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苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题37实际问题中的反比例函数(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题37实际问题中的反比例函数(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了的反比例函数，其图象如图所示等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为B．至少为C．至多为D．至少为
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是（ ）
A．当压力，受力面积为时，物体所受压强为
B．图像位于第一、三象限
C．压强随受力面积的增大而减小
D．图像不可能与坐标轴相交
3．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线（k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（ ）
A．18℃B．15.5℃C．13.5℃D．12℃
4．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
5．（2021春·江苏扬州·八年级校联考期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的
A．7：20B．7：30C．7：45D．7：50
6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．
写出与的函数关系式：________．
当面条粗时，面条总长度是________．
7．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间是装载货物速度的反比例函数，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)如果要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到）？
8．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
(2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
(3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
9．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（Pa）与气球体积V（）之间成反比例关系，其图像如图所示．
(1)求P与V之间的函数关系式；
(2)当时，求P的值；
(3)当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
10．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)_____________；
(2)当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
11．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式______；
(2)若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间与速度之间的关系，则：
①老李家距离单位_____m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少才能不迟到？
12．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示．
(1)该蓄水池的蓄水量为_________；
(2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？
13．（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟，据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为，加热5分钟使材料温度达到时停止加热．停止加热后，过一段时间，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系．
(1)分别求出该材料加热过程中和材料温度逐渐下降过程中，与之间的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)根据工艺要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？
15．（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）王老师驾驶小汽车从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶的平均速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)王老师上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①王老师需要在当天13点至14点（含13点和14点）间到达B地，求小汽车行驶的平均速度v需达到的范围；
②王老师能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
17．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过，那么返程时的平均速度不能小于多少？
18．（2021春·江苏淮安·八年级统考期末）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？
19．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；
方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．
哪种混合方式的什锦糖的单价更低？
(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为、，用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．请你写出他的解答过程；
(2)为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：
结论1：若，则；若，则；若，则；
结论2：反比例函数的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论3：若的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为．
小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论1求解；
②利用结论2、结论3求解．
20．（2021春·江苏扬州·八年级统考期末）我们已经学习了正比例函数和反比例函数的图像和性质，下面，我们研究函数的图像和性质，我们不妨特殊化，设，，即．
（1）① 函数的自变量x的取值范围是 ；
②容易发现，当时，；当时，．由此可见，图像在第 象限；
③阅读材料：当时，．当时，即，有最小值是2．请仿照上述过程，求出当时，的最大值；
（2）为了画函数的图像，小明通过列表，描点画出了下图，请连线；
（3）观察图像，当随着的增大而增大时，自变量x的取值范围是 ；
（4）某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值．
专题37 实际问题中的反比例函数
1．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为B．至少为C．至多为D．至少为
【答案】B
【分析】直接利用：阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；把F=500N代入所求的函数解析式即可得到结论．
【详解】解：由题意可得：1600×0.5=Fl，
则F与l的函数表达式为：F=；
当动力F=500N时，
500=，
解得l==1.6，
答：动力F=500N时，动力臂至少为1.6m，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是（ ）
A．当压力，受力面积为时，物体所受压强为
B．图像位于第一、三象限
C．压强随受力面积的增大而减小
D．图像不可能与坐标轴相交
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质依次判断各个选项即可得出结论．
【详解】A．当压力，受力面积为时，，故本选项不符合题；
B．结合实际意义可知，即函数图像位于第一象限，故本选项符合题；
C．压强随受力面积的增大而减小，故本选项不符合题；
