2023-2024学年湖南省郴州市嘉禾县博雅学校高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省郴州市嘉禾县博雅学校高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∪B=( )
A. {1}B. {1,2}C. {0,1,2,3}D. {−1,0,1,2,3}
2.如图所示，函数y=f(x)在下列哪个区间上是增函数( )
A. [−4,4]B. [−4,−3]⋃[1,4]C. [−3,1]D. [−3,4]
3.将34⋅ 2化成分数指数幂的形式是( )
A. 276B. 2176C. 213D. 256
4.函数y=|x|x+x的图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若ac>bc，则a>b
C. 若a3>b3且ab<0，则1a>1bD. 若a2>b2且ab>0，则1a<1b
6.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. f(x)=x与f(x)=x2xB. f(x)=x−1与f(x)= (x−1)2
C. f(x)=x与f(x)=3x3D. f(x)=|x|与f(x)=( x)2
7.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知f(x)=(a−3)x+a+2,x<1,−ax2+x,x≥1在(−∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. (0,3)B. [12,3)C. [23,3)D. [12,23]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={2,a2+1,a2−4a}，B={0,a2−a−2}，5∈A，则a为( )
A. 2B. −2C. 5D. −1
10.已知f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，f(1)A. f(0)=0B. f(0)f(−2)D. f(1)11.已知f(2x−1)=4x2，则下列结论正确的是( )
A. f(3)=9B. f(−3)=4C. f(x)=x2D. f(x)=(x+1)2
12.设正实数m、n满足m+n=2，则下列说法正确的是( )
A. nm+2n的最小值为3B. mn的最大值为1
C. m+ n的最小值为2D. m2+n2的最小值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y= x2−5x+4的单调递增区间是______．
14.幂函数f(x)=(m2−m+1)xm的图象与y轴没有交点，则m= ______．
15.若函数y=f(x)的定义域是[1,2]，则函数y=f( x)的定义域为 ．
16.设定义在[−2,2]上的偶函数，f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1−m)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|1(1)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知x>3，求x+9x−2的最小值；
(2)已知x>0，y>0，且3x+2y−1=0，证明：13x+12y≥4．
19.(本小题12分)
设p：实数x满足x2−2ax−3a2<0(a>0)，q：2(1)若a=1，且p，q都为真命题，求x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=0．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值和最小值．
21.(本小题12分)
已知f(x)=2x1+x2是定义在(−1,1)上的函数．
(1)判断函数f(x)的奇偶性．
(2)利用函数单调性的定义证明f(x)是其定义域上的增函数．
22.(本小题12分)
某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备.通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且C(x)=10x2+400x,0(1)求制造商所获月利润L(x)(元)关于月产量x(台)的函数关系式；
(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．
先求出集合B，然后求并集即可．
【解答】
解：集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}=0,1，
∴A∪B=0,1,2,3．
故选C．
2.【答案】C
【解析】解：观察函数图象，在[−4,−3]、[1,4]上随x的增大，函数y=f(x)的图象是下降的，
在[−3,1]上随x的增大，函数y=f(x)的图象是上升的，
因此函数y=f(x)在[−4,−3]、[1,4]上单调递减，在[−3,1]上单调递增，
所以函数y=f(x)在[−3,1]上是增函数．
故选：C．
利用函数图象上升所对区间确定函数单调递增区间即可．
本题考查学生分析问题解决问题的能力，函数的单调性的判断，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：34⋅ 2=413×212=(22)13×212=223+12=276．
故选：A．
利用分数指数幂的意义及运算化简即可．
本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识，属于基础题．
本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．
【解答】
解：函数y=|x|x+x=x+1,x>0x−1,x<0,
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：A.若a>b，则ac2>bc2(错)，若c=0，则A不成立；
B.若ac>bc，则a>b(错)，若c<0，则B不成立；
C.若a3>b3且ab<0，则1a>1b(对)，若a3>b3且ab<0，则a>0b>0
