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专题01 二次函数的图象与性质重难点题型专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）
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这是一份专题01 二次函数的图象与性质重难点题型专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版），文件包含专题01二次函数的图象与性质重难点题型专训原卷版docx、专题01二次函数的图象与性质重难点题型专训解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共99页， 欢迎下载使用。
题型一 二次函数的图象与各系数之间的关系
题型二 二次函数图象的平移与对称问题
题型三 利用二次函数的性质求自变量的范围
题型四 待定系数法求二次函数的关系式
题型五 根据二次函数的对称性求函数值
题型六 二次函数与x、y轴的交点坐标问题
题型七 利用二次函数的性质求最值
题型八 二次函数的图象与性质的新定义问题
题型九 二次函数的图象与性质综合问题
【知识梳理】
知识点二：二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的性质： 上加下减
的性质： 左加右减
的性质：左加右减，上加下减
一般式：（，，为常数，）；
知识点三：二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.
(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.
(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.
(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.
(5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
(6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
知识点四：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【经典例题一 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例1】（2023·安徽黄山·校考一模）如图，抛物线（a，b，c是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线（k是常数）与抛物线交于x轴上一点．现有下列结论：①；②；③；④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，；⑤若m为任意实数，则．其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【变式训练】
1．（2023·山东日照·校考二模）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023·新疆克拉玛依·统考二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上．①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为．上述五个结论中，其中正确的结论是________（填写序号即可）．
3．（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数（为常数，且）．
（1）若点，在函数图像上，则______ （填“>”、“<”或“=”）；
（2）当时，，则的取值范围是_______．
【经典例题二 二次函数图象的平移与对称问题】
【例2】（2023·安徽合肥·统考三模）已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【变式训练】
1．（2023·山东济南·统考一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广西贵港·统考二模）如图，抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点，抛物线由平移得到，截得轴上的线段长．若过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为______．
3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【经典例题三 利用二次函数的性质求自变量的范围】
【例3】（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【变式训练】
1．（2021秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12B．﹣4≤t≤5C．﹣4＜t≤5D．﹣4≤t≤12
2．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___
3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．
【经典例题四 待定系数法求二次函数的关系式】
【例4】（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）小张用描点法画二次函数（，，是常数，）图象时，部分列表如下：
依据以上信息，判断以下结论中错误的是（ ）
A．图象顶点在第一象限B．点在该图象上，若，则
C．和4是关于的方程的两根D．若恒成立，则
【变式训练】
1．（2022春·浙江湖州·九年级专题练习）如图，将一个含45°的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上．过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点．要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移（ ）
A．5个单位B．6个单位C．7个单位D．8个单位
2．（2023春·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连接，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则________．
3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数（m，n，k为常数且）．
(1)若的图象经过点，求该函数的表达式．
(2)若函数 的图象始终经过同一定点M．
①求点M的坐标和k的值．
②若，当时，总有，求的取值范围．
【经典例题五 根据二次函数的对称性求函数值】
【例5】（2023·广东深圳·统考二模）已知点，在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．当时，二次函数与轴总有两个交点
B．若，且，则
C．若，则
D．当时，的取值范围为
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·浙江·九年级期末）如图，抛物线与轴交于点，（点在的左侧），与轴交于点．点在线段上，点与点关于抛物线对称轴对称，连结并延长交轴于点．若，则点的横坐标为_______．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式．其中．
(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的解析式：
(2)函数，若，为此二次函数图象上的两个不同点．
①若，则，试求的值；
②当，对任意的都有，试求的取值范围．
【经典例题六 二次函数与x、y轴交点坐标问题】
【例6】（2023·陕西西安·校考模拟预测）若抛物线向上平移个单位后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）抛物线与坐标轴的交点个数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为______．
3．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数的图象与y轴的交点为．
(1)求a的值．
(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
(3)对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．
【经典例题七 利用二次函数的性质求最值】
【例7】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）已知抛物线，若时，抛物线上一点满足：当时，，则m的值是（ ）
A．0B．C．0或D．0或4
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知抛物线经过，，三点，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则的值为（ ）
A．B．3C．D．4
2．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的图象上有两点、，满足且这两点在对称轴两侧，当时，的最大值和最小值的差为，则的取值范围是_______.