D．根据题意可知，，又，由此可得，故图像不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质等知识，解题关键是掌握并灵活运用相关性质．
3．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线（k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（ ）
A．18℃B．15.5℃C．13.5℃D．12℃
【答案】C
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即可．
【详解】解：∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，
解得：k=216．
当x=16时，y==13.5，
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
4．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【答案】D
【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可
【详解】根据题意：设药物释放完毕后与的函数关系式为，
结合图像可知经过点（，）
与的函数关系式为
设药物释放过程中与的函数关系式为
结合图像当时药物释放完毕代入到中，则，故选项A正确，
设正比例函数为，将（，1）代入得：，解得，则正比例函数解析式为，故选项B正确，
当空气中含药量大于等于时，有，解得，结合图像，即，故选项C正确，
当空气中含药量降低到时，即，解得，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函数解析式．
5．（2021春·江苏扬州·八年级校联考期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的
A．7：20B．7：30C．7：45D．7：50
【答案】A
【详解】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟．
设一次函数关系式为：y=k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30．
∴y=10x+30（0≤x≤7）．
令y=50，解得x=2；
设反比例函数关系式为：，
将（7，100）代入得k=700，∴．
将y=30代入，解得．∴（7≤x≤）．
令y=50，解得x=14．
∴饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．
逐一分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤时间段内，故可行；
选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行．
综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A．
6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．
写出与的函数关系式：________．
当面条粗时，面条总长度是________．
【答案】
【分析】（1）首先根据题意，y与s的关系为乘积一定，为面团的体积，即可得出y与s的反比例函数关系式；
（2）将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=，
将s=4，y=32代入上式，
解得：k=4×32=128，
∴y=；
故答案为y=．
（2）当s=1.6时，y==80，
当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是80m；
故答案为80．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
7．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间是装载货物速度的反比例函数，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)如果要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到）？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设与之间的函数表达式为，把时，代入即可求解
（2）利用函数关系式，当时，求出x，即可求解
（1）
解：设与之间的函数表达式为
∵ 当时，
∴
∴
∴
（2）
当时，
解得
根据反比例函数的性质，随的增大而减小
∴要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为3.34
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出解析式，再根据题意解答．
8．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
(2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
(3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
【答案】(1)；
(2)8
(3)能
【分析】（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可；
（2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可知：
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【点睛】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键．
9．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（Pa）与气球体积V（）之间成反比例关系，其图像如图所示．
(1)求P与V之间的函数关系式；
(2)当时，求P的值；
(3)当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
【答案】(1)P=
(2)千帕
(3)不少于m3
【分析】（1）设出反比例函数的解析式，代入点A的坐标，即可解决；
（2）由题意可得V=1.8m3，代入到解析式中即可求解；
（3）为了安全起见，P≤40000kPa，列出关于V的不等式，解不等式，即可解决．
（1）
解：设这个函数解析式为：P=，
代入点A的坐标（1.5，16000）得，=16000，
∴k=24000，
∴这个函数的解析式为P=；
（2）
由题可得，V=1.8m3，
∴P=（kPa），
∴气球内气体的压强是千帕；
（3）
∵气球内气体的压强大于144kPa时，气球将爆炸，
∴为了安全起见，P≤40000kPa，
∴≤40000，
∴V≥m3，
∴为了安全起见，气球的体积不少于m3．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出解析式是解决此题的突破口．
10．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)_____________；
(2)当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
【答案】(1)19
(2)；
(3)135分钟
【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；
（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．
【详解】（1）解：a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，
∵经过点（100，19），
∴ ＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝；
（3）解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
11．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式______；
(2)若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间与速度之间的关系，则：
①老李家距离单位_____m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少才能不迟到？
【答案】(1)
(2)①3000；②75
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可求解；
（2）①根据路程=速度×时间即可求解；②将y=40代入函数解析式，求出x，再根据反比例函数的性质得出结论．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为，
