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专题04 二次函数的最值问题专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）
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这是一份专题04 二次函数的最值问题专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版），文件包含专题04二次函数的最值问题专训原卷版docx、专题04二次函数的最值问题专训解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
1．（2023·浙江温州·校联考二模）已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线的解析式求得抛物线开口向下，对称轴为直线根据二次函数的性质可得，即，即可选出最后答案．
【详解】解：函数中，
抛物线开口方向向下，对称轴直线为，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
当时，，取到最大值，
，即，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，找到对称轴确定二次函数的最值是解答本题的关键．
2．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知函数，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（ ）
A．1B．4C．7D．10
【答案】C
【分析】根据，结合，当时，取得最小值是，判定；，得到，确定，判定即可．
【详解】∵，，
∴当时，取得最小值是，
∴；
∵，
解得，，
当时，取得最大值是8，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的最值，正确理解最值的意义是解题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考一模）已知抛物线，该抛物线经过平移得到新抛物线，新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，若点，在抛物线的图象上，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设平移后解析式为，由新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间得，由点，在抛物线的图象上可得，，最后表示出的长度求范围即可．
【详解】∵抛物线，该抛物线经过平移得到新抛物线，
∴平移后解析式为，
∵新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，
∴，
∵点，在抛物线的图象上
∴，，
∴，
∴当时，最小，
当或时，最大，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和二次函数的平移，表示出是解题的关键．
4．（2022秋·浙江丽水·九年级期末）已知，且，令，则函数S的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出与的关系式，然后将二次函数化成顶点式，根据二次函数的最值即可解答．
【详解】解：，
，
当时，有最小值，等于，
，
当时，有最大值，等于1，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的最值，求出与的关系式，并将二次函数化成顶点式是解题的关键．
5．（2023春·浙江·九年级开学考试）若函数在x的一定取值范围内有最大值为0，最小值为，满足条件的x的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，求出当时，y有最小值；进一步求出当时，，由此即可得到答案．
【详解】解：设，
∴，
∴当时，即时，y有最小值；
当时，
∴，
解得（负值舍去），
∴当时，，
∵，
∴当时，t随x增大而减小，当时，t随x增大而增大，
∴若函数在x的一定取值范围内有最大值为0，最小值为，满足条件的x的取值范围是，
∴当可以满足题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确求出当时，y有最小值；求出当时，是解题的关键．
6．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．0或1B．0或4C．1或4D．0或1或4
【答案】B
【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性可进行求解．
【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，开口向上；
∵当时，
∴当时，y有最小值1，即，所以；
当时，二次函数在上y随x的增大而增大，即当时，有最小值；则有，方程无解；
当时，二次函数在上y随x的增大而减小，即当时，有最小值；则有，解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：a的值为0或4；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．（2023·浙江金华·校联考二模）在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b是实数，）的最小值分别为m和n，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则，
【答案】B
【分析】分别求出，，由题意可得，且，即可得，从而求出．
【详解】解：函数和函数的最小值分别为和，
，，
当，
，
，
或，
函数和函数都有最小值，
，
，
，．
同理判断及其他选项，可知其他选项都不正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数对称轴、最大（小）值的求法是解题的关键．
8．（2023秋·浙江绍兴·九年级校考期末）如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图作交的延长线于，于，交于．则．设由，推出，在中，勾股定理求得，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图作交的延长线于，于，交于．则．设
，
，，
，
，
，
，
在中，
时，有最大值，最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．
9．（2022·浙江金华·统考二模）已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解二次函数（、是常数，）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴，
∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1，
∵当时，函数的最小值为，最大值为1，
∴令，则，
解得：，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
10．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）二次函数的最小值是______，最大值是______．
【答案】 1
【分析】根据二次函数图像与性质，在范围内求出最值即可得到答案．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
，
当时，，即二次函数的最小值是；
到的距离为；到的距离为，
当时，代入得，即二次函数的最大值是；
时，函数的最小值为，最大值为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数最值求法是解决问题的关键．
12．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）已知当时，二次函数的函数值y大于0，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】首先得到二次函数开口向上,对称轴为，然后根据二次函数的性质和，分，和在区间三种情况讨论，分别列出不等式求解即可．
将代入函数的解析式，令即可求得的取值范围．
【详解】解：二次函数的图象是一条开口向上的抛物线，
①当抛物线的对称轴时，即，
要使二次函数解析式的值时恒大于0，只要，，
解得：，
∴；
②当抛物线的对称轴时，即时，
要使二次函数解析式的值时恒大于0，只要即可；
③当抛物线的对称轴在区间时，
，，
，
综上所述：的取值范围是：．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质和二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（2022秋·九年级统考期中）如图，利用的墙角修建一个四边形的花坛，使得，，如果新建围墙折线总长15米，那么当_______米时，花坛的面积会达到最大．
【答案】5
【分析】过点A作于E，则四边形为矩形，再证明是等腰直角三角形，得出，则，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
【详解】解：如图：
过点A作于E，则四边形为矩形，，
则，
设，
在中，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴梯形面积
，
，
∵， 抛物线开口向下，
∴S有最大值，
∴当时， ．
也就是当CD长为时，才能使储料场的面积最大，
故答案为：5．
【点睛】此题考查二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，进一步利用函数的性质解决问题．
14．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知函数(为常数)，当时，随的增大而增大，是该函数图象上的两点，对任意的和，总满足，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由时，随的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，时，；根据，建立不等式，并求出的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：有题意可得，抛物线开口向上，
∵当时，随的增大而增大，
∴对称轴，即；
∵，
∴当时，时，；时，，
∵，
∴，
解得，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质及二次函数最值问题，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．
15．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知抛物线与直线l交于点，（）．若点 在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为_________．
【答案】
【分析】先求出点和点的坐标，确定直线l的函数表达式，配合二次函数的图像求解即可；
【详解】解：分别将 、 代入得：
，解得： ，（舍）
∴，
∴直线l的表达式为：
∴的最小值为：
的取值范围为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图像与表达式的关系；熟练配合函数图像将复杂问题直观化是解决问题的关键．
16．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为______．
【答案】1
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求得，，再利用配方法和二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过，
∴，则，
∴，
∵二次函数的图象经过，
∴，即，且，
∴
∵，，
∴当时，有最小值，最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，理解题意，熟练掌握利用二次函数的性质求解最值是解答的关键．
17．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】先求出，，如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接，则，然后证明当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴；
∵抛物线解析式为，
∴；
如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接，则，
∴，
∴，
∴当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为是解题的关键．
18．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数.
（1）当时，二次函数的最小值为________；
（2）当时，二次函数的最小值为1，则________.
