专题15 圆中最值问题专训（九大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 圆中的线段最值问题
题型二 圆中的线段之和最值问题
题型三 圆中的线段平方和最值问题
题型四 圆中的面积最值问题
题型五 圆中的周长最值问题
题型六 圆中的旋转最值问题
题型七 圆中的翻折最值问题
题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）
题型九 圆中的最值综合问题
【经典题型一 圆中的线段最值问题】
1．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，．点P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是（ ）．

A．5B．C．D．
【答案】C
【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解： ，
，
，
，
，
∴点P在以为直径的⊙O上，
如图，连接交于点P，

此时最小，在中，
，
，
， ，
，
，
，
最小值为：，
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于常考题型．
2．（2023·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，为半径作，为线段上动点从运动到，过作的切线，切点为，则的取值范围是( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接、,根据当时，线段最短，当在或点时，线段最长，进而分别求得的长，即可求解．
【详解】解：连接、．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短，当在或点时，线段最长，
①当时，在中，，，
，
，
．
②当在点时，在中，，，
，
的取值范围是，
故选：A．

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解．
【详解】设交于，连接、、，过作于，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，，
由勾股定理得：．
，
．
，
，
在中，，
，
的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．正确的作出辅助线是解题关键．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点作于，当点运动时，点在以为直径的半圆上，即点在圆心为的半圆上运动，当点运动到连线上时，的值最小，根据题意可证，由此可证是直角三角形，可得点在以为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在中，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，连接，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即是直角三角形，
∴当点P运动时，点在以为直径的半圆上运动，设圆心为，当点M运动到连线上时，的值最小，
∵，
∴，则半圆的半径，
在中，，
当点运动到连线上时，的值最小，
∴的最小值为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，当、、三点共线时，最小，求出此时的长即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
点在以为弦，的圆弧上运动，
如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接，，，，，，
，
则，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，
此时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，四边形是矩形，，点是平面内的一个动点，连接，在运动的过程中，始终垂直于，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】先通过，则可判断点在为直径的圆上运动，将绕点顺时针旋转至，设的中点为，则点在为直径的圆上运动，当点，，三点共线时，有最大值，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，

∵，
∴，
∴点在为直径的圆上运动，
将绕点顺时针旋转至，设的中点为，
又∵，
∴由题意可知点在为直径的圆上运动，
当点，，三点共线时，有最大值，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，为中点，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴的最大值为：．
【点睛】此题考查了旋转变换和圆有关的概念，解题的关键是正确理解点，的运动路径是圆．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知中，，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，而一定，
∴当的面积最大时，最大，
∵，
∴点D在以为直径的圆上，
∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时，则为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长．
8．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在矩形中，，连接，点是的中点，点是上一动点，连接，以为斜边向下作等腰直角，连接，当的值最小时，的长为 ．

【答案】3
【分析】先利用勾股定理计算出，则，再利用等腰直角三角形的性质得到，，则根据圆周角定理可判断点A、P在以为直径的圆上，所以，，从而可判断平分，过点D作与点P，利用垂线段最短得到的值最小，然后证明，．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴点A、P在以为直径的圆上，
∴，，
∴平分，
过点D作与点P，此时的值最小，如下图所示，

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质：矩形的四个角都是直角，也考查了等腰直角三角形的性质、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．
9．（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______；
【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）11；（2）；（3）四边形的面积存在最小值，最小值为平方米
【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；
（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案；
（3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可．
【详解】解：（1）∵圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，
∴上的点到弦的距离最大值为，
故答案为：11；
（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图．

．
设，则，
由，得，即，
∴，
，
．
即面积的最小值为
（3）过点作于点于点，
∵平分，
∴．
又，
．
米，，，
为等腰直角三角形，
∴米，
（平方米），
平方米．
在上截取，连接，如图．

