式的解集，根据对称性求线段达到最大值时的点坐标，掌握相关的做题方法是解题的关键．
17．（2022秋·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，一次函数（≠0）的图象与反比例函数（≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（，4）和点B（8，）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在轴上取点P，使|PA﹣PB|取得最大值时，求出点P的坐标．
【答案】（1）a=-2，b=-1；（2）-28；（3）P
【分析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答
（2）根据函数图象结合解析式即可判断
（3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到 ，设直线的关系式为，把将 ，代入得到解析式，即可解答
【详解】解：（1）∵点，
∴，
∵，即，
∴，
∵点在第二象限，
∴ ，，
将代入得：，
∴反比例函数的关系式为：，
把代入得：，
∴
因此，；
（2）由图象可以看出的解集为：或；
（3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于，
此时最大，
∵
∴
设直线的关系式为，将 ，代入得：
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，即，解得，
∴
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时最大．
18．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是找一点，使值最大，则点的坐标是________．
【答案】（1），；（2）8；（3）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图设直线交轴于，则，根据求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，则点坐标为，根据三角形三边的关系得到（当点、、共线时，取等号），所以，的值为，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再确定该直线与轴的交点坐标，即点坐标．
【详解】（1）把代入得：；
∴反比例解析式为，
∴，
把、代入得：，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）设直线交轴与，
令，则，
∴，
∴，
∴，
（3）作点关于轴的对称点，如图所示：
则点坐标为，
∴，
∴，
∴当点、、共线时，的值最大，
设直线的解析式为，
把、代入得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，解得，
∴点坐标为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，正确理解题意是解题的关键．
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）
2．（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是___________．
4．（2022春·河南开封·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点P在y轴上，求的最小值．
5．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在中，，斜边，经过原点O，点C在y轴的正半轴上，交x轴于点D，且，反比例函数的图象经过A、B两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为直线上一动点，求的最小值．
6．（2023秋·广东广州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数与反比例函数（）的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当时，的取值范围；
(3)若点在轴上，求的最小值．
7．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点．
(1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
(2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围；
(3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数的图象过边上一点E，与边交于点D，，，
(1)求k的值；
(2)直线过点D及线段的中点F，点P是直线上一动点，当的值最小时，直接写出这个最小值．
9．（2023春·河南省直辖县级单位·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积．
(3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标.
10．（2022春·九年级课时练习）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCO中，，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．
(1)求反比例函数和直线DE的解析式．
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，的周长最小值是_________．
12．（2022·河南平顶山·平顶山市第十六中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比例函数y的图象经过点M，交BC于点N．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．
13．（2022春·四川泸州·九年级校考期末）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出最小值及此时点P的坐标．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标．
15．（2022春·九年级课时练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，面积为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上求一点P，使的值最大，并求出其最大值和P点坐标．
16．（2022秋·陕西西安·九年级校联考期中）如图，反比例函数（，）的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点．
(1)求和的解析式及m值；
(2)根据图象直接写出时x的取值范围；
(3)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标．
17．（2022秋·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，一次函数（≠0）的图象与反比例函数（≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（，4）和点B（8，）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在轴上取点P，使|PA﹣PB|取得最大值时，求出点P的坐标．
18．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是找一点，使值最大，则点的坐标是________．
专题32 反比例函数中的将军饮马
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）
【答案】A
【详解】思路引领：求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
答案详解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y1＝2，y2＝1，
∴A（1，2），B（2，1），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐标代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
即P（3，0）．
故选：A．
2．（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，，得出，根据，得出，根据平行线的性质，得出，得出等于点P到直线距离的倍，得出，得出的最小值即为的最小值，即当F、P、N三点共线时，最小，求出最值即可．