【答案】 或
【分析】（1）将代入，再把解析式为变形为顶点式，即可求得二次函数最小值；
（2）先求抛物线的对称轴为：，分三种情况：当时，即时，此时在对称轴的右侧，当时，即时，此时对称轴在内，③当时，即时，此时在对称轴的左侧，分别讨论增减性，找何时取最小值，代入得关于的方程求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
∵，则开口向上，
∴二次函数的最小值为，
故答案为：；
（2）二次函数，则对称轴为：，
分三种情况：
①当时，即时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，，解得：；
②当时，即时，此时对称轴在内，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，，解得：；
∵，
∴，
③当时，即时，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴当时，有最小值，，解得：（舍去）；
综上所述，或；
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数：①当时，抛物线有最小值，当时，；②当时，对称轴右侧，随的增大而增大，对称轴的左侧，随的增大而减小；③如果自变量在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．
19．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考期末）已知抛物线，，是常数，经过点，下列结论：
①：
②关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
③当时，随的增大而减小；
④为任意实数，若，则代数式 的最小值是．
其中正确的是________(填写序号)．
【答案】①②④
【分析】将点代入解析式得出，即可判断①，进而计算，即可判断②，根据题意，得出对称轴为，即可判断③，根据题意求得对称轴进而得出函数的最小值，即可判断④
【详解】解：将点代入，得，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∵，
∵，
∴，故②正确，
∵，则，
∴对称轴为，即对称轴为直线，故③不正确；
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴的最小值为
∴代数式 的最小值是．故④正确，
故正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，且点A在点B的左侧．
（1）点B的坐标为______；
（2）若，且点和在该抛物线上，则，的大小关系是______；
（3）当时，抛物线的最小值为，则a的值为______．
【答案】 ； ； 1或．
【分析】（1）令，解方程即可求解；
（2）根据解析式求得对称轴为，进而根据，抛物线开口向上，点关于对称轴对称的点为，在对称轴的右边，随的增大而增大，即可求解；
（3）分和，分别讨论，得出最小值结合题意，解方程即可求解．
【详解】解：（1）由，令，
解得：，
∵点A在点B的左侧，
∴,，
故答案为：．
（2）由（1）可知对称轴为直线，
∵，抛物线开口向上，且点和在该抛物线上
∴在对称轴的右边，随的增大而增大，
点关于对称轴对称的点为，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）∵抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，当时，最小值为
∵当时，抛物线的最小值为，
∴，
∴，
当时，抛物线开口向下，
∵，
∴当时，离对称轴较远，
∴当时，取得最小值，即，
解得：，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数的最值问题，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2023·四川成都·校考三模）定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点P的相关函数．如果当时，函数关于点的相关函数的最大值为8，则m的值为______．
【答案】或
【分析】先求出该函数顶点坐标，再根据题目所给新定义和旋转的性质，求出其相关函数的表达式，最后根据对称轴的不同位置，进行分类讨论即可．
【详解】解：∵，，
∴该函数顶点坐标为，
设该函数关于点的相关函数顶点坐标为，
∴，，
解得：，，
∴设该函数关于点的相关函数顶点坐标为，
∴设该函数关于点的相关函数为；
①当时，，
∵，开口向下，
∴当时，y有最大值，，
解得：，（舍）；
②当时，时，
当时，y有最大值，，
解得：（舍），（舍），
③当时，，
∵，开口向下，
∴当时，y有最大值，，
解得：（舍），（舍）；
综上：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，解题的关键是根据他题意得出该函数以及其相对函数的顶点坐标连线中点为，根据对称轴的不同位置进行分类讨论．
22．（2023·安徽合肥·统考二模）已知：关于的二次函数，
（1）当时，函数的最大值为______．
（2）若函数的最大值为，则的最小值为______．
【答案】
【分析】（1）将代入解析式，得出二次函数图象开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，则函数的最大值为时，；
（2）根据，先求得当时的的值，进而分，分别求得关于的函数表达式，进而画出函数图象，即可求解．
【详解】（1）当时，，
∵系数为，则二次函数图象开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，函数的最大值为时，，
故答案为：．
（2）
对称轴为，
∵，
①当时，即时，当和时的函数值相等，
抛物线解析式为，
在，当或时，最大值为,
②当时，即，对应的函数值大于对应的函数值，
∴，
③当 时，即，
∴
关于的函数图象，如图所示，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2023·安徽·模拟预测）已知点是抛物线上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______；
（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______．
【答案】 / 0或5/5或0
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于1，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可；
（2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M到y轴的距离不大于1，
∴，
∴此时点M在对称轴的左侧，
∵，
∴在对称轴的左侧随x的增大而减小，
∴当时，b取最大值，且最大值为，
当时，b取最小值，且最小值为，
∴b的取值范围是；
故答案为：；
（2）∵点到直线的距离不大于，
∴，即，
∴，
令，代入，即，解得：，，
令，代入，即，解得：，，
∴点M应为或上的动点，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为0或5；
故答案为：0或5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
24．（2023·四川成都·模拟预测）已知平面直角坐标系中，抛物线经过点，且．若点，均在该抛物线上，且，则最大值为________．
【答案】11
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，找出对称轴，再根据，关于对称轴对称得出，将其代入，得到关于的函数解析式，再化成顶点式，根据的取值范围，结合函数图象即可求出的最大值．
【详解】解：∵抛物线经过点，且，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵点，均在该抛物线上，且，
∴点，关于直线对称，在对称轴左侧，在对称轴右侧，
∴，，，
∴，其中，
∴，其中，
∵的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，的值随x的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为．
故答案为：11．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及将一般式转化为顶点式，求对称轴，求最值等知识点，解题的关键是利用点，对称，得到．
25．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校联考二模）抛物线（m，n为常数）的对称轴为直线，且经过点
(1)请求出m和n的值并写出抛物线的解析式；
(2)若存在实数，当时，恰好有，请求出a，b的值．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据抛物线的对称轴可求出的值，再将点代入可得的值，由此即可得抛物线的解析式；
（2）先求出二次函数的最小值，从而可得，再根据二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
抛物线经过点，
，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，
，
当时，恰好有，
，即，
，
由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
则当时，取最大值，最大值为，
当时，取最小值，最小值为，
当时，恰好有，
，即，
是方程的两个根，
解方程得：或或，
又，
，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
26．（2023·河南南阳·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，已知点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的最大值与最小值；
(3)点是抛物线上一动点，且到轴的距离小于3，请直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)的最大值为0，最小值为
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）将抛物线转化为顶点式，即可求出的最小值，再根据自变量的取值范围即可求出的最大值．
（3）根据题意列出有关的不等式组，解出不等式的解集即可求出答案．
【详解】（1）解：抛物线经过点、
，解得，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
（2）解：
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
，
当时，，
当时， ，
当时，，
的最大值为0，最小值为．
故答案为：的最大值为0，最小值为．
（3）解：点是抛物线上一动点，且到轴的距离小于3，
．
当时，解得或．
当时，令，则，
．
，
，
到轴距离大于3，
点在的左边或在的右边．
综合①和②可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值以及二次函数与一元一次不等式组．解题的关键在于熟练掌握待定系数法和巧妙观察图形利用图像性质解出答案．
27．（2023·浙江舟山·统考三模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)若时，，则d的取值范围是______．
(3)点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，得出函数的最小值为，把代入求出，，根据时，，得出时，函数能够取到最小值，从而得出d的取值范围；
（3）分情况讨论，当点P在顶点的右侧，即时，当点P在顶点与点A之间，即时，当点P在点A的左侧，即时，分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：把点，点B，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴的最小值为，