，
，
，
要使四边形的面积最小，只需的面积最小．
，
，
作的外接圆，如图，连接，作于点，
则，
∴．
设，则．
由，得，解得，
米，
（平方米），
（平方米）．
即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，交平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键．
10．（2023·陕西西安·校考一模）（1）如图1，的半径为，，点为上任意一点，则的最小值为 ．
（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，作于点，点是的内心，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若矩形的边长，，，求此时的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）当点在线段上时，有最小值，即可求解；
（2）由角平分线的性质可得， ，由三角形内角和定理可求解；
（3）先作出的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出最小时，点的位置，最后构造直角三角形，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点在线段上时，有最小值为，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴， ，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∴，
如图3，作的外接圆，圆心记作点，连接，在优弧上取一点，连接，
∴四边形是的圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
连接，与相交于点，此时根据（1）的结论可知，是的最小值，
过点作于，，交的延长线于，则四边形是正方形，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，内心，构造出圆是解本题的关键．
【经典题型二 圆中的线段之和最值问题】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，以为边作等边，则，而，则在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，证明，再证明，（当，，三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，以为边作等边，则，而，
∴，
∴点在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，
∴，，
∴
，
∵，（当，，三点共线时取等号），
当时，半径最小，此时半径为，
∴此时与长度的和最小，最小值为：．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的三边关系的应用，三角形外接圆的含义，圆周角定理的应用，弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心的位置是解题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是等腰的外接圆，为弧上一点，为的内心，过作，垂足为，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作于，于，连接，在上截取，连接，易证，推出是等腰直角三角形，进而得到四边形是正方形，推出，得到，同理得到，得到，即可得出结果．
【详解】解：作于，于，连接，在上截取，连接，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的内心，
，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
同理：，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形的外接圆和内心．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形．
3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，，，点，分别在，的另一边上运动，并保持2，点在边上，，点是的中点，若点为上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长，，交于点，作点关于的对称点，连接，，交于点，交于点，利用轴对称的性质可得，利用直角三角形斜边中线的性质可得，即可判断点在以为圆心，半径为1的圆位于的内部的弧上运动，从而得出当、、、四点在同一条直线上时，最小，然后利用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】如图，延长，，交于点，作点关于的对称点，
连接，，交于点，交于点，则，
，
，
，是的中点，连接，
，
点在以为圆心，半径为1的圆位于的内部的弧上运动，
，
当、、、四点在同一条直线上时，最小，
即最小，
点、关于对称，
垂直平分，
，，
，
，，
，
的最小值为．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
4．（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．

【答案】7
【分析】先找出点的运动路线为以为直径的圆，设圆心为，作点关于直线的对称点，连接交于点，可推出的长即为的最小值，再求出的长即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
点的运动路线为以为直径的圆，
作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，，

则，，
，
的最小值为；
连接，
四边形是矩形，点是的中点，点为的中点，
，，，
四边形是矩形，
，
点关于直线的对称点，
，
在中，
由勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：7．
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键．
5．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是 ．

【答案】①②④
【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；由“”可证≌，可得，则当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，由勾股定理可求的长，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：在上截取，连接，，，如图所示：

四边形是正方形，，
，，
，
，
，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；
在和中，
，
≌，
，
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
，
故DE的最小值为，故④正确；
当点在上时，有最小值为，此时，
与不一定相等，故③不一定正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆上点距离最值问题等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6．（2023·四川·统考中考真题）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 ．

【答案】
【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设与两边的切点分别为D、G，连接，延长交于点H，

由，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，延长交于点Q，

同理，
∵，
∴，
当与相切时，有最大或最小值，
连接，
∵D、E都是切点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴的最大值为；
如图，

同理，的最小值为；
综上，t的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键．
7．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系中，的半径为2，点M在上，点N在线段上，设，点P的坐标为，将点P沿方向平移2个单位，得到点，再将点作关于点N的对称点Q，连接，当点M在上运动时，长度的最大值与最小值的差为 ．（用含t的式子表示）

【答案】/
【分析】根据题意作出点和点，连接,，并延长 至点B，使得,连接并延长交的延长线于点C，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，求出和的长度，根据三角形三边关系即可判断．
【详解】
解：根据题意作出点和点，如图，连接,，并延长 至点B，使得,连接并延长交的延长线于点C，
将点作关于点N的对称点Q，
，
，
，且，
将点P沿方向平移2个单位，
，，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
将点P沿方向平移2个单位，
，
，
点P的坐标为，
，
由图得，，
的最大值为，的最小值为，
长度的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，主要考查了中位线的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定及性质，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键．
8．（2023·陕西宝鸡·统考一模）问题提出：
（1）如图1所示，已知A为上一点，P为外一点，若，的半径为2，则的最小值为_________；
问题探究：
（2）如图2所示，P为等边三角形内一点，若，求的最小值；
问题解决：
（3）由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B两座城市．物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送．点D为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地．为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．

【答案】（1）4；（2）；（3）
【分析】（1）如图所示，连接，根据进行求解即可；
（2）如图所示，将绕点B顺时针旋转至，连接，，则是等边三角形，可得，则，连接，则的最小值就是的长，证明四边形为菱形且，，求出的长即可；
（3）如图所示，连接，将绕点A顺时针旋转至位置，连接、，则都是等边三角形，则此时为定点，D为半圆上一动点；取的中点O，连接并延长交半圆于点，此时的长即为的最小值，据此求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，连接，
∵，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4；