【详解】解：∵ ，，
∴，
∵，
∴，
∵轴交直线于点M，
∴，
∴等于点P到直线距离的倍，
∵点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，
∴，
∴的最小值即为的最小值，
当F、P、N三点共线时，最小，
∴其最小值为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是求出，得出的最小值即为的最小值，是解题的关键．
3．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是___________．
【答案】
【分析】由正方形的边长是8，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为8，求得，根据三角形的面积列方程得到，作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵正方形的边长是8，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为8，
∵，的面积为，
∴，
∴（负值舍去）
∴，
作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值，
∵，，
∴，
∴ ，
根据勾股定理求得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出M、N的坐标是解题的关键．
4．（2022春·河南开封·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点P在y轴上，求的最小值．
【答案】(1)
(2)PA+PB的最小值为
【分析】（1）依据反比例函数的图像交于A（1，m）、（n，1）两点，即可得到A（1，3）、B（3，1），代入一次函数，可得直线AB的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴与点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，利用勾股定理即可得到BC的长．
（1）
解：把， 代入，得，，
∴，，
代入，可得，
∴，
∴；
（2）
解：作A关于y轴的对称点为C，则，
连接交y轴于点P，则的最小值等于的长，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称求最短距离，以及勾股定理等知识，得出不等式的取值范围是解答此题的关键．
5．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在中，，斜边，经过原点O，点C在y轴的正半轴上，交x轴于点D，且，反比例函数的图象经过A、B两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为直线上一动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点A作轴于点E，根据题意可得A、B关于原点对称，再由直角三角形的性质可得，再由平行线分线段成比例可得，然后根据勾股定理求出，可得到点A的坐标，即可求解；
（2）延长至点F，使得，连接交直线于点P，连接，可得垂直平分，从而得到，再由“两点间线段最短”可得的最小值为线段的长，然后根据A、B关于原点对称，可得，可求出点F的坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过点A作轴于点E，
∵经过原点O，
∴A、B关于原点对称，
∴O为的中点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：如图②，延长至点F，使得，连接交直线于点P，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由“两点间线段最短”可得的最小值为线段的长，
由（1）得A、B关于原点对称，
∴，
∵C为线段的中点，
∴，，即，，
解得，，
∴点F的坐标为，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
6．（2023秋·广东广州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数与反比例函数（）的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当时，的取值范围；
(3)若点在轴上，求的最小值．
【答案】(1)，（）
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，从而求得点坐标，代入一次函数即可求解；
（2）根据图象确定一次函数大于反比例函数的范围，即可求解；
（3）作点关于轴的对称点，连接，的最小值等于的长，求解即可．
【详解】（1）∵反比例函数（）过点，
∴，
∴反比例函数解析式为（），
将代入得，
∴点的坐标为，
将点，分别代入一次函数，可得
解得
∴一次函数的解析式为；
（2）由图象可得：当时，的取值范围是；
（3）如图，作点关于轴的对称点，则，连接，的最小值等于的长，
∵，
∴
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及了线段和的最小值，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
7．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点．
(1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
(2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围；
(3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点B的坐标
(2)图见解析，或
(3)存在，
【详解】（1）解：∵把点代入，
∴，解得：，
∴点，
∵把点代入，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称，且两图象的一个交点．
∴这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
（2）解：画图如下：
观察图象得：当或时，反比例函数的图象位于正比例函数的下方，
∴使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围为或；
（3）解：存在
作点A关于直线的对称点，连接，并延长，交直线于点P，连接，在直线上任取一点D，连接，则，
∵，
∵，
∴，
当B、C、P共线时，的值最大，
设直线的解析式为，
把和分别代入中得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查对用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解方程组等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数的图象过边上一点E，与边交于点D，，，
(1)求k的值；
(2)直线过点D及线段的中点F，点P是直线上一动点，当的值最小时，直接写出这个最小值．
【答案】(1)48
(2)
【分析】（1）由四边形是正方形，得到，，在中，由勾股定理求出，则，得到，由待定系数法求得答案；
（2）先求出点D的坐标为，再求出直线的解析式和直线的解析式，得到，延长交y轴于点G，证明，则，连接交于点P，则,且P、C、G三点共线，此时，根据两点之间线段最短，此时取得最小值，最小值是的长度，即点P满足要求，求出即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴或（不符合题意舍去），
∴，
∴，
将代入得，
∴；
（2）解：由 （1）得到反比例函数解析式为，
设D点坐标为，代入得到，，
解得，即点D的坐标为，
∴，
延长交y轴于点G，
∵线段的中点F，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴点D与点G关于直线轴对称，
连接交于点P，连接，则,且P、C、G三点共线，此时，
根据两点之间线段最短，此时取得最小值，最小值是的长度，即点P满足要求，
∵，
∴点，
∵，
∴点，
此时,
即的最小值为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式、相似三角形的判定和性质，勾股定理、轴对称最短路径问题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
9．（2023春·河南省直辖县级单位·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积．
(3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标.