把代入得，
解得：，，
∵时，，
∴时，函数能够取到最小值，
∴；
故答案为：．
（3）解：当点P在顶点的右侧，即时，
此时函数能够取到最小值，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为，
把代入得，，
解得：或（舍去）；
当点P在顶点与点A之间时，即，图象G的最大值和最小值差不可能是5；
当点P在点A的左侧，即时，
此时函数的最小值为0，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为，
把代入得，，
解得：或（舍去）；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
28．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）夏季即将到来，为满足大众需要，雪糕店推出了新款盒装雪糕（分A、B两种，不可拆开售卖）共50盒，两款雪糕的成本均为15元/盒，假设购进的所有雪糕均全部售出，且两款雪糕的销量均为正整数．
设A雪糕销售单价为x元（，x为整数），所获总利润为y（单位：元），已知当销售单价时，A雪糕的销量为40盒，在此基础之上，x每增加1元，销量就会减少2盒．B雪糕的销售单价恒为30元，设卖出B雪糕所获总利润s（单位：元）
(1)用含x的代数式表示下列各量：
①卖出A雪糕所获利润___________；
②卖出B雪糕所获利润___________．
(2)在此次销售中，雪糕店所获总利润为w（单位：元），则当x为多少时w有最大值，并求出该最大值，
(3)每售出一盒B型雪糕，雪糕店的老板就向希望工程捐出a元（），若总利润的最大值为722元，求a的值．
【答案】(1)①；②；
(2)时，w有最大值，最大值为800元
(3)
【分析】（1）①根据A雪糕销售单价为x元，当时，其销量为40盒，且x每增加1元，销量就会减少2盒，写出A雪糕的销量，再根据A，B雪糕共50盒，写出B雪糕的销量；根据每盒雪糕的利润×销量雪糕利润理出函数解析式并根据题意写出x的取值范围；②根据每盒雪糕的利润×销量=B雪糕利润写出函数解析式即可；
（2）根据雪糕店所获总利润两种雪糕利润之和列出函数关系式，根据函数的性质求函数最值即可；
（3）根据题意列出函数解析式，再根据总利润的最大值722列出方程，求出a的值．
【详解】（1）解：①A雪糕销售单价为x元，当时，其销量为40盒，且x每增加1元，销量就会减少2盒，
雪糕的实际销量为盒，
B雪糕的实际销量为盒，
∴，
，
且x为整数，
即卖出A雪糕所获利润为（且x为整数），
故答案为：（且x为整数）；
②由题意得，
即卖出B雪糕所获利润为（且x为整数），
故答案为：（且x为整数）：
（2）由题意可得：，
整理得（且x为整数），
则w是x的二次函数，其对称轴为直线，
，
该函数图象的开口向下，
且x为整数，
∴当时，w有最大值，最大值为，
即当时，w有最大值，最大值为800元；
（3）设捐款后的实际利润为m元
则
整理得（且x为整数），
则m是x的二次函数，其对称轴为直线，
，
，
，
该函数图象的开口向下，
且x为整数，
当时，m有最大值，
即，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列出函数解析式．
29．（2023·湖北咸宁·统考二模）2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个．
(1)直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8960元？
(3)网店为响应“助力竐情防控，回馈社会，共渡难关”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，则的值是多少？
【答案】(1)，其中
(2)当销售单价为58元时，网店每日销售利润为8960元
(3)3
【分析】（1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可；
（2）根据每日销售利润为8960元，列出方程，解方程即可；
（3）设每天扣除捐赠后可以获得利润为元，得出，求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，，得出，求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，
∴，
∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元，
∴，
∴．
即，其中．
（2）解：由题意得：，
整理得，
解得：，
，
，
答：当销售单价为58元时，网店每日销售利润为8960元．
（3）解：设每天扣除捐赠后可以获得利润为元，
则，
，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线，
，
，
当时随的增大而增大，
时，，
即：，
解得：，
∴m的值为3．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出关系式或方程．
30．（2023·天津河北·统考二模）已知抛物线（为常数），抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为．
(1)当时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)若点是抛物线在第一象限内的点，有一点，当时，求的值；
(3)在（1）的条件下，连接，点是第一象限内的抛物线上的一动点，过点作于点，连接，当最大时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，由求出，即可求出抛物线的解析式，化为顶点式即可求解；
（2）将点代入解析式得，根据已知可得点，再根据坐标系两点距离公式列方程即可求解；
（3）过点作轴，垂足为点，交于，得，故当取最大值时，最大，设点坐标为横坐标为，得，根据二次函数最值求出点Q坐标即可解答．
【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，即．
当，则，故抛物线的表达式为，
故抛物线的顶点坐标为；
（2）∵点是抛物线在第一象限内的点，
∴，
由（1）得，
∴点坐标为：，
又∵、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
（3）解：如图，过点作轴，垂足为点，交于，
由抛物线解析式为可得：
点、，
∴，直线解析式为，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故当取最大值时，最大，
设点坐标为横坐标为，则点坐标为，点坐标为，
∴
∴当，取最大值，，此时点坐标为，
∴
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
31．（2023·广东广州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，交x轴于点和点，过点A作轴交抛物线于点D．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线上，求的面积；
(3)若点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点P的坐标和的最大面积．
【答案】(1)
(2)20
(3)当时，S取得最大值，点P的坐标是
【分析】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（2）根据题意可以求得的长和点E到的距离，从而可以求得的面积；
（3）根据题意可以求得直线的函数解析式，再根据题意可以求得的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点A，交x轴于点和点，
∴，得，
∴此抛物线的表达式是；
（2）解：∵抛物线交y轴于点A，
∴点A的坐标为，
∵轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线上，
∴点E的纵坐标是5，点E到的距离是10，
当时，，得或，
∴点D的坐标为，
∴，
∴的面积是；
（3）解：设点P的坐标为，
设过点，点的直线的函数解析式为，
，得，
即直线的函数解析式为，
当，，
∵，
∴的面积是，
∵点P是直线下方的抛物线上一动点，
∴，又，
∴当时，S取得最大值，此时点P的坐标是
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、对称性质、坐标与图形等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键．
32．（2023春·广东·九年级统考学业考试）已知一次函数与轴交于点，且过点，回答下列问题．
(1)求该一次函数解析式；
(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程，如解析式我们只需要将向右移项就可以得到，将前的系数替代为未知数A，将前的系数1替代为未知数，将常数项替代为未知数，即可得到方程，该二元一次方程也称为直线的一般方程（其中A一般为非负整数，且）．一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：
点到直线的距离公式是：
如：求：点到直线的距离．
解：先将该解析式整理为一般方程：
（I）移项
（II）将A化为非负整数即得一般式方程：
由点到直线的距离公式，得
①根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离．
已知（1）中的解析式代表的直线与直线平行，试求这两条直线间距离；
②已知一动点（为未知实数），记为点P到直线的距离（点P不在该直线上），求的最小值．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出该一次函数解析式；
（2）根据平行线间距离处处相等可知，点A到直线的距离即为两条平行线间距离，再利用点到直线的距离公式，即可求出这两条直线间距离；
（3）利用点到直线的距离公式，得到，令，利用二次函数的性质，求得最小值，进而即可求出的最小值．
【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，且过点，
则，解得：，
该一次函数解析式为；
（2）解：①一次函数解析式为，
整理得：，
点在直线，
点A到直线的距离即为两条平行线间距离，
将点代入距离公式，得：，
这两条直线间距离为；
②将点代入距离公式，得：，
令，
当时，有最小值为，
的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，读懂题意，掌握点到直线的距离公式是解题关键．
33．（2023·江苏南京·校考二模）定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
(1)当时，下列函数有界的是________（只要填序号）；
①；②；③；④．
(2)当时，一次函数的界值不大于2，求的取值范围；
(3)当时，二次函数的界值为，求的值．
【答案】(1)①③④
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；
（2）由函数在时的界值不大于2，①当时，随的增大而增大，②当时，随的增大而减小，根据列出不等式，解不等式即可求解；
（3）①当时，，此时，当时，取最大值，当时，取最小值，②当时，，③当时，，，，根据题意，列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：当时，①，存在最大值与最小值；
②，，在时，函数图象不连续，不存在最大值与最小值；
③，存在最大值与最小值；
④，存在最大值与最小值；
故答案为：①③④．
（2）由函数在时的界值不大于2，
，
①当时，随的增大而增大，
时，时，，
，
．
②当时，随的增大而减小，
时，时，，
，
．
综上所述，的取值范围为或．
（3），
当时，，
当时，，
当时，，
①当时，，
此时，当时，取最大值，当时，取最小值，
，，