∵点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
∴，解得：k=±3000，
∵图象位于第三象限，
∴k＞0，
∴k=3000，
∴y与x之间的函数表达式为；
故答案为：
（2）解：①根据题意得：，
∴xy=3000，
∴老李家距离单位3000m；
故答案为：3000
②∵，
∴当y=60-15-5=40时，，
解得：x=75，
∴老李步行速度至少为多少才能不迟到．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，求出y与x之间的函数表达式是解题的关键．
12．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示．
(1)该蓄水池的蓄水量为_________；
(2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？
【答案】(1)18000
(2)
(3)1800
【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设，再把点（6，3000）代入即可求出答案；
（2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案；
（3）设原计划每小时的排水量是，根据等量关系式列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设，
∵点（6，3000）在此函数图象上，
∴蓄水量为6×3000＝18000m3．
故答案为：18000．
（2）蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系式为：，
∵每小时排水量不超过，
∴根据反比例函数的增减性可知，时，每小时排水量不超过．
故答案为：．
（3）设原计划每小时的排水量是，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是所列方程的解，
答：原计划每小时的排水量是．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是解题的关键．
13．（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
【答案】(1)生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min；
(2)小明应在打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到第27天内．
【分析】（1）直接利用药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min，得出二元一次方程组求出答案；
（2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，分别求解y=50，y=23时x的值，从而可得答案．
（1）解：设生产1支单针疫苗需要amin，生产1支双针疫苗需要bmin． 根据题意得： ， 解得：， 答：生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min；
（2）当x＞0.7时，设函数解析式为，将（0.7，910）代入， 解得m=637， 故， 当y=50时，则，当y=23时，则， 所以小明应在打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到27天内．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，反比例函数的应用以及正比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟，据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为，加热5分钟使材料温度达到时停止加热．停止加热后，过一段时间，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系．
(1)分别求出该材料加热过程中和材料温度逐渐下降过程中，与之间的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)根据工艺要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？
【答案】(1)，
(2)分钟
【分析】（1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别令两个函数的函数值为16，解得两个x的值相减即可得到答案．
(1)
设线段AB解析式为：，代入（0，10）（5，20），
可得：．
双曲线CD解析式为：，
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：；
(2)
把y＝16代入中，
解得：，
y＝16代入，
解得：x＝3，
∴，
答：该材料进行特殊处理所用的时间分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
15．（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）王老师驾驶小汽车从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶的平均速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)王老师上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①王老师需要在当天13点至14点（含13点和14点）间到达B地，求小汽车行驶的平均速度v需达到的范围；
②王老师能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【答案】(1)v=（t≥4）；
(2)①小汽车行驶速度v的范围为80≤v≤96；②王老师不能在当天11点30分前到达B地．理由见解析
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）①8点至13点时间长为5小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；
②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．
(1)
解：∵vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴v关于t的函数表达式为：v=（t≥4）；
(2)
解：①8点至13点时间长为5小时，8点至14点时间长为6小时，
将t=6代入v=得v=80；将t=5代入v=得v=96，
∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤96；
②王老师不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：
8点至11点30分时间长为小时，
将t=代入v=得v=＞120千米/小时，超速了，
故王老师不能在当天11点30分前到达B地．
【点睛】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】（1）20；（2）能，见解析
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论
【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．将x=45代入
将x=45代入得：
点对应的指标值为．
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。
17．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过，那么返程时的平均速度不能小于多少？
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用路程=平均速度×时间，进而得出汽车的速度v与时间t的函数关系；
（2）结合该司机必须在5个小时之内回到甲地，列出不等式进而得出速度最小值．
【详解】（1）由题意得，两地路程为，
∴汽车的速度与时间的函数关系为；
（2）由，得，
又由题意知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：返程时的平均速度不能小于96．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，根据路程=平均速度×时间得出函数关系是解题关键．
18．（2021春·江苏淮安·八年级统考期末）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？
【答案】（1）240；（2）15．
【详解】试题分析：（1）直接将点A坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y=20，所以计算AD和BC两段当y=15时对应的x值，相减就是结论．