【答案】(1)反比例函数y=(x>0)；
(2)线段OD扫过的面积为；
(3)P点作标（，0）
【分析】（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，求出A点坐标，求出表达式即可．
（2）将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，求出D′点的纵坐标为3，表示出DF、OO′再求出线段OD扫过图形的面积．
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出直线的关系式，再求出P点坐标．
【详解】（1）作DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为(4，3)，
∴FO=4，DF=3，
∴DO=5，
∴AD=5，
∴A点坐标为：(4，8)，
∴xy=4×8=32，
∴k=32；
反比例函数y=(x>0)
（2）
∵将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，
∴DF=3， =3，
∴点的纵坐标为3，
∴3=，x=，
∴=，
∴=−4=，
∴平行四边形 平移的面积S=×3=；
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，
∵OB＝OD＝5
∴点B的坐标是(0，5)，
∴点的坐标是(0，-5)，
设直线的关系式
把A (4，8)，(0，-5)代入解析式得∶
解得：
当y=0时，，
∴PA+PB有最小值，P点作标（，0 ）
【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积、待定系数法求一次函数，解题的关键是利用菱形性质找出点A、B的坐标，利用坐标求出一次函数．
10．（2022春·九年级课时练习）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得，，
所以反比例函数解析式是；
（2）存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，
和，
，
和，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，
，
．
【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCO中，，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．
(1)求反比例函数和直线DE的解析式．
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，的周长最小值是_________．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得D点坐标，从而得到反比例函数解析式，进而得到E点坐标，再由待定系数法可以确定直线DE的解析式；
（2）作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接PD．此时的周长最小．由作图写出的坐标，求出的解析式，然后令y=0，即可得到P点坐标；
（3）由（2）及勾股定理即可得到的周长最小值．
【详解】（1）解：点D是边AB的中点，，
∴，
四边形ABCO是矩形，，
D点的坐标为
点在的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为，
∵E在反比例函数图象上，
∴当时，，
∴E点的坐标为，
∴直线过点和点，
，
解得：，
直线DE的解析式为；
（2）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接PD．此时的周长最小，
D点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
直线过点和点，
解得
∴直线的解析式为，
∵当时，，
点P的坐标为；
（3）解：由（2）可得：
的周长最小值．
因此，的周长最小值是．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、利用轴对称求最短路径的方法及勾股定理的应用是解题关键．
12．（2022·河南平顶山·平顶山市第十六中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比例函数y的图象经过点M，交BC于点N．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．
【答案】(1)y=；
(2)
【分析】（1）先确定点M的坐标，再把点M点的坐标代入中，求出k得到反比例函数解析式；
（2）先画出图形，再根据两点间的距离公式求解即可．
（1）
∵点D坐标为（2，2），
∴OA=2，AD=2，
∵M是AD的中点，
∴点M的坐标是（2，1），
把点M（2，1）代入，得k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）
∵正方形ABCD，点D坐标为（2，2），
∴AB=BC=2，
∵点N在上，OA=2，
∴点N的横坐标为2+2=4，代入，得y=，
∴N(4，)，
作点M关于x轴的对称点M＇（2，-1），连接M＇N，则点P在M＇N与x轴的交点处时，PM＋PN的值最小，如图，理由如下；
∵点M与点M＇（2，-1）关于x轴的对称，
∴PM＝PM＇，
根据“两点之间，线段最短”可知：当点P在M＇N与x轴的交点处时，PM＇＋PN的值最小，从而PM＋PN的值最小，
此时，M＇N＝，
∴PM＋PN的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式及最短路径问题，解题的关键是正确画出图形．
13．（2022春·四川泸州·九年级校考期末）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出最小值及此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)；点P的坐标为（0，）
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），利用待定系数法求函数的解析式；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=-x+，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点D是边AB的中点，AB=2，
∴AD=1，
∵四边形OABC是矩形，BC=4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）；
（2）解：∵反比例函数的解析式为y=（x＞0），
当x=2时，y=2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y=mx+n（m≠0）得，，
∴，
∴直线DE的解析式为y=-2x+6；
作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵点D的坐标为（1，4），
∴点D′的坐标为（-1，4），
设直线D′E的解析式为y=ax+b，
∴，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y=-x+，
令x=0，得y=，
∴点P的坐标为（0，）；
∵D（1，4），E（2，2），
∴BE=2，BD=1，
∴DE= ，
由（2）知，D′的坐标为（-1，4），
∴BD′=3，
∴D′E=，
∴△PDE的周长最小值=DE+D′E=，
故答案为：+．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称-最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用的几何意义，求出反比例函数解析式，再求出两点坐标，待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象，找到双曲线在直线上方时，的取值范围即可；
（3）作关于轴的对称点，连接，交轴与点，求出直线的解析式，再求出点坐标即可．
【详解】（1）解：由得，
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴反比例函数：，
将，代入，
解得，；
（2）由（1）知，，
结合图象可知的解集为或；
（3）解：作关于轴的对称点，连接交轴与点，连接，
则
当且仅当，，，三点共线时，取“=”号，有最大值.