，解得（舍去）．
②当时，，
Ⅰ．当时，，
，解得或（舍）．
Ⅱ．当时，，
，解得或（舍）．
③当时，，，，
，解得（舍去）．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键．
34．（2023·山东聊城·统考三模）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点P为抛物线上的动点．
(1)求b，c的值；
(2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值；
(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)b=2，c=3
(2)PH取得最大值为
(3)存在，或
【分析】（1）将坐标代入解析式，构建方程求解；
（2）设交y轴于点M，，则；待定系数法确定直线的解析式为，从而确定，解得最大值为；
（3）如图，设与交于点G，可设直线的解析式为，设点，求得；联立，解得，所以点P的横坐标为，纵坐标为，由二次函数解析式构建方程，解得；
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，解得：，
∴b=2，c=3；
（2）设交y轴于点M，，
∴，
∵轴，∴点H的纵坐标为，
设直线AC的解析式为，∴，解得：，
∴直线的解析式为．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为
（3）存在点N，使直线垂直平分线段，点N的纵坐标为或
如图，设与交于点G，
∵垂直平分，直线的解析式为
∴可设直线的解析式为
设点，则
∴，
∴
联立，
解得
∴点P的横坐标为，纵坐标为
∴，解得
∴点N的纵坐标为或．
【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．
35．（2023·广东广州·广东实验中学校考二模）平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点．
(1)时，过点作直线垂直于轴，与抛物线的另一个交点记为点．求的长；
(2)拋物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，顶点在上，的顶点横坐标为，且解析式记为．
①与直线l交于点、两点，若，求的范围；
②若，当抛物线与抛物线的交点始终在定直线（为常数）上时，求此时的最小值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）当时，抛物线，由题意知，过点作直线垂直于轴，即直线与抛物线的另一个交点记为点，得到，即，解得或，即可求出；
（2）①由（1）知过点作直线垂直于轴，即直线，再由题意可得解析式，根据与直线l交于点、两点，得到，从而由列出不等式，求解即可得到答案；②根据题意，联立，求出抛物线与抛物线的交点横坐标为，从而由，根据二次函数最值求法，将其化为顶点式，得到当时，有最小值，为；进而由变形为，将化为，即可知当时，有最小值的最小值为，进而求出答案．
【详解】（1）解：当时，抛物线，
抛物线与轴交于点，
当时，，即，
过点作直线垂直于轴，即直线与抛物线的另一个交点记为点，
当时，，即，解得或，
，即；
（2）解：拋物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，
两个抛物线表达式中相同为，
顶点在上，的顶点横坐标为，
的顶点坐标为，即解析式，
①与直线l交于点、两点，
当时，，解得或，当，即时才能满足题意，
，
，
，解得，
综上所述，若，的范围；
②，，
联立方程得，当抛物线与抛物线的有交点时，得①②得，
由可知，
抛物线与抛物线的交点横坐标为，
抛物线与抛物线的交点始终在定直线（为常数）上，
，
，
，
当时，有最小值，为，
，即，
，
当时，有最小值的最小值为，
即的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数最值、二次函数交点问题等，综合性较强，熟练掌握二次函数的图像与性质，根据题意灵活运用恒等变形是解决问题的关键．
36．（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为．
(1)求m的值及AC的长；
(2)求的长；
(3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的最大值及此时Q点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）用待定系数法求得与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得的坐标，根据对称性质求得，的坐标，即可求得结果；
（2）将抛物线的解析式与直线的解析式联立方程组进行求解，得到，的坐标，即可求得结果；
（3）设，则，可得，即求的最值，根据二次函数的最值，即可得到的值，即可求得．
【详解】（1）把代入得
解得
∴抛物线的解析式为：
∴
根据对称性可得
，
∴
（2）联立
解得或
∴，
∴
（3）设，则
∴
整理得
∵
∴当时，即时，有最大值为
∴的最大值为
∴
故
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线对称的点坐标的关系．
37．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知二次函数（m为常数）．
(1)求该二次函数的对称轴（用含m的代数式表示）；
(2)若，当时，y的最小值为5．求m的值；
(3)若对满足的任意实数x，都使得成立，求此时m的取值 范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用对称轴公式求解；
（2）由题意得：当时，在时，取得的最小时是5，进而求解；
（3）分类讨论，函数图像与轴有一个交点和没有交点时，的任意实数x，都使得成立；若函数图像与轴有两个交点，则需满足两交点的横坐标均不大于1，列出不等式即可求m的取值 范围．
【详解】（1）解：，
，，，
抛物线的对称轴为直线；
（2）抛物线的对称轴为直线，且，
当时，随的增大而减小，
当时，函数值取得的最小值是5，
即当时，，
解得：；
（3）①二次函数的图像开口向上，
当二次函数的图像与轴没有交点或只有1个交点时，总有成立（如图1），
此时，即，
即，
解得；
②当二次函数的图像与轴有2个交点时，
，可得或，
设此时两交点为，，
则，，
要使的任意实数，都有，需，，
即，（如图2），
且，
即
代入得
解得：，
此时，
综上，对满足的任意实数，都使得成立，则．
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与轴的交点，涉及二次函数的性质、解不等式、根和系数的关系等知识，解题的关键是数形结合，分类列不等式解决问题．
38．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为，，顶点为D的拋物线交y轴于点C．
(1)如图，若时．
①直接写出抛物线的解析式、直线的解析式，求出点C，D的坐标；
②当时，y的最大值为3，求m的值；
(2)当抛物线与线段有两个交点时，求a的取值范围．
【答案】(1)①，，，；②或
(2)且
【分析】（1）①把代入抛物线解析式，可得点D的坐标，直线的解析式为，再把点A，B的坐标代入，即可求解；②分四种情况讨论，求解即可．
（2）利用抛物线与直线的交点的求法进行解答．
【详解】（1）解：①当时，
抛物线的解析式为：，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点；
②由①得：抛物线对称轴为直线，
当，即时，
当时，y的最大值为3，
此时，
解得，或（舍去）；
当时，有两种情况：
当时，，函数值最大，，
此时，则，
解得，（舍去）；
当时，，函数值最大，，
此时，则 ，
解得，，（舍去）；
当，即时，时，y的最大值为3，
，
解得（舍去），
∴m的值为或．
（2）解：抛物线，
∴，即抛物线的对称轴为直线．
当时，把代入中，得，
∴当时，抛物线与线段不可能存在两个交点．
当时，抛物线与线段有一个交点时，得：，
整理得，，
，解得：，
把代入得，，解得，
∵当时，a的值越小，抛物线的开口越小，
∴当抛物线与线段有两个交点时，a的取值范围是且．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到抛物线最值的确定、面积的计算等知识点，其中（1）②，要考虑x与抛物线对称轴的可能的位置关系，这是此类题目的一般求解方法．
39．（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，顶点坐标为．
(1)若函数图像关于直线对称，求函数的表达式；
(2)求的最大值；
(3)是否存在实数a，使得当时，二次函数的最大值为最小值的3倍，若存在，求出a：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当或
【分析】（1）利用对称轴公式求出，即可得解析式；
（2）利用顶点公式用含的二次表达式表示，再使用配方法求出最大值；
（3）根据顶点及两端点的相对左右位置，得到大小关系，得到最大值和最小值，计算得出的值，验核大小做出取舍，最后留下符合条件的．
【详解】（1）由题意得，
，
函数解析式为；
（2）当时，
，
，
的最大值为；
（3）对称轴为直线，开口向上，
①当时，
在时，y取最小值为，
在时，y取最大值为，
，
解得，又，故舍去；
②当时，
在时，y取最小值为，
在时，y取最大值为，
，得（舍去），（可取）；
③当时，
同理 ，
得（舍去），（可取）；
④当时，
同理，
得（舍去），
综上，当或．
【点睛】本题考查二次函数代数综合题，考查了含参函数顶点最大值，在自变量有范围条件下函数最值问题．通常计算二次代数式最值，可将代数式看成二次函数或配方，求其最值．二次函数范围最值问题中，通常先计算可明确的开口和对称轴，画图标出左右高低位置，再找出最值位置，若无法确定，则可分类讨论计算，再验证是否可取．
40．（2023·山东济南·统考三模）如图，已知反比例函数的图象经过点，动点在反比例函数图象上的点和轴之间移动，是轴上一点，连接．
(1)求直线的表达式；
(2)过点作轴交直线于点．
①求出面积的最大值；
②是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线AB的表达式为
(2)①△MBN面积的最大值为；②存在，点N的坐标为或或．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m，进而求出点A的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式；
（2）①根据三角形的面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可；
②分三种情况，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
则点A的坐标为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：①设点N的坐标为，点M的坐标为，
则，
∴
，
∵，
∴面积的最大值为；
②过点N作轴于点H，
当时，点H为的中点．
∴点N的纵坐标为，即，
解得：，
此时，点N的坐标为；
当时，，
整理得：，
解得：（舍去），，
则，
此时，点N的坐标为；
当时，，
整理得：，
解得：（舍去），，
则，
此时，点N的坐标为，
综上所述：为等腰三角形时，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用、等腰三角形的性质、二次函数的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
1．（2023·浙江温州·校联考二模）已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线的解析式求得抛物线开口向下，对称轴为直线根据二次函数的性质可得，即，即可选出最后答案．
【详解】解：函数中，
抛物线开口方向向下，对称轴直线为，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
当时，，取到最大值，