试题解析：（1）把B（12，20）代入中得：k=12×20=240；
（2）设AD的解析式为：y=mx+n．把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中得：，解得：，∴AD的解析式为：y=5x+10．当y=15时，15=5x+10，x=1，15=，x==16，∴16﹣1=15．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．
考点：反比例函数的应用；分段函数．
19．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；
方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．
哪种混合方式的什锦糖的单价更低？
(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为、，用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．请你写出他的解答过程；
(2)为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：
结论1：若，则；若，则；若，则；
结论2：反比例函数的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论3：若的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为．
小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论1求解；
②利用结论2、结论3求解．
【答案】(1)，，过程见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据单价的公式即可得到两种不同方式的单价；
（2）①让两种不同方式的单价作差法比较即可；②设A、B是反比例函数（）的图像上两点，是线段的中点，由结论2，得点A、B的横坐标分别为、，由结论3，得点C的坐标为，由结论2，得点E的坐标为，可得，即可得答案．
（1）
解：采用方式1混合的什锦糖的单价为，采用方式2混合的什锦糖的单价为；
（2）
①∵，，，
∴，，
∴，
由结论1，得，
∴采用方式2混合的什锦糖的单价更低；
②如图，设A、B是反比例函数（）的图像上两点，是线段的中点，
令点A、B的纵坐标分别为a、b，不妨设，
过点C作轴，垂足为D，CD与此函数图像交于点E，
由结论2，得点A、B的横坐标分别为、，
由结论3，得点C的坐标为，
∵点C与点E的横坐标相等，
∴点E的横坐标为，
由结论2，得点E的坐标为，
∵E是线段CD上一点，
∴，
∴，
∴采用方式2混合的什锦糖的单价更低．
【点睛】本题考查了代数式的大小比较,反比例函数的实际应用,中点坐标公式等知识,解题的关键是将实际问题转化为函数模型．
20．（2021春·江苏扬州·八年级统考期末）我们已经学习了正比例函数和反比例函数的图像和性质，下面，我们研究函数的图像和性质，我们不妨特殊化，设，，即．
（1）① 函数的自变量x的取值范围是 ；
②容易发现，当时，；当时，．由此可见，图像在第 象限；
③阅读材料：当时，．当时，即，有最小值是2．请仿照上述过程，求出当时，的最大值；
（2）为了画函数的图像，小明通过列表，描点画出了下图，请连线；
（3）观察图像，当随着的增大而增大时，自变量x的取值范围是 ；
（4）某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值．
【答案】（1）①；②一、三；③y的最大值为-2；（2）见解析；（3）或；（4）30s
【分析】（1）①根据函数表达式中，分母不为零，即可得到自变量的取值范围；
②根据平面直角坐标系中点的特点即可判定图象所在的象限；
③类比材料给出的解题过程，再根据完全平方公式的变形即可求解；
（2）根据图象所描出的点，用平滑的曲线连线即可；
（3）观察图象，根据图象确定函数的取值范围是即可；
（4）根据函数的解析式及速度与时间的关系可得到t与v的关系式，从而求出车队通过隧道时间的最小值．
【详解】解：（1）①在中，x为分母，∴x≠0；
②∵当时，；当时，，
∴图象在一、三象限；
③当时，，
当时，即，有最大值是-2；
（2）连线如下：
（3）由图象可得：当随着的增大而增大时，自变量x的取值范围是或；
（4）设第10辆车车尾出隧道所用时间为t，
10辆车所走的路程为：185+4×10+9d=225+9d，
∴t=，
∵，
∴t==，
当时，即v=15m/s时，t最小，最小值为30s．
【点睛】本题考查了自变量的取值范围，配方法的运用，要正确理解题意，会把题目化成公式中完全平方的形式，利用完全平方的非负性质解决问题．
1．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为B．至少为C．至多为D．至少为
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是（ ）
A．当压力，受力面积为时，物体所受压强为
B．图像位于第一、三象限
C．压强随受力面积的增大而减小
D．图像不可能与坐标轴相交
3．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线（k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（ ）
A．18℃B．15.5℃C．13.5℃D．12℃
4．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
5．（2021春·江苏扬州·八年级校联考期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的
A．7：20B．7：30C．7：45D．7：50
6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．
写出与的函数关系式：________．
当面条粗时，面条总长度是________．
7．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间是装载货物速度的反比例函数，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)如果要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到）？
8．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
(2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
(3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
9．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（Pa）与气球体积V（）之间成反比例关系，其图像如图所示．
(1)求P与V之间的函数关系式；
(2)当时，求P的值；
(3)当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
10．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)_____________；
(2)当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
11．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式______；
(2)若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间与速度之间的关系，则：
①老李家距离单位_____m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少才能不迟到？
12．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示．
(1)该蓄水池的蓄水量为_________；
(2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？
13．（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟，据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为，加热5分钟使材料温度达到时停止加热．停止加热后，过一段时间，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系．
(1)分别求出该材料加热过程中和材料温度逐渐下降过程中，与之间的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)根据工艺要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？