（2）如图所示，将绕点B顺时针旋转至，连接，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，

∴，
连接，
∵A，为定点，
∴的最小值就是的长，
∵为等边形三角形，
∴
∴四边形为菱形且，，
设交于T，则，
∴，
∴，即的最小值为；
（3）如图所示，连接，将绕点A顺时针旋转至位置，连接、，
∴，
∴都是等边三角形，

∴
此时为定点，D为半圆上一动点，取的中点O，连接并延长交半圆于点，
此时的长即为的最小值．
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，点到圆上一点的距离的最值问题等等，正确作出辅助线是解题的关键．
【经典题型三 圆中的线段平方和最值问题】
1．（2023·广西·模拟预测）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
【详解】解：连接
∵四边形为正方形，，为圆O直径，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴当三点共线时，最小，，
则：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．
2．（2022春·全国·九年级期末）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
【详解】解：连接
∵四边形为正方形，，为圆O直径，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴当三点共线时，最小，
则：，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查圆上的动点问题．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．同时考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，是一道综合题．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为的上运动，则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的中点为，连接、，根据题意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解．
【详解】解：设的中点为，连接、，如下图：
则，，
根据题意可得，，
的最大值，即是的最大值，
又∵点在以半径为的上运动，
∴的最大值，
由勾股定理可得：，
∴的最大值为14，
∴的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出的最大值是解题的关键．
4．（2022春·九年级课时练习）如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ）
A．4B．5C．6D．
【答案】C
【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．
【详解】解：连接，，如图，
，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离最大，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的最大值是6．
故选：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则的最大值是 ．
【答案】6
【分析】连接AC，OD，DE，根据圆周角定理的推论，推出AC是⊙D的直径，设E（x，y），利用勾股定理分别求出求出，得到 与的关系，推出当最大时，最大，根据圆中直径最长，即可求出的最大值．
【详解】解：连接AC，OD，DE，
设E（x，y），
∵，
∴AC是⊙D的直径，
∵AO＝BO＝CO＝1，
∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0），
∴，
，
，
∴，
∵，
∴当OE为⊙D的直径时，OE最大，的值最大，
∴，
∴的最大值，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为
【答案】100
【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．
【详解】解：设P（x，y），
∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2，
∵OP2＝x2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，
当点P处于OM与圆的交点P处时，OP取得最大值，如图，
∴OP的最大值为OP＝OM＋PM＝＋2＝7，
∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大．
7．（2022·九年级单元测试）如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是 ．
【答案】6
【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，，设，利用两点间的距离公式得到则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．
【详解】解：连接，，如图，
，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离最大，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的最大值是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了圆周角定理、勾股定理和坐标与图形性质．
8．（2022秋·湖北黄冈·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 ．
【答案】34
【分析】设点，表示出的值，从而转化为求的最值，根据图形求出的最小值，代入求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当点P处于与圆的交点上时，取得最值，
∴的最小值为，
∴最小值为．
故答案为34．
【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解的最小值，难度较大．
9．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）在边长为10的正方形中，以为直径作半圆，圆心为，是半圆上一动点，过点作，垂足为，连接．
(1)如图1，若直线与圆相切，求线段的长；
(2)求的最小值；
(3)如图2，若，求的最小值．
【答案】(1)10
(2)
(3)200
【分析】(1)连接，根据正方形的性质，切线的性质，证明即可．
(2)设与半圆于点M，当点E与点M重合时，最短，运用勾股定理计算即可．
(3) 根据为直径，则，得到是定值，故t的最小值，有的最小值确定，且当E位于正方形对角线交点处时，取得最小值．
【详解】（1）连接，
∵边长为10的正方形，直线与圆相切，E为切点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图1，连接，