，即，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，找到对称轴确定二次函数的最值是解答本题的关键．
2．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知函数，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（ ）
A．1B．4C．7D．10
【答案】C
【分析】根据，结合，当时，取得最小值是，判定；，得到，确定，判定即可．
【详解】∵，，
∴当时，取得最小值是，
∴；
∵，
解得，，
当时，取得最大值是8，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的最值，正确理解最值的意义是解题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考一模）已知抛物线，该抛物线经过平移得到新抛物线，新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，若点，在抛物线的图象上，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设平移后解析式为，由新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间得，由点，在抛物线的图象上可得，，最后表示出的长度求范围即可．
【详解】∵抛物线，该抛物线经过平移得到新抛物线，
∴平移后解析式为，
∵新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，
∴，
∵点，在抛物线的图象上
∴，，
∴，
∴当时，最小，
当或时，最大，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和二次函数的平移，表示出是解题的关键．
4．（2022秋·浙江丽水·九年级期末）已知，且，令，则函数S的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出与的关系式，然后将二次函数化成顶点式，根据二次函数的最值即可解答．
【详解】解：，
，
当时，有最小值，等于，
，
当时，有最大值，等于1，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的最值，求出与的关系式，并将二次函数化成顶点式是解题的关键．
5．（2023春·浙江·九年级开学考试）若函数在x的一定取值范围内有最大值为0，最小值为，满足条件的x的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，求出当时，y有最小值；进一步求出当时，，由此即可得到答案．
【详解】解：设，
∴，
∴当时，即时，y有最小值；
当时，
∴，
解得（负值舍去），
∴当时，，
∵，
∴当时，t随x增大而减小，当时，t随x增大而增大，
∴若函数在x的一定取值范围内有最大值为0，最小值为，满足条件的x的取值范围是，
∴当可以满足题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确求出当时，y有最小值；求出当时，是解题的关键．
6．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．0或1B．0或4C．1或4D．0或1或4
【答案】B
【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性可进行求解．
【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，开口向上；
∵当时，
∴当时，y有最小值1，即，所以；
当时，二次函数在上y随x的增大而增大，即当时，有最小值；则有，方程无解；
当时，二次函数在上y随x的增大而减小，即当时，有最小值；则有，解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：a的值为0或4；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．（2023·浙江金华·校联考二模）在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b是实数，）的最小值分别为m和n，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则，
【答案】B
【分析】分别求出，，由题意可得，且，即可得，从而求出．
【详解】解：函数和函数的最小值分别为和，
，，
当，
，
，
或，
函数和函数都有最小值，
，
，
，．
同理判断及其他选项，可知其他选项都不正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数对称轴、最大（小）值的求法是解题的关键．
8．（2023秋·浙江绍兴·九年级校考期末）如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图作交的延长线于，于，交于．则．设由，推出，在中，勾股定理求得，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图作交的延长线于，于，交于．则．设
，
，，
，
，
，
，
在中，
时，有最大值，最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．
9．（2022·浙江金华·统考二模）已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解二次函数（、是常数，）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴，
∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1，
∵当时，函数的最小值为，最大值为1，
∴令，则，
解得：，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
10．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）二次函数的最小值是______，最大值是______．
【答案】 1
【分析】根据二次函数图像与性质，在范围内求出最值即可得到答案．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
，
当时，，即二次函数的最小值是；
到的距离为；到的距离为，
当时，代入得，即二次函数的最大值是；
时，函数的最小值为，最大值为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数最值求法是解决问题的关键．
12．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）已知当时，二次函数的函数值y大于0，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】首先得到二次函数开口向上,对称轴为，然后根据二次函数的性质和，分，和在区间三种情况讨论，分别列出不等式求解即可．
将代入函数的解析式，令即可求得的取值范围．
【详解】解：二次函数的图象是一条开口向上的抛物线，
①当抛物线的对称轴时，即，
要使二次函数解析式的值时恒大于0，只要，，
解得：，
∴；
②当抛物线的对称轴时，即时，
要使二次函数解析式的值时恒大于0，只要即可；
③当抛物线的对称轴在区间时，
，，
，
综上所述：的取值范围是：．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质和二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（2022秋·九年级统考期中）如图，利用的墙角修建一个四边形的花坛，使得，，如果新建围墙折线总长15米，那么当_______米时，花坛的面积会达到最大．
【答案】5
【分析】过点A作于E，则四边形为矩形，再证明是等腰直角三角形，得出，则，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
【详解】解：如图：
过点A作于E，则四边形为矩形，，
则，
设，
在中，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴梯形面积
，
，
∵， 抛物线开口向下，
∴S有最大值，
∴当时， ．
也就是当CD长为时，才能使储料场的面积最大，
故答案为：5．
【点睛】此题考查二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，进一步利用函数的性质解决问题．
14．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知函数(为常数)，当时，随的增大而增大，是该函数图象上的两点，对任意的和，总满足，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由时，随的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，时，；根据，建立不等式，并求出的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：有题意可得，抛物线开口向上，
∵当时，随的增大而增大，
∴对称轴，即；
∵，
∴当时，时，；时，，
∵，
∴，
解得，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质及二次函数最值问题，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．
15．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知抛物线与直线l交于点，（）．若点 在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为_________．
【答案】
【分析】先求出点和点的坐标，确定直线l的函数表达式，配合二次函数的图像求解即可；
【详解】解：分别将 、 代入得：
，解得： ，（舍）
∴，
∴直线l的表达式为：
∴的最小值为：
的取值范围为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图像与表达式的关系；熟练配合函数图像将复杂问题直观化是解决问题的关键．
16．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为______．
【答案】1
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求得，，再利用配方法和二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过，
∴，则，
∴，
∵二次函数的图象经过，
∴，即，且，
∴
∵，，
∴当时，有最小值，最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，理解题意，熟练掌握利用二次函数的性质求解最值是解答的关键．
17．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】先求出，，如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接，则，然后证明当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴；
∵抛物线解析式为，
∴；
如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接，则，
∴，
∴，
∴当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为是解题的关键．
18．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数.
（1）当时，二次函数的最小值为________；
（2）当时，二次函数的最小值为1，则________.