15．（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）王老师驾驶小汽车从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶的平均速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)王老师上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①王老师需要在当天13点至14点（含13点和14点）间到达B地，求小汽车行驶的平均速度v需达到的范围；
②王老师能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
17．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过，那么返程时的平均速度不能小于多少？
18．（2021春·江苏淮安·八年级统考期末）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？
19．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；
方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．
哪种混合方式的什锦糖的单价更低？
(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为、，用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．请你写出他的解答过程；
(2)为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：
结论1：若，则；若，则；若，则；
结论2：反比例函数的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论3：若的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为．
小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论1求解；
②利用结论2、结论3求解．
20．（2021春·江苏扬州·八年级统考期末）我们已经学习了正比例函数和反比例函数的图像和性质，下面，我们研究函数的图像和性质，我们不妨特殊化，设，，即．
（1）① 函数的自变量x的取值范围是 ；
②容易发现，当时，；当时，．由此可见，图像在第 象限；
③阅读材料：当时，．当时，即，有最小值是2．请仿照上述过程，求出当时，的最大值；
（2）为了画函数的图像，小明通过列表，描点画出了下图，请连线；
（3）观察图像，当随着的增大而增大时，自变量x的取值范围是 ；
（4）某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值．
专题37 实际问题中的反比例函数
1．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为B．至少为C．至多为D．至少为
【答案】B
【分析】直接利用：阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；把F=500N代入所求的函数解析式即可得到结论．
【详解】解：由题意可得：1600×0.5=Fl，
则F与l的函数表达式为：F=；
当动力F=500N时，
500=，
解得l==1.6，
答：动力F=500N时，动力臂至少为1.6m，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是（ ）
A．当压力，受力面积为时，物体所受压强为
B．图像位于第一、三象限
C．压强随受力面积的增大而减小
D．图像不可能与坐标轴相交
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质依次判断各个选项即可得出结论．
【详解】A．当压力，受力面积为时，，故本选项不符合题；
B．结合实际意义可知，即函数图像位于第一象限，故本选项符合题；
C．压强随受力面积的增大而减小，故本选项不符合题；
D．根据题意可知，，又，由此可得，故图像不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质等知识，解题关键是掌握并灵活运用相关性质．
3．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线（k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（ ）
A．18℃B．15.5℃C．13.5℃D．12℃
【答案】C
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即可．
【详解】解：∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，
解得：k=216．
当x=16时，y==13.5，
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
4．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【答案】D
【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可
【详解】根据题意：设药物释放完毕后与的函数关系式为，
结合图像可知经过点（，）
与的函数关系式为
设药物释放过程中与的函数关系式为
结合图像当时药物释放完毕代入到中，则，故选项A正确，
设正比例函数为，将（，1）代入得：，解得，则正比例函数解析式为，故选项B正确，
当空气中含药量大于等于时，有，解得，结合图像，即，故选项C正确，
当空气中含药量降低到时，即，解得，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函数解析式．
5．（2021春·江苏扬州·八年级校联考期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的
A．7：20B．7：30C．7：45D．7：50
【答案】A
【详解】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟．
设一次函数关系式为：y=k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30．
∴y=10x+30（0≤x≤7）．
令y=50，解得x=2；
设反比例函数关系式为：，
将（7，100）代入得k=700，∴．
将y=30代入，解得．∴（7≤x≤）．
令y=50，解得x=14．
∴饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．
逐一分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤时间段内，故可行；
选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行．
综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A．
6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．
写出与的函数关系式：________．
当面条粗时，面条总长度是________．
【答案】
【分析】（1）首先根据题意，y与s的关系为乘积一定，为面团的体积，即可得出y与s的反比例函数关系式；
（2）将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=，
将s=4，y=32代入上式，
解得：k=4×32=128，
∴y=；
故答案为y=．
（2）当s=1.6时，y==80，
当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是80m；
故答案为80．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
7．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间是装载货物速度的反比例函数，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)如果要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到）？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设与之间的函数表达式为，把时，代入即可求解
（2）利用函数关系式，当时，求出x，即可求解
（1）
解：设与之间的函数表达式为
∵ 当时，
∴
∴
∴
（2）
当时，
解得
根据反比例函数的性质，随的增大而减小
∴要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为3.34