3．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．
【经典例题八 二次函数的图象与性质的新定义问题】
【例8】（2023·江苏苏州·统考三模）定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线与直线的“完美距离”为（ ）
A．B．3C．D．
【变式训练】
1．（2023·浙江金华·统考二模）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，，．函数的图象如图所示，则方程的根的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·浙江杭州·统考一模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y关于x的函数y＝（kx＋1）⊕（x－1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_______．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）定义：将二次函数在轴下方部分沿轴向上翻折，翻折后部分与原来末翻折部分形成一个新的函数，那么称函数为原二次函数的有趣函数．
(1)二次函数_______________（有/没有）有趣函数．
(2)已知二次函数与轴交于点（1，0），（5，0），与轴交于点，求拋物线的解析式，并在坐标系中画出函数图像．
(3)在（2）的条件下：
①过点作轴的平行线与抛物线交于点，求线段的长度．
②若函数为原二次函数的有趣函数，画出函数的图像并求解当函数的函数值大于2时，自变量的取值范围（直接写出答案）．
【经典例题九 二次函数的图象与性质综合问题】
【例9】（2023·山东济南·统考一模）已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·山东济南·统考二模）如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（ ）
A．6B．C．D．
2．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B、D．若直线与、共有2个不同的交点，则m的取值范围是______．
3．（2023·浙江宁波·校考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标为，且经过．
(1)求b和c的值；
(2)点P是坐标平面内的一动点，将线段绕点P顺时针旋转得，其中A、B的对应点分别是、．
①当与D点重合时，请在图中画出线段，并直接写出点P的坐标；
②当点P在线段上，若线段与抛物线有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值范围．
【重难点训练】
1．（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（ ）
A．0或3B．0或7C．3或4D．4或7
3．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数，，（a，b为常数，且），则下列判断正确的是（ ）
A．若，当时，则B．若，当时，则
C．若，当时，则D．若，当时，则
5．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知y关于x的函数（m为实数），当时，恒成立，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数和一次函数（ ，为常数）．若．当函数的图象经过点时，与之间的数量关系为（ ）
A．或B．或C．D．
8．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·浙江温州·校考三模）抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为__________．
10．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________．
11．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．
12．（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校考开学考试）已知抛物线，当时，则y的取值范围是 ___________．
13．（2023·浙江杭州·统考二模）对于二次函数．有下列说法：
①若，则当时，y随x的增大而增大．
②无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点．
③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点．
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则．
其中正确的是______．（只需填写序号）
14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数．当时，的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则的值是____．
15．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）已知抛物线与y轴交于点C．
(1)求证：此抛物线与x轴必有交点；
(2)当此抛物线与x轴只有一个交点（设为点A）时，求过A、C两点的直线解析式．
16．（2022·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)若该函数的图象经过点，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若为此函数图象上两个不同点，当时，恒有，试求此函数的最值．
(3)当且时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．
17．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，已知二次函数的图像经过点，点．
(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)点在该二次函数图像上，当时，n的最大值为，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围．
18．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
(2)若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当时的取值范围．
19．（2023·浙江·模拟预测）如图，抛物线与x轴的交点为B，A（B在A左侧），过线段的中点M作轴，交双曲线于点P．
(1)当时，求长；
(2)当点M与对称轴之间的距离为2时，求点P的坐标．
(3)在抛物线平移的过程中，当抛物线的对称轴落在直线和之间时（不包括边界），求的取值范围．
20．（2023春·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）已知二次函数，．
(1)若二次函数的图象经过A，C两点，求二次函数的解析式．
(2)若二次函数图象与y轴正半轴有交点，试判断二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由．
(3)若二次函数图象经过点C，设P为二次函数图象上的一个动点，当时，点P关于x轴的对称点都在直线的下方，求m的取值范围．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
…
0
1
…
…
0
3
4
…
题型一 二次函数的图象与各系数之间的关系
题型二 二次函数图象的平移与对称问题
题型三 利用二次函数的性质求自变量的范围
题型四 待定系数法求二次函数的关系式
题型五 根据二次函数的对称性求函数值
题型六 二次函数与x、y轴的交点坐标问题
题型七 利用二次函数的性质求最值
题型八 二次函数的图象与性质的新定义问题
题型九 二次函数的图象与性质综合问题
【知识梳理】
知识点二：二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的性质： 上加下减
的性质： 左加右减
的性质：左加右减，上加下减
一般式：（，，为常数，）；
知识点三：二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.