【答案】 或
【分析】（1）将代入，再把解析式为变形为顶点式，即可求得二次函数最小值；
（2）先求抛物线的对称轴为：，分三种情况：当时，即时，此时在对称轴的右侧，当时，即时，此时对称轴在内，③当时，即时，此时在对称轴的左侧，分别讨论增减性，找何时取最小值，代入得关于的方程求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
∵，则开口向上，
∴二次函数的最小值为，
故答案为：；
（2）二次函数，则对称轴为：，
分三种情况：
①当时，即时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，，解得：；
②当时，即时，此时对称轴在内，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，，解得：；
∵，
∴，
③当时，即时，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴当时，有最小值，，解得：（舍去）；
综上所述，或；
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数：①当时，抛物线有最小值，当时，；②当时，对称轴右侧，随的增大而增大，对称轴的左侧，随的增大而减小；③如果自变量在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．
19．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考期末）已知抛物线，，是常数，经过点，下列结论：
①：
②关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
③当时，随的增大而减小；
④为任意实数，若，则代数式 的最小值是．
其中正确的是________(填写序号)．
【答案】①②④
【分析】将点代入解析式得出，即可判断①，进而计算，即可判断②，根据题意，得出对称轴为，即可判断③，根据题意求得对称轴进而得出函数的最小值，即可判断④
【详解】解：将点代入，得，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∵，
∵，
∴，故②正确，
∵，则，
∴对称轴为，即对称轴为直线，故③不正确；
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴的最小值为
∴代数式 的最小值是．故④正确，
故正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，且点A在点B的左侧．
（1）点B的坐标为______；
（2）若，且点和在该抛物线上，则，的大小关系是______；
（3）当时，抛物线的最小值为，则a的值为______．
【答案】 ； ； 1或．
【分析】（1）令，解方程即可求解；
（2）根据解析式求得对称轴为，进而根据，抛物线开口向上，点关于对称轴对称的点为，在对称轴的右边，随的增大而增大，即可求解；
（3）分和，分别讨论，得出最小值结合题意，解方程即可求解．
【详解】解：（1）由，令，
解得：，
∵点A在点B的左侧，
∴,，
故答案为：．
（2）由（1）可知对称轴为直线，
∵，抛物线开口向上，且点和在该抛物线上
∴在对称轴的右边，随的增大而增大，
点关于对称轴对称的点为，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）∵抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，当时，最小值为
∵当时，抛物线的最小值为，
∴，
∴，
当时，抛物线开口向下，
∵，
∴当时，离对称轴较远，
∴当时，取得最小值，即，
解得：，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数的最值问题，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2023·四川成都·校考三模）定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点P的相关函数．如果当时，函数关于点的相关函数的最大值为8，则m的值为______．
【答案】或
【分析】先求出该函数顶点坐标，再根据题目所给新定义和旋转的性质，求出其相关函数的表达式，最后根据对称轴的不同位置，进行分类讨论即可．
【详解】解：∵，，
∴该函数顶点坐标为，
设该函数关于点的相关函数顶点坐标为，
∴，，
解得：，，
∴设该函数关于点的相关函数顶点坐标为，
∴设该函数关于点的相关函数为；
①当时，，
∵，开口向下，
∴当时，y有最大值，，
解得：，（舍）；
②当时，时，
当时，y有最大值，，
解得：（舍），（舍），
③当时，，
∵，开口向下，
∴当时，y有最大值，，
解得：（舍），（舍）；
综上：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，解题的关键是根据他题意得出该函数以及其相对函数的顶点坐标连线中点为，根据对称轴的不同位置进行分类讨论．
22．（2023·安徽合肥·统考二模）已知：关于的二次函数，
（1）当时，函数的最大值为______．
（2）若函数的最大值为，则的最小值为______．
【答案】
【分析】（1）将代入解析式，得出二次函数图象开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，则函数的最大值为时，；
（2）根据，先求得当时的的值，进而分，分别求得关于的函数表达式，进而画出函数图象，即可求解．
【详解】（1）当时，，
∵系数为，则二次函数图象开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，函数的最大值为时，，
故答案为：．
（2）
对称轴为，
∵，
①当时，即时，当和时的函数值相等，
抛物线解析式为，
在，当或时，最大值为,
②当时，即，对应的函数值大于对应的函数值，
∴，
③当 时，即，
∴
关于的函数图象，如图所示，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2023·安徽·模拟预测）已知点是抛物线上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______；
（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______．
【答案】 / 0或5/5或0
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于1，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可；
（2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M到y轴的距离不大于1，
∴，
∴此时点M在对称轴的左侧，
∵，
∴在对称轴的左侧随x的增大而减小，
∴当时，b取最大值，且最大值为，
当时，b取最小值，且最小值为，
∴b的取值范围是；
故答案为：；
（2）∵点到直线的距离不大于，
∴，即，
∴，
令，代入，即，解得：，，
令，代入，即，解得：，，
∴点M应为或上的动点，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为0或5；
故答案为：0或5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
24．（2023·四川成都·模拟预测）已知平面直角坐标系中，抛物线经过点，且．若点，均在该抛物线上，且，则最大值为________．
【答案】11
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，找出对称轴，再根据，关于对称轴对称得出，将其代入，得到关于的函数解析式，再化成顶点式，根据的取值范围，结合函数图象即可求出的最大值．
【详解】解：∵抛物线经过点，且，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵点，均在该抛物线上，且，
∴点，关于直线对称，在对称轴左侧，在对称轴右侧，
∴，，，
∴，其中，
∴，其中，
∵的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，的值随x的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为．
故答案为：11．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及将一般式转化为顶点式，求对称轴，求最值等知识点，解题的关键是利用点，对称，得到．
25．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校联考二模）抛物线（m，n为常数）的对称轴为直线，且经过点
(1)请求出m和n的值并写出抛物线的解析式；
(2)若存在实数，当时，恰好有，请求出a，b的值．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据抛物线的对称轴可求出的值，再将点代入可得的值，由此即可得抛物线的解析式；
（2）先求出二次函数的最小值，从而可得，再根据二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
抛物线经过点，
，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，
，
当时，恰好有，
，即，
，
由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
则当时，取最大值，最大值为，
当时，取最小值，最小值为，
当时，恰好有，
，即，
是方程的两个根，
解方程得：或或，
又，
，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
26．（2023·河南南阳·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，已知点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的最大值与最小值；
(3)点是抛物线上一动点，且到轴的距离小于3，请直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)的最大值为0，最小值为
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）将抛物线转化为顶点式，即可求出的最小值，再根据自变量的取值范围即可求出的最大值．
（3）根据题意列出有关的不等式组，解出不等式的解集即可求出答案．
【详解】（1）解：抛物线经过点、
，解得，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
（2）解：
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
，
当时，，
当时， ，
当时，，
的最大值为0，最小值为．
故答案为：的最大值为0，最小值为．
（3）解：点是抛物线上一动点，且到轴的距离小于3，
．
当时，解得或．
当时，令，则，
．
，
，
到轴距离大于3，
点在的左边或在的右边．
综合①和②可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值以及二次函数与一元一次不等式组．解题的关键在于熟练掌握待定系数法和巧妙观察图形利用图像性质解出答案．
27．（2023·浙江舟山·统考三模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)若时，，则d的取值范围是______．
(3)点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，得出函数的最小值为，把代入求出，，根据时，，得出时，函数能够取到最小值，从而得出d的取值范围；