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出解析式，再根据题意解答．
8．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
(2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
(3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
【答案】(1)；
(2)8
(3)能
【分析】（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可；
（2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可知：
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【点睛】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键．
9．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（Pa）与气球体积V（）之间成反比例关系，其图像如图所示．
(1)求P与V之间的函数关系式；
(2)当时，求P的值；
(3)当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
【答案】(1)P=
(2)千帕
(3)不少于m3
【分析】（1）设出反比例函数的解析式，代入点A的坐标，即可解决；
（2）由题意可得V=1.8m3，代入到解析式中即可求解；
（3）为了安全起见，P≤40000kPa，列出关于V的不等式，解不等式，即可解决．
（1）
解：设这个函数解析式为：P=，
代入点A的坐标（1.5，16000）得，=16000，
∴k=24000，
∴这个函数的解析式为P=；
（2）
由题可得，V=1.8m3，
∴P=（kPa），
∴气球内气体的压强是千帕；
（3）
∵气球内气体的压强大于144kPa时，气球将爆炸，
∴为了安全起见，P≤40000kPa，
∴≤40000，
∴V≥m3，
∴为了安全起见，气球的体积不少于m3．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出解析式是解决此题的突破口．
10．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)_____________；
(2)当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
【答案】(1)19
(2)；
(3)135分钟
【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；
（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．
【详解】（1）解：a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，
∵经过点（100，19），
∴ ＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝；
（3）解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
11．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式______；
(2)若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间与速度之间的关系，则：
①老李家距离单位_____m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少才能不迟到？
【答案】(1)
(2)①3000；②75
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可求解；
（2）①根据路程=速度×时间即可求解；②将y=40代入函数解析式，求出x，再根据反比例函数的性质得出结论．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为，
∵点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
∴，解得：k=±3000，
∵图象位于第三象限，
∴k＞0，
∴k=3000，
∴y与x之间的函数表达式为；
故答案为：
（2）解：①根据题意得：，
∴xy=3000，
∴老李家距离单位3000m；
故答案为：3000
②∵，
∴当y=60-15-5=40时，，
解得：x=75，
∴老李步行速度至少为多少才能不迟到．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，求出y与x之间的函数表达式是解题的关键．
12．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示．
(1)该蓄水池的蓄水量为_________；
(2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？
【答案】(1)18000
(2)
(3)1800
【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设，再把点（6，3000）代入即可求出答案；
（2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案；
（3）设原计划每小时的排水量是，根据等量关系式列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设，
∵点（6，3000）在此函数图象上，
∴蓄水量为6×3000＝18000m3．
故答案为：18000．
（2）蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系式为：，
∵每小时排水量不超过，
∴根据反比例函数的增减性可知，时，每小时排水量不超过．
故答案为：．
（3）设原计划每小时的排水量是，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是所列方程的解，
答：原计划每小时的排水量是．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是解题的关键．
13．（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
【答案】(1)生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min；
(2)小明应在打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到第27天内．
【分析】（1）直接利用药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min，得出二元一次方程组求出答案；
（2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，分别求解y=50，y=23时x的值，从而可得答案．
（1）解：设生产1支单针疫苗需要amin，生产1支双针疫苗需要bmin． 根据题意得： ， 解得：， 答：生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min；
（2）当x＞0.7时，设函数解析式为，将（0.7，910）代入， 解得m=637， 故， 当y=50时，则，当y=23时，则， 所以小明应在打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到27天内．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，反比例函数的应用以及正比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟，据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为，加热5分钟使材料温度达到时停止加热．停止加热后，过一段时间，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系．
(1)分别求出该材料加热过程中和材料温度逐渐下降过程中，与之间的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)根据工艺要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？
【答案】(1)，
(2)分钟
【分析】（1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别令两个函数的函数值为16，解得两个x的值相减即可得到答案．
(1)
设线段AB解析式为：，代入（0，10）（5，20），
可得：．
双曲线CD解析式为：，