设与半圆于点M，当点E与点M重合时，最短，
∵边长为10的正方形，
∴，
∴，
∴．
（3）∵为直径，
∴，
∴是定值，
故t的最小值，有的最小值确定，
∵点E在半圆弧上，
∴在正方形中，只能是锐角三角形或者直角三角形，不可能是钝角三角形，
∴，
当且当E位于正方形对角线交点处时（此时是直角三角形），取等号．
∴，
∴，
故t的最小值为200．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，勾股定理是解题的关键．
【经典题型四 圆中的面积最值问题】
1．（2023春·江苏常州·九年级常州实验初中校考阶段练习）点C是以为直径的半圆O上的动点，D在上，且，点E、F、G分别是、、的中点．若，则的面积最大值为（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】由中位线求得，，由和可求解．
【详解】解：∵由点E、F、G分别是、、的中点,，
，
，，
，，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位线的性质，直径所对的角是直角，完全平方公式的应用；解题的关键是由完全平方公式得到．
2．（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】过作于，过作，交于，根据等边三角形的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三线合一的性质，得出，进而得出，即点、、在一条直线上，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，再根据平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据平行四边形和三角形的面积，得出，再以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径，再根据三角形的面积公式，结合二次根式的乘法，计算即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过作于，过作，交于，
，，
，
是正三角形，，
，
，即点、、在一条直线上，
在正、正和正，
，，，，
，
，
，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径，
，
四边形面积的最大值是2．
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三线合一的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理、含角的直角三角形、圆周角定理、二次根式的乘法，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
3．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】B
【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动，
当M点为与的交点时，点M到
的距离最短为，
∴ △BCM面积的最小值为∶
，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹．
4．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦的中点，直线与 轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据点为弦的中点，可得点在以为直径的圆上，以 为直径作，过点作直线于 ，交 于，则上到直线上最短的距离是 ，则可得 即的面积最小，根据一次函数的性质，求得， 根据勾股定理可得 ，再根据的半径为2，可知， ， ，由等积法可求得，，根据可求得面积最小是．
【详解】解：连接，如图，
点为弦的中点，
，
，
点在以为直径的圆上，
以为直径作，过点作直线于，交于，
则上到直线上最短的距离是，
此时，即的面积最小，
当时，，则 ，
当时，，
解得，则，
，
，
∵的半径为2，
∴，
，
由等积法可知：
∴
∴，
∴，
即的面积最小是，
故选：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数的性质和等积法等知识点，属性相关性质是解题的关键．
5．（2020·湖北武汉·统考模拟预测）如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将四边形的面积转化为，再进行分析解答
【详解】由旋转得：，
∴，
设四边形面积为S，
∴．
由旋转可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，
∴，
∴最大时，最小，
作的外接圆，
易知．
∴，．
当为中点时，面积最大，
过作于，则．
设，．
∴，．
∴．
∴．
故选D．
【点睛】本题求面积的最小值，考查的知识点有等边三角形的判定与性质、圆周角定理、旋转的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大．
6．（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）在中（线段，，为定长），为线段上一动点，作，，的平分线，，，直线，交于点，点为直线上一点，且，当点移动到线段中点时，，，，，则当点从点向点的运动过程中，取最小值时， ．
【答案】
【分析】过点作于点，根据当点移动到线段中点时，，，，得出的长，根据题意，作出图形，得出取得最小值，点与点重合，即可求解．
【详解】解：如图：过点作于点，
∵点移动到线段中点时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵直线，交于点，
∴是的内心，
∴，
∵，
即，
∴是的平分线，
∴分别为的内心，
如图所示，过点,分别作的垂线，垂足分别为，设，与交于点，
∴的面积等于（为三角形的铅垂高，水平宽乘以铅锤高的一半）
当与最小时，的面积取得最小值，
∵，
观察图形，当点从点向点的运动过程中，
当时，最小，
此时，即，如图所示，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形内心的相关问题，根据题意作出图形是解题的关键．
7．（2023春·广东广州·九年级专题练习）如图，在边长为的正方形中，P是边上一动点（不与点A，B重合），连接，过点B作交的延长线于点M，连接，过点A作交于点N，连接，，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】点N在正方形内部，所以，由可得点M在以中点为圆心，长为半径的圆上，先证明，然后求最大面积即可求出的最小面积．
【详解】∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴当面积最大时，面积最小，
∵，
∴点M在以中点为圆心，长为半径的圆上，
当面积最大时，，如图，
∵点O为中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理及用勾股定理解三角形等知识点，将求的最小面积转化为求最大面积并找出M点运动轨迹是解题关键．
8．（2023·河南安阳·统考二模）如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2．