（3）分情况讨论，当点P在顶点的右侧，即时，当点P在顶点与点A之间，即时，当点P在点A的左侧，即时，分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：把点，点B，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴的最小值为，
把代入得，
解得：，，
∵时，，
∴时，函数能够取到最小值，
∴；
故答案为：．
（3）解：当点P在顶点的右侧，即时，
此时函数能够取到最小值，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为，
把代入得，，
解得：或（舍去）；
当点P在顶点与点A之间时，即，图象G的最大值和最小值差不可能是5；
当点P在点A的左侧，即时，
此时函数的最小值为0，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为，
把代入得，，
解得：或（舍去）；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
28．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）夏季即将到来，为满足大众需要，雪糕店推出了新款盒装雪糕（分A、B两种，不可拆开售卖）共50盒，两款雪糕的成本均为15元/盒，假设购进的所有雪糕均全部售出，且两款雪糕的销量均为正整数．
设A雪糕销售单价为x元（，x为整数），所获总利润为y（单位：元），已知当销售单价时，A雪糕的销量为40盒，在此基础之上，x每增加1元，销量就会减少2盒．B雪糕的销售单价恒为30元，设卖出B雪糕所获总利润s（单位：元）
(1)用含x的代数式表示下列各量：
①卖出A雪糕所获利润___________；
②卖出B雪糕所获利润___________．
(2)在此次销售中，雪糕店所获总利润为w（单位：元），则当x为多少时w有最大值，并求出该最大值，
(3)每售出一盒B型雪糕，雪糕店的老板就向希望工程捐出a元（），若总利润的最大值为722元，求a的值．
【答案】(1)①；②；
(2)时，w有最大值，最大值为800元
(3)
【分析】（1）①根据A雪糕销售单价为x元，当时，其销量为40盒，且x每增加1元，销量就会减少2盒，写出A雪糕的销量，再根据A，B雪糕共50盒，写出B雪糕的销量；根据每盒雪糕的利润×销量雪糕利润理出函数解析式并根据题意写出x的取值范围；②根据每盒雪糕的利润×销量=B雪糕利润写出函数解析式即可；
（2）根据雪糕店所获总利润两种雪糕利润之和列出函数关系式，根据函数的性质求函数最值即可；
（3）根据题意列出函数解析式，再根据总利润的最大值722列出方程，求出a的值．
【详解】（1）解：①A雪糕销售单价为x元，当时，其销量为40盒，且x每增加1元，销量就会减少2盒，
雪糕的实际销量为盒，
B雪糕的实际销量为盒，
∴，
，
且x为整数，
即卖出A雪糕所获利润为（且x为整数），
故答案为：（且x为整数）；
②由题意得，
即卖出B雪糕所获利润为（且x为整数），
故答案为：（且x为整数）：
（2）由题意可得：，
整理得（且x为整数），
则w是x的二次函数，其对称轴为直线，
，
该函数图象的开口向下，
且x为整数，
∴当时，w有最大值，最大值为，
即当时，w有最大值，最大值为800元；
（3）设捐款后的实际利润为m元
则
整理得（且x为整数），
则m是x的二次函数，其对称轴为直线，
，
，
，
该函数图象的开口向下，
且x为整数，
当时，m有最大值，
即，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列出函数解析式．
29．（2023·湖北咸宁·统考二模）2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个．
(1)直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8960元？
(3)网店为响应“助力竐情防控，回馈社会，共渡难关”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，则的值是多少？
【答案】(1)，其中
(2)当销售单价为58元时，网店每日销售利润为8960元
(3)3
【分析】（1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可；
（2）根据每日销售利润为8960元，列出方程，解方程即可；
（3）设每天扣除捐赠后可以获得利润为元，得出，求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，，得出，求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，
∴，
∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元，
∴，
∴．
即，其中．
（2）解：由题意得：，
整理得，
解得：，
，
，
答：当销售单价为58元时，网店每日销售利润为8960元．
（3）解：设每天扣除捐赠后可以获得利润为元，
则，
，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线，
，
，
当时随的增大而增大，
时，，
即：，
解得：，
∴m的值为3．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出关系式或方程．
30．（2023·天津河北·统考二模）已知抛物线（为常数），抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为．
(1)当时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)若点是抛物线在第一象限内的点，有一点，当时，求的值；
(3)在（1）的条件下，连接，点是第一象限内的抛物线上的一动点，过点作于点，连接，当最大时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，由求出，即可求出抛物线的解析式，化为顶点式即可求解；
（2）将点代入解析式得，根据已知可得点，再根据坐标系两点距离公式列方程即可求解；
（3）过点作轴，垂足为点，交于，得，故当取最大值时，最大，设点坐标为横坐标为，得，根据二次函数最值求出点Q坐标即可解答．
【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，即．
当，则，故抛物线的表达式为，
故抛物线的顶点坐标为；
（2）∵点是抛物线在第一象限内的点，
∴，
由（1）得，
∴点坐标为：，
又∵、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
（3）解：如图，过点作轴，垂足为点，交于，
由抛物线解析式为可得：
点、，
∴，直线解析式为，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故当取最大值时，最大，
设点坐标为横坐标为，则点坐标为，点坐标为，
∴
∴当，取最大值，，此时点坐标为，
∴
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
31．（2023·广东广州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，交x轴于点和点，过点A作轴交抛物线于点D．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线上，求的面积；
(3)若点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点P的坐标和的最大面积．
【答案】(1)
(2)20
(3)当时，S取得最大值，点P的坐标是
【分析】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（2）根据题意可以求得的长和点E到的距离，从而可以求得的面积；
（3）根据题意可以求得直线的函数解析式，再根据题意可以求得的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点A，交x轴于点和点，
∴，得，
∴此抛物线的表达式是；
（2）解：∵抛物线交y轴于点A，
∴点A的坐标为，
∵轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线上，
∴点E的纵坐标是5，点E到的距离是10，
当时，，得或，
∴点D的坐标为，
∴，
∴的面积是；
（3）解：设点P的坐标为，
设过点，点的直线的函数解析式为，
，得，
即直线的函数解析式为，
当，，
∵，
∴的面积是，
∵点P是直线下方的抛物线上一动点，
∴，又，
∴当时，S取得最大值，此时点P的坐标是
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、对称性质、坐标与图形等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键．
32．（2023春·广东·九年级统考学业考试）已知一次函数与轴交于点，且过点，回答下列问题．
(1)求该一次函数解析式；
(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程，如解析式我们只需要将向右移项就可以得到，将前的系数替代为未知数A，将前的系数1替代为未知数，将常数项替代为未知数，即可得到方程，该二元一次方程也称为直线的一般方程（其中A一般为非负整数，且）．一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：
点到直线的距离公式是：
如：求：点到直线的距离．
解：先将该解析式整理为一般方程：
（I）移项
（II）将A化为非负整数即得一般式方程：
由点到直线的距离公式，得
①根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离．
已知（1）中的解析式代表的直线与直线平行，试求这两条直线间距离；
②已知一动点（为未知实数），记为点P到直线的距离（点P不在该直线上），求的最小值．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出该一次函数解析式；
（2）根据平行线间距离处处相等可知，点A到直线的距离即为两条平行线间距离，再利用点到直线的距离公式，即可求出这两条直线间距离；
（3）利用点到直线的距离公式，得到，令，利用二次函数的性质，求得最小值，进而即可求出的最小值．
【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，且过点，
则，解得：，
该一次函数解析式为；
（2）解：①一次函数解析式为，
整理得：，
点在直线，
点A到直线的距离即为两条平行线间距离，
将点代入距离公式，得：，
这两条直线间距离为；
②将点代入距离公式，得：，
令，
当时，有最小值为，
的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，读懂题意，掌握点到直线的距离公式是解题关键．
33．（2023·江苏南京·校考二模）定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
(1)当时，下列函数有界的是________（只要填序号）；
①；②；③；④．
(2)当时，一次函数的界值不大于2，求的取值范围；
(3)当时，二次函数的界值为，求的值．
【答案】(1)①③④
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；
（2）由函数在时的界值不大于2，①当时，随的增大而增大，②当时，随的增大而减小，根据列出不等式，解不等式即可求解；
（3）①当时，，此时，当时，取最大值，当时，取最小值，②当时，，③当时，，，，根据题意，列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：当时，①，存在最大值与最小值；
②，，在时，函数图象不连续，不存在最大值与最小值；
③，存在最大值与最小值；
④，存在最大值与最小值；
故答案为：①③④．
（2）由函数在时的界值不大于2，
，