设，
代入，，
有，解得，
∴，
取，得，
∴；
故当取得最大值时：．
．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，是解题的关键．
15．（2022春·九年级课时练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，面积为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上求一点P，使的值最大，并求出其最大值和P点坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为，
【分析】（1）由面积为1，可直接得到答案；
（2）记一次函数的图象与x轴的交点为P点，此时的值最大，最大值为的长．联立： ，再解方程组求解A，B的坐标，从而可得最大值，再令，则，解得，从而可得P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，面积为1，
∴，
∵，
∴，
故反比例函数的解析式为：；
（2）解：记一次函数的图象与x轴的交点为P点，此时的值最大，最大值为的长．
联立：
整理得：
解得：
所以方程组的解为：
，
∴，
∴的最大值为，
∵一次函数，
令，则，
解得，
∴P点坐标为．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点坐标问题，两条线段的绝对值之差的最大值的理解，掌握“反比例函数的性质”是解本题的关键．
16．（2022秋·陕西西安·九年级校联考期中）如图，反比例函数（，）的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点．
(1)求和的解析式及m值；
(2)根据图象直接写出时x的取值范围；
(3)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)
【分析】(1)根据点A坐标可求出，即可得点B坐标，由A、B两点的坐标可得的函数表达式；
(2)根据题意，可知要求使得反比例函数在直线的上方，所对应的x的范围
(3) 点C关于x轴的对称点为，当点A、F、M共线时，可得最大，故点M为直线AF与x轴的交点坐标．
【详解】（1）∵图象过点，
∴，得，
∴；
把点代入中得，
∴，点B为，
∵过点A，B，
∴把和代入得
，
解得，
∴
易知关于x轴对称点在图象上，
∴
∴；
（2）由图象得或；
（3）由（1）得，，，
点C关于x轴的对称点为，
射线AF交x轴于点M，
设AF的解析式为，
把，分别代入中，
，
解得，
∴AF的解析式为，
令，则，
∴当最大时M的坐标为．
【点睛】本题考查了确定一次函数和反比例函数的解析式，根据函数图象分析不等式的解集，根据对称性求线段达到最大值时的点坐标，掌握相关的做题方法是解题的关键．
17．（2022秋·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，一次函数（≠0）的图象与反比例函数（≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（，4）和点B（8，）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在轴上取点P，使|PA﹣PB|取得最大值时，求出点P的坐标．
【答案】（1）a=-2，b=-1；（2）-2
【分析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答
（2）根据函数图象结合解析式即可判断
（3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到 ，设直线的关系式为，把将 ，代入得到解析式，即可解答
【详解】解：（1）∵点，
∴，
∵，即，
∴，
∵点在第二象限，
∴ ，，
将代入得：，
∴反比例函数的关系式为：，
把代入得：，
∴
因此，；
（2）由图象可以看出的解集为：或；
（3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于，
此时最大，
∵
∴
设直线的关系式为，将 ，代入得：
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，即，解得，
∴
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时最大．
18．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是找一点，使值最大，则点的坐标是________．
【答案】（1），；（2）8；（3）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图设直线交轴于，则，根据求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，则点坐标为，根据三角形三边的关系得到（当点、、共线时，取等号），所以，的值为，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再确定该直线与轴的交点坐标，即点坐标．
【详解】（1）把代入得：；
∴反比例解析式为，
∴，
把、代入得：，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）设直线交轴与，
令，则，
∴，
∴，
∴，
（3）作点关于轴的对称点，如图所示：
则点坐标为，
∴，
∴，
∴当点、、共线时，的值最大，
设直线的解析式为，
把、代入得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，解得，
∴点坐标为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，正确理解题意是解题的关键．
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