【答案】/
【分析】过点C作于E，由，得当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，由垂径与勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：过点C作于E，
∵，
∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，不规则图形面积，三角形面积，勾股定理，根据图形面积关系，得出点C为优弧的中点时，阴影面积最小是解题的关键．
9．（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，点F是上的动点，将矩形沿折叠，使点A落在点处，连接，，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质可得：，进而可确定点的运动轨迹是以点E为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，由于，故当最小时，的面积最小，因为，故只需要求出即可．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
∴点的运动轨迹是以点E为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，垂足分别为G、H，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴当最小时，的面积最小，
∵，
∴，
∴当点在上时，最小，最小为，
∴面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、圆的基本性质、折叠的性质以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、得出的最小值是解题的关键．
10．（2020春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在等腰中，，，为线段上一点，以为半径作交于点．连接、，线段、、的中点分别为D、M、N．

(1)试探究是什么特殊三角形，说明理由．
(2)将绕点O逆时针方向旋转到如图的位置，其结论是否仍然成立，并证明结论．

(3)设，把绕点O在平面内自由旋转，求的面积y的最大值与最小值的差（用x表示）．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）先利用三角形的中位线定理得出，，再判断出即可得出结论；
（2）先判断出，得出，，利用三角形中位线得出，，再判断出是直角即可得出结论；
（3）先判断出的面积时点的位置，利用三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，
理由：、分别为、的中点，
，且．
同理：，，
，，
．
又，
，，
即为等腰直角三角形；
（2）仍然成立，证明：
由旋转的性质，．
，，
，
，．
、分别为、的中点，
，且．
同理：，，
，
在等腰中，．
，．
，
，
同理：，
．
．
为等腰直角三角形；
（3）如图，设交于点，交延长线于点，
连接，，．
，而，
，同理，，
由题意，，
的最小值为．
同理，最大值为，
的最大值与最小值的差为：．

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的性质，三角形面积公式，判断出是直角是解本题的关键．
11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）问题研究
如图1，是的中线，是边上的高．
(1)当，，时，________．
(2)求证：．
问题解决
(3)某地为打造元宵节灯展景观，需按如下要求设计一批灯展造型．如图2，矩形是造型框架，以顶点为圆心悬挂圆形灯架（），以，为顶点钉两个正方形展板（正方形和正方形），接合点点恰好在上．若，，的半径为，求两个正方形展板面积和的最小值．
【答案】(1)10
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出的长，然后在中利用勾股定理求解即可；
（2）在中，，在中，，整理可得，结合可证结论成立；
（3）取的中点F，连接，由（2）知，，由于为定值，所以当取最小值时，的值最小，则当A，E，F共线时，取得最小值，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，然后可求出的值最小值．
【详解】（1）∵是边上的高
∴
∵，
∴
∵是的中线
∴
∴
在中，，
∴
故答案为：10
（2）∵，，
∴
在中，
在中，
∴
在中，
∴
（3）由已知可得两个正方形的面积和为：
取的中点F，连接
由（2）知，
∵四边形是矩形
∴
∵
∴为定值
∴当取最小值时，的值最小，则当A，E，F共线时，取得最小值
∵
∴
∴的值最小值
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的高，勾股定理，矩形的性质，以及圆的知识，熟练掌握勾股定理和圆的性质是解答本题的关键．
【经典题型五 圆中的周长最值问题】
1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可．
【详解】解：因为是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则

， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，

在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，∠MON=40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作图可知OA=OB=OD=4，∠BOD=∠DOA=20°，即可求出的长度，作D点关于OM的对称点F，连接EF、OF、BF，根据∠FOA=∠DOA=20°，OF=OD=OB，ED=EF，得到∠BOF=60°，得到△OBF是等边三角形，则有BE+DE=BE+EF的最小值为BF=4（B、E、F三点在同一直线上），则问题得解．
【详解】作D点关于OM的对称点F，连接EF、OF、BF，如图所示：
根据题条件可知，∠BOD=∠DOA=20°，
∴，
∵D、F关于OM对称，
∴∠FOA=∠DOA=20°，OF=OD=OB，ED=EF，
∴∠BOF=60°，
∴△OBF是等边三角形，BF=OB=4，
∵DE=EF，
∴BE+DE=BE+EF，
∵的长度为定值，
∴要想求阴影部分的周长最小即求BE+DE的最小值，
又∵BE+DE=BE+EF，
∴要求BE+EF的最小值，
由图可知当B、E、F三点在同一直线上时，BE+EF=BF，此时有最小值，
∵△OBF是等边三角形，BF=OB=4，
∴BE+EF=BF=4此时最小，
∴阴影部分的周长最小值为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：求出EB+ED的最小值为解答问题的关键，可考查了轴对称的性质和最短路线问题．
3．（2022·广西河池·统考二模）如图，AB是的直径，AB＝10，点M在上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】由题意作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK．证明△ONK是等边三角形，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK．
则∠MAB=∠KAB=20°，
∵OA=OM=OK=5，
∴∠AMO-∠OAM=∠OAK=∠OKA=20°，
∴∠MOB=∠A+∠OMA=40°，∠BOK=∠OAK+∠OKA=40°，
∵，
∴∠MON=∠NOB=20°，
∴∠KON=60°，
∵ON=OK，
∴△NKO是等边三角形，
∴NK=ON=5，
∵M，K关于AB对称，
∴PM=PK，
∴PN+PM=PN+PK≥NK=5，
∴PM+PN的最小值为5，
∴△PMN的周长的最小值=PM+PN+MN=5+2=7.
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，最短问题，等边三角形的判定，轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换解决最短问题．
4．（2021秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【详解】解：连接AC，
⊙O的面积为6π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，BD⊥AC，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
∴CA′⊥AC，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝5，
则△AMN的周长的最小值为5+1＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
5．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形内接干圆，线段在对角线BD上运动，若圆O的面积为，，周长的最小值是 ．