①当时，随的增大而增大，
时，时，，
，
．
②当时，随的增大而减小，
时，时，，
，
．
综上所述，的取值范围为或．
（3），
当时，，
当时，，
当时，，
①当时，，
此时，当时，取最大值，当时，取最小值，
，，
，解得（舍去）．
②当时，，
Ⅰ．当时，，
，解得或（舍）．
Ⅱ．当时，，
，解得或（舍）．
③当时，，，，
，解得（舍去）．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键．
34．（2023·山东聊城·统考三模）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点P为抛物线上的动点．
(1)求b，c的值；
(2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值；
(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)b=2，c=3
(2)PH取得最大值为
(3)存在，或
【分析】（1）将坐标代入解析式，构建方程求解；
（2）设交y轴于点M，，则；待定系数法确定直线的解析式为，从而确定，解得最大值为；
（3）如图，设与交于点G，可设直线的解析式为，设点，求得；联立，解得，所以点P的横坐标为，纵坐标为，由二次函数解析式构建方程，解得；
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，解得：，
∴b=2，c=3；
（2）设交y轴于点M，，
∴，
∵轴，∴点H的纵坐标为，
设直线AC的解析式为，∴，解得：，
∴直线的解析式为．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为
（3）存在点N，使直线垂直平分线段，点N的纵坐标为或
如图，设与交于点G，
∵垂直平分，直线的解析式为
∴可设直线的解析式为
设点，则
∴，
∴
联立，
解得
∴点P的横坐标为，纵坐标为
∴，解得
∴点N的纵坐标为或．
【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．
35．（2023·广东广州·广东实验中学校考二模）平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点．
(1)时，过点作直线垂直于轴，与抛物线的另一个交点记为点．求的长；
(2)拋物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，顶点在上，的顶点横坐标为，且解析式记为．
①与直线l交于点、两点，若，求的范围；
②若，当抛物线与抛物线的交点始终在定直线（为常数）上时，求此时的最小值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）当时，抛物线，由题意知，过点作直线垂直于轴，即直线与抛物线的另一个交点记为点，得到，即，解得或，即可求出；
（2）①由（1）知过点作直线垂直于轴，即直线，再由题意可得解析式，根据与直线l交于点、两点，得到，从而由列出不等式，求解即可得到答案；②根据题意，联立，求出抛物线与抛物线的交点横坐标为，从而由，根据二次函数最值求法，将其化为顶点式，得到当时，有最小值，为；进而由变形为，将化为，即可知当时，有最小值的最小值为，进而求出答案．
【详解】（1）解：当时，抛物线，
抛物线与轴交于点，
当时，，即，
过点作直线垂直于轴，即直线与抛物线的另一个交点记为点，
当时，，即，解得或，
，即；
（2）解：拋物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，
两个抛物线表达式中相同为，
顶点在上，的顶点横坐标为，
的顶点坐标为，即解析式，
①与直线l交于点、两点，
当时，，解得或，当，即时才能满足题意，
，
，
，解得，
综上所述，若，的范围；
②，，
联立方程得，当抛物线与抛物线的有交点时，得①②得，
由可知，
抛物线与抛物线的交点横坐标为，
抛物线与抛物线的交点始终在定直线（为常数）上，
，
，
，
当时，有最小值，为，
，即，
，
当时，有最小值的最小值为，
即的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数最值、二次函数交点问题等，综合性较强，熟练掌握二次函数的图像与性质，根据题意灵活运用恒等变形是解决问题的关键．
36．（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为．
(1)求m的值及AC的长；
(2)求的长；
(3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的最大值及此时Q点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）用待定系数法求得与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得的坐标，根据对称性质求得，的坐标，即可求得结果；
（2）将抛物线的解析式与直线的解析式联立方程组进行求解，得到，的坐标，即可求得结果；
（3）设，则，可得，即求的最值，根据二次函数的最值，即可得到的值，即可求得．
【详解】（1）把代入得
解得
∴抛物线的解析式为：
∴
根据对称性可得
，
∴
（2）联立
解得或
∴，
∴
（3）设，则
∴
整理得
∵
∴当时，即时，有最大值为
∴的最大值为
∴
故
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线对称的点坐标的关系．
37．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知二次函数（m为常数）．
(1)求该二次函数的对称轴（用含m的代数式表示）；
(2)若，当时，y的最小值为5．求m的值；
(3)若对满足的任意实数x，都使得成立，求此时m的取值 范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用对称轴公式求解；
（2）由题意得：当时，在时，取得的最小时是5，进而求解；
（3）分类讨论，函数图像与轴有一个交点和没有交点时，的任意实数x，都使得成立；若函数图像与轴有两个交点，则需满足两交点的横坐标均不大于1，列出不等式即可求m的取值 范围．
【详解】（1）解：，
，，，
抛物线的对称轴为直线；
（2）抛物线的对称轴为直线，且，
当时，随的增大而减小，
当时，函数值取得的最小值是5，
即当时，，
解得：；
（3）①二次函数的图像开口向上，
当二次函数的图像与轴没有交点或只有1个交点时，总有成立（如图1），
此时，即，
即，
解得；
②当二次函数的图像与轴有2个交点时，
，可得或，
设此时两交点为，，
则，，
要使的任意实数，都有，需，，
即，（如图2），
且，
即
代入得
解得：，
此时，
综上，对满足的任意实数，都使得成立，则．
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与轴的交点，涉及二次函数的性质、解不等式、根和系数的关系等知识，解题的关键是数形结合，分类列不等式解决问题．
38．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为，，顶点为D的拋物线交y轴于点C．
(1)如图，若时．
①直接写出抛物线的解析式、直线的解析式，求出点C，D的坐标；
②当时，y的最大值为3，求m的值；
(2)当抛物线与线段有两个交点时，求a的取值范围．
【答案】(1)①，，，；②或
(2)且
【分析】（1）①把代入抛物线解析式，可得点D的坐标，直线的解析式为，再把点A，B的坐标代入，即可求解；②分四种情况讨论，求解即可．
（2）利用抛物线与直线的交点的求法进行解答．
【详解】（1）解：①当时，
抛物线的解析式为：，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点；
②由①得：抛物线对称轴为直线，
当，即时，
当时，y的最大值为3，
此时，
解得，或（舍去）；
当时，有两种情况：
当时，，函数值最大，，
此时，则，
解得，（舍去）；
当时，，函数值最大，，
此时，则 ，
解得，，（舍去）；
当，即时，时，y的最大值为3，
，
解得（舍去），
∴m的值为或．
（2）解：抛物线，
∴，即抛物线的对称轴为直线．
当时，把代入中，得，
∴当时，抛物线与线段不可能存在两个交点．
当时，抛物线与线段有一个交点时，得：，
整理得，，
，解得：，
把代入得，，解得，
∵当时，a的值越小，抛物线的开口越小，
∴当抛物线与线段有两个交点时，a的取值范围是且．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到抛物线最值的确定、面积的计算等知识点，其中（1）②，要考虑x与抛物线对称轴的可能的位置关系，这是此类题目的一般求解方法．
39．（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，顶点坐标为．
(1)若函数图像关于直线对称，求函数的表达式；
(2)求的最大值；
(3)是否存在实数a，使得当时，二次函数的最大值为最小值的3倍，若存在，求出a：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当或
【分析】（1）利用对称轴公式求出，即可得解析式；
（2）利用顶点公式用含的二次表达式表示，再使用配方法求出最大值；
（3）根据顶点及两端点的相对左右位置，得到大小关系，得到最大值和最小值，计算得出的值，验核大小做出取舍，最后留下符合条件的．
【详解】（1）由题意得，
，
函数解析式为；
（2）当时，
，
，
的最大值为；
（3）对称轴为直线，开口向上，
①当时，
在时，y取最小值为，
在时，y取最大值为，
，
解得，又，故舍去；
②当时，
在时，y取最小值为，
在时，y取最大值为，
，得（舍去），（可取）；
③当时，
同理 ，
得（舍去），（可取）；
④当时，
同理，
得（舍去），
综上，当或．
【点睛】本题考查二次函数代数综合题，考查了含参函数顶点最大值，在自变量有范围条件下函数最值问题．通常计算二次代数式最值，可将代数式看成二次函数或配方，求其最值．二次函数范围最值问题中，通常先计算可明确的开口和对称轴，画图标出左右高低位置，再找出最值位置，若无法确定，则可分类讨论计算，再验证是否可取．
40．（2023·山东济南·统考三模）如图，已知反比例函数的图象经过点，动点在反比例函数图象上的点和轴之间移动，是轴上一点，连接．
(1)求直线的表达式；
(2)过点作轴交直线于点．
①求出面积的最大值；
②是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线AB的表达式为
(2)①△MBN面积的最大值为；②存在，点N的坐标为或或．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m，进而求出点A的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式；
（2）①根据三角形的面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可；
②分三种情况，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
则点A的坐标为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：①设点N的坐标为，点M的坐标为，
则，
∴
，
∵，
∴面积的最大值为；
②过点N作轴于点H，
当时，点H为的中点．
∴点N的纵坐标为，即，
解得：，
此时，点N的坐标为；
当时，，
整理得：，
解得：（舍去），，
则，
此时，点N的坐标为；
当时，，
整理得：，
解得：（舍去），，
则，
此时，点N的坐标为，
综上所述：为等腰三角形时，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用、等腰三角形的性质、二次函数的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
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