02-专项素养综合全练(二)解一次方程组的方法——2024年北京课改版数学七年级下册精品同步练习

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专项素养综合全练(二) 解一次方程组的方法 方法1　常规方法解一次方程组 1.【一题多解】解方程组:2x+3y=7,6x-2y=−1. 方法2　引入参数法(换元法)解一次方程组 2.解方程组:x+y2=x-y3,2(x+y)-3x+3y=24. 3.(2023江西吉安月考)先阅读,再解方程组. 解方程组x+y2+x-y3=6,4(x+y)-5(x-y)=2时,设a=x+y,b=x-y,则原方程组可化为a2+b3=6,4a-5b=2,整理,得3a+2b=36,4a-5b=2,解这个方程组,得a=8,b=6,即x+y=8,x-y=6,解得x=7,y=1. 请用这种方法解下面的方程组:5(x+y)-3(x-y)=16,3(x+y)-5(x-y)=0. 4.张星发现解类似2x+3y4+2x-3y3=7,2x+3y3+2x-3y2=8的方程组不但麻烦,还很容易马虎,于是仔细观察,发现了一种特殊的解法:令m=2x+3y,n=2x-3y,这时原方程组可化为m4+n3=7,m3+n2=8,就比较容易求解了.老师发现后表扬了张星,并留了一道思考题:已知方程组ax+by=m,cx+dy=n的解是x=3,y=2,求方程组a(x+1)−by=m,c(x+1)−dy=n的解.你能帮他解出来吗?快来试试吧! 5.【一题多解】解方程组:x-13=y-24①,2x+y+3z=42②,y5=z3③. 方法3　消常数法解一次方程组 6.解方程组:2x+3y=15,x+4y=15. 7.解方程组:107x+40y=147,170x+271y=441. 方法4　整体代入与叠加法解一次方程组 8.解方程组:5m+6(m+n)=40①,5n+7(m+n)=50②. 9.善于思考的王聪在解方程组2x+5y=3①,4x+11y=5②时,采用了一种“整体代入”的解法: 解:将方程②变形为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③,把方程①代入③得2×3+y=5,解得y=-1,把y=-1代入方程①得x=4,所以方程组的解为x=4,y=−1. 模仿上述方法,解决以下问题: (1)解方程组:3x-2y=5①,9x-4y=19②. (2)已知x,y满足方程组3x2-2xy+12y2=47①,2x2+xy+8y2=36②. (i)求3xy的值; (ii)求x2+4y2的值.  答案全解全析 1.　解析　解法一:2x+3y=7①,6x-2y=−1②, 由①得2x=7-3y③, 把③代入②得3(7-3y)-2y=-1,解得y=2, 把y=2代入③得2x=7-6,解得x=12, ∴方程组的解为x=12,y=2. 解法二:2x+3y=7①,6x-2y=−1②, ①×2+②×3得22x=11,解得x=12, 把x=12代入①得2×12+3y=7,解得y=2, ∴方程组的解为x=12,y=2. 2.　解析　设x+y=A,x-y=B, 则方程组变形为A2=B3,2A-3B=24, 整理得3A-2B=0①,2A-3B=24②, ①×3-②×2得5A=-48,解得A=-9.6. 把A=-9.6代入①得B=-14.4, ∴x+y=−9.6,x-y=−14.4, 解得x=−12,y=2.4. 3.　解析　设m=x+y,n=x-y, 则原方程组可化为5m-3n=16①,3m-5n=0②, ①×3得15m-9n=48③, ②×5得15m-25n=0④, ③-④得16n=48, 解得n=3, 把n=3代入①得5m-9=16, 解得m=5, 则方程组的解为m=5,n=3, ∴x+y=5⑤,x-y=3⑥, ⑤+⑥得2x=8, 解得x=4, 把x=4代入⑤得4+y=5, 解得y=1, 故原方程组的解是x=4,y=1. 4.　解析　令e=x+1, f=-y,则原方程组可化为ae+bf=m,ce+df=n,∵方程组ax+by=m,cx+dy=n的解是x=3,y=2,∴e=3,f=2, ∴x+1=3,-y=2,解得x=2,y=−2. 5.　解析　解法一:设x-13=y-24=k(k≠0),则x=3k+1,y=4k+2,代入②③,并整理得10k+3z=38,12k-5z=−6, 解得k=2,z=6.∴x=7,y=10. 故原方程组的解为x=7,y=10,z=6. 解法二:设y5=z3=k(k≠0),则y=5k,z=3k,代入①②,得x-13=5k-24,2x+5k+9k=42,解得k=2,x=7. ∴y=10,z=6,故原方程组的解为x=7,y=10,z=6. 6.　解析　2x+3y=15①,x+4y=15②,①-②得x-y=0, 即x=y③,把③代入②得y+4y=15, ∴y=3,把y=3代入③得x=3, ∴方程组的解为x=3,y=3. 7.　解析　107x+40y=147①,170x+271y=441②, ①×3-②得151x-151y=0, ∴x-y=0,∴x=y③,把③代入①得107y+40y=147, 解得y=1,把y=1代入③得x=1, ∴原方程组的解为x=1,y=1. 8.　解析　①+②,得18(m+n)=90, ∴m+n=5③,把③代入①得5m+30=40, 解得m=2,把m=2代入③得n=3, ∴方程组的解为m=2,n=3. 9.　解析　(1)把方程②变形为3(3x-2y)+2y=19③, 把①代入③得15+2y=19,解得y=2, 把y=2代入①得3x-4=5,解得x=3, 所以方程组的解为x=3,y=2. (2)(i)由①得3(x2+4y2)=47+2xy, ∴x2+4y2=47+2xy3③, 由②得2(x2+4y2)=36-xy④, 把③代入④得2×47+2xy3=36-xy, 解得xy=2,∴3xy=6. (ii)由(i)可知xy=2,将xy=2代入2x2+xy+8y2=36得2x2+2+8y2=36,∴x2+4y2=17.