【答案】4
【分析】由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解．
【详解】解：的面积为，则圆的半径为，，
由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，
过点C作，且使，
连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，

理由：，且，则四边形为平行四边形，
则，
故的周长为最小，
正方形中，
，
，
则的周长的最小值为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是解题的关键．
【经典题型六 圆中的旋转最值问题】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，三角形，三角形均为边长为4的等边三角形，点是、的中点，直线、相交于点，三角形绕点旋转时，线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先证明，判定出点在以为直径的圆上运动，当运动到时，最短来解决问题．
【详解】解：如图，连接、、，，
，
，，
，
，
、是等边三角形，是、的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，
当时，且、在的同侧时，最短，
，
，，
的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识等，解题的关键是证明，判定出在以为直径的圆上运动．
2．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接，点M为的中点，点N为的中点连接，则线段的最大值是（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】D
【分析】点F在以B为圆心，以2为半径的圆上运动，根据直径是圆中最大的弦，得到当A、B、F三点共线时，AF最大，根据三角形中位线定理，得到MN=，MN的最值与AF的最值一致，计算AF的长即可，即AF=AB+BF．
【详解】根据题意，得点F在以B为圆心，以2为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最大的弦，得到当A、B、F三点共线时，AF最大，
∴ AF=AB+BF，
∵，，
∴，
∴ AF=，
∵点M为的中点，点N为的中点，
∴ MN是△AEF的中位线，
∴ MN==，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键．
3．（2021·山东淄博·统考二模）如图，等边三角形的边长为8，点是的内心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①点也一定是的外心；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对① 进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积= S△ABC=，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE=OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
【详解】连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵点O是等边△ABC的内心，
∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30∘，
∴∠BOC=120∘，即∠BOE+∠COE=120∘，
而∠DOE=120∘，即∠BOE+∠BOD=120∘，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE，
∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；
∴S△BOD=S△COE，
∴四边形ODBE的面积=S△OBC=S△ABC=，所以③错误；
作OH⊥DE，如图，则DH=EH，
∵∠DOE=120∘，
∴∠ODE=∠OEH=30∘，
∴OH=OE，HE=OH=OE，
∴DE=OE，
∴S△ODE=.OE⋅OE=，
即S△ODE 随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；
∵BD=CE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=，
∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，最短路线问题，旋转的性质等，综合性很强，熟练掌握知识点之间的联系是解答的关键 .
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由轴对称的性质可知，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点在一条直线上时，有最小值．
【详解】解：如图所示：连接．
∵四边形为正方形，
∴．
∵点D与点M关于对称，
∴．
∴点M在以A为圆心，以长为半径的圆上．
如图所示，当点在一条直线上时，有最小值．
∴的最小值1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键．
5．（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为 ．
【答案】/
【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，可得，即点在以为圆心，为半径的圆上，则当点，点，点共线，且时，长度最小, 当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，然后求得最大值与最小值的差即可求解．
【详解】解：，，，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边的中点，
，，
点在以为圆心，为半径的圆上，
如图，当点，点，点共线，且时，长度最小，
，
，
最小值为．
当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，
则最大值为
长度的最大值与最小值的差为
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、圆的基本认识，确定点的轨迹是本题的关键．
6．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，、，以为直径作，射线交于、两点，为弧的中点，为的中点．当射线绕点旋转时，的最小值为 ．
【答案】/
【分析】连接MD，如图，利用垂径定理得到MD⊥EF，则∠ODM=90°，再根据勾股定理得到点D在以A点为圆心，2为半径的圆上，利用点与圆的位置关系可判断当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD=AC-2=．
【详解】解：连接MD，如图，
是的中点，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM=90°，
又，即，
∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，
此时CD=AC-2=．
即CD的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，和都是等边三角形，，，固定，把绕点C旋转任意角度，连接AD，BE，设AD，BE所在的直线交于点O，则在旋转过程中，始终有，且的大小保持不变，这时点O到直线AB的最大距离为 ．
【答案】
【分析】证明△ACD≌△BCE(SAS) ，作△ABC的外接圆⊙M，则当点O与点C重合时，点O到直线AB的距离最大，最大距离为线段CF的长，勾股定理求解即可
【详解】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC = BC, CD = CE，∠BAC =∠ABC =∠ACB =∠DCE，
∴∠ACE＋∠DCE =∠ACE＋∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
则△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD = ∠CBE，
∴∠AOB = ∠ACB，
作△ABC的外接圆⊙M，如图：
则点O在⊙OM上，
作OF⊥AB于点F，
则当点O与点C重合时，点O到直线AB的距离最大，最大距离为线段CF的长，
在Bt△ACF中，
AF = BF = AB=3，
CF =AF =3,
即点O到直线AB的最大距离为3
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，三角形的外心，作出辅助圆是解题的关键．
8．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）四边形和是正方形，直线交于点P．