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：；
(2)
把y＝16代入中，
解得：，
y＝16代入，
解得：x＝3，
∴，
答：该材料进行特殊处理所用的时间分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
15．（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）王老师驾驶小汽车从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶的平均速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)王老师上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①王老师需要在当天13点至14点（含13点和14点）间到达B地，求小汽车行驶的平均速度v需达到的范围；
②王老师能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【答案】(1)v=（t≥4）；
(2)①小汽车行驶速度v的范围为80≤v≤96；②王老师不能在当天11点30分前到达B地．理由见解析
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）①8点至13点时间长为5小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；
②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．
(1)
解：∵vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴v关于t的函数表达式为：v=（t≥4）；
(2)
解：①8点至13点时间长为5小时，8点至14点时间长为6小时，
将t=6代入v=得v=80；将t=5代入v=得v=96，
∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤96；
②王老师不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：
8点至11点30分时间长为小时，
将t=代入v=得v=＞120千米/小时，超速了，
故王老师不能在当天11点30分前到达B地．
【点睛】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】（1）20；（2）能，见解析
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论
【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．将x=45代入
将x=45代入得：
点对应的指标值为．
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。
17．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过，那么返程时的平均速度不能小于多少？
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用路程=平均速度×时间，进而得出汽车的速度v与时间t的函数关系；
（2）结合该司机必须在5个小时之内回到甲地，列出不等式进而得出速度最小值．
【详解】（1）由题意得，两地路程为，
∴汽车的速度与时间的函数关系为；
（2）由，得，
又由题意知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：返程时的平均速度不能小于96．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，根据路程=平均速度×时间得出函数关系是解题关键．
18．（2021春·江苏淮安·八年级统考期末）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？
【答案】（1）240；（2）15．
【详解】试题分析：（1）直接将点A坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y=20，所以计算AD和BC两段当y=15时对应的x值，相减就是结论．
试题解析：（1）把B（12，20）代入中得：k=12×20=240；
（2）设AD的解析式为：y=mx+n．把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中得：，解得：，∴AD的解析式为：y=5x+10．当y=15时，15=5x+10，x=1，15=，x==16，∴16﹣1=15．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．
考点：反比例函数的应用；分段函数．
19．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；
方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．
哪种混合方式的什锦糖的单价更低？
(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为、，用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．请你写出他的解答过程；
(2)为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：
结论1：若，则；若，则；若，则；
结论2：反比例函数的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论3：若的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为．
小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论1求解；
②利用结论2、结论3求解．
【答案】(1)，，过程见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据单价的公式即可得到两种不同方式的单价；
（2）①让两种不同方式的单价作差法比较即可；②设A、B是反比例函数（）的图像上两点，是线段的中点，由结论2，得点A、B的横坐标分别为、，由结论3，得点C的坐标为，由结论2，得点E的坐标为，可得，即可得答案．
（1）
解：采用方式1混合的什锦糖的单价为，采用方式2混合的什锦糖的单价为；
（2）
①∵，，，
∴，，
∴，
由结论1，得，
∴采用方式2混合的什锦糖的单价更低；
②如图，设A、B是反比例函数（）的图像上两点，是线段的中点，
令点A、B的纵坐标分别为a、b，不妨设，
过点C作轴，垂足为D，CD与此函数图像交于点E，
由结论2，得点A、B的横坐标分别为、，
由结论3，得点C的坐标为，
∵点C与点E的横坐标相等，
∴点E的横坐标为，
由结论2，得点E的坐标为，
∵E是线段CD上一点，
∴，
∴，
∴采用方式2混合的什锦糖的单价更低．
【点睛】本题考查了代数式的大小比较,反比例函数的实际应用,中点坐标公式等知识,解题的关键是将实际问题转化为函数模型．
20．（2021春·江苏扬州·八年级统考期末）我们已经学习了正比例函数和反比例函数的图像和性质，下面，我们研究函数的图像和性质，我们不妨特殊化，设，，即．
（1）① 函数的自变量x的取值范围是 ；
②容易发现，当时，；当时，．由此可见，图像在第 象限；
③阅读材料：当时，．当时，即，有最小值是2．请仿照上述过程，求出当时，的最大值；
（2）为了画函数的图像，小明通过列表，描点画出了下图，请连线；
（3）观察图像，当随着的增大而增大时，自变量x的取值范围是 ；
（4）某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值．
【答案】（1）①；②一、三；③y的最大值为-2；（2）见解析；（3）或；（4）30s
【分析】（1）①根据函数表达式中，分母不为零，即可得到自变量的取值范围；
②根据平面直角坐标系中点的特点即可判定图象所在的象限；
③类比材料给出的解题过程，再根据完全平方公式的变形即可求解；
（2）根据图象所描出的点，用平滑的曲线连线即可；
（3）观察图象，根据图象确定函数的取值范围是即可；
（4）根据函数的解析式及速度与时间的关系可得到t与v的关系式，从而求出车队通过隧道时间的最小值．
【详解】解：（1）①在中，x为分母，∴x≠0；
②∵当时，；当时，，
∴图象在一、三象限；
③当时，，
当时，即，有最大值是-2；
（2）连线如下：
（3）由图象可得：当随着的增大而增大时，自变量x的取值范围是或；
（4）设第10辆车车尾出隧道所用时间为t，
10辆车所走的路程为：185+4×10+9d=225+9d，
∴t=，
∵，
∴t==，
当时，即v=15m/s时，t最小，最小值为30s．
【点睛】本题考查了自变量的取值范围，配方法的运用，要正确理解题意，会把题目化成公式中完全平方的形式，利用完全平方的非负性质解决问题．
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