(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.
(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.
(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.
(5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
(6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
知识点四：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【经典例题一 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例1】（2023·安徽黄山·校考一模）如图，抛物线（a，b，c是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线（k是常数）与抛物线交于x轴上一点．现有下列结论：①；②；③；④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，；⑤若m为任意实数，则．其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【变式训练】
1．（2023·山东日照·校考二模）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023·新疆克拉玛依·统考二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上．①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为．上述五个结论中，其中正确的结论是________（填写序号即可）．
3．（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数（为常数，且）．
（1）若点，在函数图像上，则______ （填“>”、“<”或“=”）；
（2）当时，，则的取值范围是_______．
【经典例题二 二次函数图象的平移与对称问题】
【例2】（2023·安徽合肥·统考三模）已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【变式训练】
1．（2023·山东济南·统考一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广西贵港·统考二模）如图，抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点，抛物线由平移得到，截得轴上的线段长．若过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为______．
3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【经典例题三 利用二次函数的性质求自变量的范围】
【例3】（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【变式训练】
1．（2021秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12B．﹣4≤t≤5C．﹣4＜t≤5D．﹣4≤t≤12
2．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___
3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．
【经典例题四 待定系数法求二次函数的关系式】
【例4】（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）小张用描点法画二次函数（，，是常数，）图象时，部分列表如下：
依据以上信息，判断以下结论中错误的是（ ）
A．图象顶点在第一象限B．点在该图象上，若，则
C．和4是关于的方程的两根D．若恒成立，则
【变式训练】
1．（2022春·浙江湖州·九年级专题练习）如图，将一个含45°的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上．过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点．要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移（ ）
A．5个单位B．6个单位C．7个单位D．8个单位
2．（2023春·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连接，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则________．
3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数（m，n，k为常数且）．
(1)若的图象经过点，求该函数的表达式．
(2)若函数 的图象始终经过同一定点M．
①求点M的坐标和k的值．
②若，当时，总有，求的取值范围．
【经典例题五 根据二次函数的对称性求函数值】
【例5】（2023·广东深圳·统考二模）已知点，在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．当时，二次函数与轴总有两个交点
B．若，且，则
C．若，则
D．当时，的取值范围为
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·浙江·九年级期末）如图，抛物线与轴交于点，（点在的左侧），与轴交于点．点在线段上，点与点关于抛物线对称轴对称，连结并延长交轴于点．若，则点的横坐标为_______．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式．其中．
(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的解析式：
(2)函数，若，为此二次函数图象上的两个不同点．
①若，则，试求的值；
②当，对任意的都有，试求的取值范围．
【经典例题六 二次函数与x、y轴交点坐标问题】
【例6】（2023·陕西西安·校考模拟预测）若抛物线向上平移个单位后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）抛物线与坐标轴的交点个数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为______．
3．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数的图象与y轴的交点为．
(1)求a的值．
(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
(3)对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．
【经典例题七 利用二次函数的性质求最值】
【例7】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）已知抛物线，若时，抛物线上一点满足：当时，，则m的值是（ ）
A．0B．C．0或D．0或4
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知抛物线经过，，三点，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则的值为（ ）
A．B．3C．D．4
2．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的图象上有两点、，满足且这两点在对称轴两侧，当时，的最大值和最小值的差为，则的取值范围是_______.