(1)如图1，点G在边上，判断线段和的数量与位置关系，并证明；
(2)如图2，将正方形绕点A旋转一个锐角．
①（1）中线段和的数量与位置关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形的边长为，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P到直线的最大距离．
【答案】(1)，证明见解析
(2)①成立，理由见解析；②
【分析】（1）证明和全等，可得，即可；
（2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可；②连接交于点O，作于点M，根据正方形的性质可得，再以点O为圆心，的长为半径画圆，可得，从而得到点P在上的一段弧上运动，然后作于点H，的延长线交于点N，可得四边形是矩形，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：，证明如下：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
∵点G在边AB上，
∴点E，A，D三点在同一条直线上，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①成立，理由如下：
如图，设交于点I，则，

∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接交于点O，作于点M，

∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
以点O为圆心，的长为半径画圆，
∵，
∴，
∴点P在上的一段弧上运动，
作于点H，的延长线交于点N，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为，
即点P到直线的最大距离为．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、点与圆的位置关系、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
【经典题型七 圆中的翻折最值问题】
1．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先点是的中点，得，则点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，找到的最小和最大时的点，分别通过勾股定理求解即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
将沿所在直线翻折得到△，
，
点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图），
此时即为最小值，过作，交的延长线于，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
当与重合时，最大，
此时，，
在中，由勾股定理得：
，
当与重合时，不存在，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，圆的定义等知识，发现点的运动路径是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可．
【详解】解：连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，
∵点D是边的中点，
∴,
在Rt△ACD中，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，得点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，可知当点三点共线时，最小．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴ ，
∴点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，
∴当点三点共线时，最小，
连接，设，
∵
∴
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理以及辅助圆，确定当点三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据可知点M在以为直径的上，作点A关于的对称点点，连接交于M，交于点Q，此时的值最小，为的长，然后利用勾股定理求出，进而可得答案．
【详解】解：由折叠可知，，即，
∴点M在以为直径的上，如图，
作点A关于的对称点点，连接交于M，交于点Q，此时的值最小，为的长，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理以及圆外一点到圆上一点的最短距离问题，判断出点M的运动轨迹是解题的关键．
5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ．
【答案】/
【分析】过点M作交延长线于点H，连接，根据菱形的性质和直角三角形的性质，求出，再由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得点在以M为圆心，为半径的圆上，从而得到当点在线段上时，长度有最小值，是解题的关键．
【详解】解：过点M作交延长线于点H，连接，
菱形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以M为圆心，为半径的圆上，
∴当点在线段上时，长度有最小值，
∴长度的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．
6（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是 ．
【答案】8
【分析】先由折叠可知，则可得点在以为圆心，以的长为半径的圆上，然后结合已知条件求出、、的长度，最后求出的长的最小值．
【详解】解：由折叠可知，
∴点在以为圆心，以的长为半径的圆上，如图，连接，交圆于点，此时的长取最小值，
∵，，点为的中点，
∴，，
故答案为：8．
【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，以及构造圆解决线段最值问题．熟练掌握折叠的性质，以及到定点等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，是解题的关键．
【经典题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）】
1．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解．
【详解】解：如图，取点，连接，．
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（当B、P、T三点共线时取等号）
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
3．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作于，作于，如图所示，通过代换，将转化为，得到当与相切时，取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．
【详解】解：作于，作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
当与相切时，取得最大和最小，
①连接，，，如图1所示：
可得：四边形是正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，即；
②连接，，，如图2所示：
可得：四边形是正方形，
，
由上同理可知：在中，，
，
在中，，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
4．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．
【详解】解：延长到，使得，连接，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
又在中，，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
5．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得．
【详解】如图，连接，在上取一点，使得，
，
在△PDM中，PD-PM＜DM，
当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形是正方形
在中，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．
6．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ．
【答案】5
【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．
【详解】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cs∠ACB＝，cs∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，
∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴，
∴DQ+CQ的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，
∴BHAC，
∴BP，
∵，，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴，
∴PDPC，
∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD，
∴PA+PD的最小值为，
即PA的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，
②，
③，
④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由，即可求出结果；
③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
②∵，
∴的最小值为；
③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
④∵，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3）
【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；
（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；
（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝；
②如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝，
AD＝＝，
∴BD+AD＝，
综上所述，BD＋AD的值或；
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，
∵CD＝，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM•CA，
∴＝，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴BD+AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，
最小值．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【经典题型九 圆中最值综合问题】
1．（2023·广东珠海·统考二模）边长为2的等边三角形中，于H，E为线段上一动点，连接．于点F，分别交于点D，G．①当E为中点时，；②；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④的最小值．正确结论是（ ）
A．②③B．②④C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质逐个分析即可．
【详解】①当时结合可得平分，
过作于，
∵E为中点，
∴，
∵
∴不可能平分，
∴，故①错误；
②连接，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴点F的运动轨迹是以中点为圆心，半径为的圆，
∴点E从点B运动到点H，点F经过路径长为，故③错误；
④取中点，连接，，则
∵，
∴
∵
∴的最小值，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是准确处理，属于中考压轴题．
2．（2021秋·重庆九龙坡·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．以下四个结论：①BQ＝QF；②DEF的周长为8；③；④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】通过证明点B、C、F、Q四点共圆，可得∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，可证BQ＝FQ，故①正确；由“SAS”可证△ABN≌△CBF，△BEF≌△BEN，可得EF＝EN，由线段的和差关系可得△DEF的周长为8，故②正确；由题意可得点H在以BC为边的圆上运动，则当点H在AP上时，AH有最小值为2−2，故④正确；通过证明△BQG∽△BFE，可得；故③正确，即可求解．
【详解】∵BQ⊥FQ，
∴∠FQB＝∠BCD＝90°，
∵点B，点C，点F，点Q四点共圆，
∴∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，
∴∠QBF＝∠QFB，
∴BQ＝FQ，故①正确；
如图1，延长DA至N使AN＝CF，连接BN，
∵CF＝AN，∠BAN＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴，
∴BF＝BN，∠ABN＝∠CBF，
∵∠QBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∵∠ABE+∠ABN＝45°，
∴∠EBN＝∠EBF＝45°，
又∵BE＝BE，BF＝BN，
∴，
∴EF＝EN，
∴DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+EN＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝8，故②正确；
∵CH∥FQ，
∴∠BHC＝∠BQF＝90°，
∴点H在以BC为边的圆上运动，
如图2，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH，
∴BP＝2＝HP，
∴AP＝＝＝2，
在AHP中，AH＞AP﹣HP，
∴当点H在AP上时，AH有最小值为2﹣2，故④正确；
如图3，连接EG，
∵∠DAC＝∠QBF＝45°，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴
∴，∠EGB＝90°，
∴EG＝BG，
∴BE＝BG，
∴∠BEG＝∠BFQ＝45°，
∵点E，点F，点G，点Q四点共圆，
∴∠BQG＝∠BFE，∠BGQ＝∠BEF，
∴，
∴＝（）2＝，
∴；故③正确，
故选：D．

图1 图2 图3
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．
（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 ；
（2）如图②，若连结，，分别取、的中点P、Q，连接，M为的中点，则CM的最小值为 ．

【答案】
【分析】（1）如图，连接,则,，勾股定理得，由切线长定理得，设，由勾股定理得 解得，即；
（2）如图，连接、，取的中点H，连接，由中位线性质得，，连接，取的中点I，连接，同理，；易证四边形是平行四边形，得，由中位线性质得，求得；取的中点J，可证四边形是平行四边形，得，确定点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时，最短，即最小值；延长，交于点K，L，求得，由勾股定理得中，，得解最小值．
【详解】（1）如图，连接,则,，

∴，
∵，
∴与弧相切于点B，
∴，
设，则
中，
即 解得，即，
（2）如图，连接、，取的中点H，连接，则，，连接，取的中点I，连接，同理，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵P、Q是、的中点，
∴，
∴，

取的中点J，由，
∴四边形是平行四边形，
∴，即点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，
∴当C，M，J三点共线时，最短，即最小值，
延长，交于点K，L，则，
∴点K，点L分别是的中点，
∴，，，
∴，，
中，，
∴最小值．
故答案为：2，．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键．
4．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在半径为2的中，是直径，是弧的中点，绕点旋转与的两边分别交于（点与点均不重合），与分别交于两点．

(1)连接，求证：．
(2)连接，试探究；在绕点旋转的过程中，是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由．
(3)连接，试探究：在绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)为定值．且为
(3)的周长存在最小值，最小值为
【分析】（1）根据圆周角定理由是的直径得，由M是的中点得，于是可判断为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用等角的余角相等得，即可证明结论；
（2）根据圆周角定理得到，，则，所以；
（3）易得为等腰直角三角形，则，再由得，所以的周长=，根据垂线段最短得当时，最小，此时，此时的周长存在最小值．
【详解】（1）证明：是的直径，

，
是的中点，
，
，
为等腰直角三角形，
，，，；
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：为定值．且为
，，
，
，
，
，
．
（3）解：的周长有最小值，理由如下：
∵
∴，
为等腰直角三角形，
，
的周长
，
当时，最小，此时，此时的周长的最小值为．
的周长的最小值为．

【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定解决线段相等是解题的关键．