3．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．
【经典例题八 二次函数的图象与性质的新定义问题】
【例8】（2023·江苏苏州·统考三模）定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线与直线的“完美距离”为（ ）
A．B．3C．D．
【变式训练】
1．（2023·浙江金华·统考二模）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，，．函数的图象如图所示，则方程的根的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·浙江杭州·统考一模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y关于x的函数y＝（kx＋1）⊕（x－1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_______．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）定义：将二次函数在轴下方部分沿轴向上翻折，翻折后部分与原来末翻折部分形成一个新的函数，那么称函数为原二次函数的有趣函数．
(1)二次函数_______________（有/没有）有趣函数．
(2)已知二次函数与轴交于点（1，0），（5，0），与轴交于点，求拋物线的解析式，并在坐标系中画出函数图像．
(3)在（2）的条件下：
①过点作轴的平行线与抛物线交于点，求线段的长度．
②若函数为原二次函数的有趣函数，画出函数的图像并求解当函数的函数值大于2时，自变量的取值范围（直接写出答案）．
【经典例题九 二次函数的图象与性质综合问题】
【例9】（2023·山东济南·统考一模）已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·山东济南·统考二模）如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（ ）
A．6B．C．D．
2．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B、D．若直线与、共有2个不同的交点，则m的取值范围是______．
3．（2023·浙江宁波·校考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标为，且经过．
(1)求b和c的值；
(2)点P是坐标平面内的一动点，将线段绕点P顺时针旋转得，其中A、B的对应点分别是、．
①当与D点重合时，请在图中画出线段，并直接写出点P的坐标；
②当点P在线段上，若线段与抛物线有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值范围．
【重难点训练】
1．（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（ ）
A．0或3B．0或7C．3或4D．4或7
3．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数，，（a，b为常数，且），则下列判断正确的是（ ）
A．若，当时，则B．若，当时，则
C．若，当时，则D．若，当时，则
5．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知y关于x的函数（m为实数），当时，恒成立，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数和一次函数（ ，为常数）．若．当函数的图象经过点时，与之间的数量关系为（ ）
A．或B．或C．D．
8．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·浙江温州·校考三模）抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为__________．
10．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________．
11．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．
12．（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校考开学考试）已知抛物线，当时，则y的取值范围是 ___________．
13．（2023·浙江杭州·统考二模）对于二次函数．有下列说法：
①若，则当时，y随x的增大而增大．
②无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点．
③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点．
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则．
其中正确的是______．（只需填写序号）
14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数．当时，的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则的值是____．
15．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）已知抛物线与y轴交于点C．
(1)求证：此抛物线与x轴必有交点；
(2)当此抛物线与x轴只有一个交点（设为点A）时，求过A、C两点的直线解析式．
16．（2022·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)若该函数的图象经过点，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若为此函数图象上两个不同点，当时，恒有，试求此函数的最值．
(3)当且时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．
17．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，已知二次函数的图像经过点，点．
(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)点在该二次函数图像上，当时，n的最大值为，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围．
18．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
(2)若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当时的取值范围．
19．（2023·浙江·模拟预测）如图，抛物线与x轴的交点为B，A（B在A左侧），过线段的中点M作轴，交双曲线于点P．
(1)当时，求长；
(2)当点M与对称轴之间的距离为2时，求点P的坐标．
(3)在抛物线平移的过程中，当抛物线的对称轴落在直线和之间时（不包括边界），求的取值范围．
20．（2023春·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）已知二次函数，．
(1)若二次函数的图象经过A，C两点，求二次函数的解析式．
(2)若二次函数图象与y轴正半轴有交点，试判断二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由．
(3)若二次函数图象经过点C，设P为二次函数图象上的一个动点，当时，点P关于x轴的对称点都在直线的下方，求m的取值范围．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
…
0
1
…
…
0
3
4
…
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