D.若a2>b2且ab>0，则1a<1b(错)，若a<0b<0，则D不成立．
故选：C．
根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．
此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，f(x)=x与f(x)=x2x，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．
对于B，f(x)=x−1与f(x)= (x−1)2，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数；
对于C，f(x)=x与f(x)=3x3，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数，正确；
对于D，f(x)=|x|与f(x)=( x)2，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数，
故选：C．
判断两个函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否是相同函数．
本题考查函数是否是相同函数的方法，定义域相同，对应法则相同两个函数是相同函数，是判断的依据．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．
解得a的范围，即可判断出结论．
【解答】
解：由a2>a，解得a<0或a>1，
故a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查分段函数的性质，中档题．
根据函数在各个区间都单调减，且在分段点处满足2a−1≥−a+1，求出a的范围即可．
【解答】
解：x<1时，f(x)=(a−3)x+a+2在(−∞,1)递减，
则a−3<0，解得：a<3①，
x≥1时，f(x)=−ax2+x在[1,+∞)递减，
则a>012a≤1，解得：a≥12②，
当x=1时，2a−1≥−a+1，解得：a≥23③，
综合①②③，a的取值范围是[23,3)，
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了集合与元素的关系的应用，涉及到分类讨论思想，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
由已知对a2+1=5与a2−4a=5，分别求出a的值，再求出对应的集合A，B，进而可以判断求解．
【解答】
解：因为集合A={2,a2+1,a2−4a}，B={0,a2−a−2}，5∈A，
则a2+1=5，解得a=2或−2，
当a=2时，集合A={2,5,−4}，集合B={0,0}与集合元素的互异性矛盾，故a≠2，
当a=−2时，集合A={2,5,12}，集合B={0,4}，故a=−2成立，
当a2−4a=5时，解得a=5或−1，
当a=5时，集合A={2,26,5}，集合B={18,0}，故a=5成立，
当a=−1时，集合A={2,2,5}与集合元素的互异性矛盾，故a≠−1，
综上，实数a为−2或5，
故选：BC．
10.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，因为f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，所以f(0)=0，A正确；
对于B，不能确定f(2)与0即f(2)与f(0)的大小关系，B错误；
对于C，又f(1)f(−2)，C正确；
对于D，无法比较f(0)，f(2)及f(1)，f(3)的大小关系．
故选：AC．
根据题意，由奇函数的性质依次分析选项，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意f(0)的值，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：f(2x−1)=(2x−1)2+2(2x−1)+1，故f(x)=x2+2x+1，故选项C错误，选项D正确；
f(3)=16，f(−3)=4，故选项A错误，选项B正确．
故选：BD．
利用配凑法求出函数解析式，进而得解．
本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式及结论的应用，属于基础题．
由已知结合基本不等式及相关变形结论，分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为m>0，n>0，
所以nm+2n=nm+m+nn=nm+mn+1≥2 nm⋅mn+1=3，
当且仅当nm=mn且m+n=2即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由mn≤(m+n2)2=1，当且仅当m=n=1时mn取得最大值1，B正确；
( m+ n)2=m+n+2 mn=2+2 mn≤2+m+n=4，当且仅当m=n=1时取等号，
故 m+ n≤2即最大值为2，C错误；
m2+n2=(m+n)2−2mn=4−2mn≥4−2×(m+n2)2=2，当且仅当m=n=1时取等号，此处取得最小值2，D正确．
故选：ABD．
13.【答案】[4,+∞)
【解析】解：x2−5x+4≥0可得x≤1或x≥4，y=x2−5x+4的对称轴为：x=52，开口向上，
由复合函数的单调性可知函数y= x2−5x+4的单调递增区间是[4,+∞)．
故答案为：[4,+∞)．
求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
本题考查复合函数的单调性的求法，是基础题．
14.【答案】0
【解析】解：根据幂函数的定义，得；
m2−m+1=1，
解得m=0或m=1；
当m=0时，f(x)=x0，图象与y轴没有交点，满足题意；
当m=1时，f(x)=x，图象与y轴有交点，不满足题意；
综上，m=0．
故答案为：0．
根据幂函数的定义，求出m的值，再验证m是否满足题意即可．
本题考查了幂函数的定义及其应用的问题，解题时应根据幂函数的定义，结合函数的图象与性质进行解答，是基础题．
15.【答案】[1,4]
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域的求法，考查运算能力，属于基础题．
由函数y=f(x)的定义域是[1,2]，即1≤x≤2，那么函数y=f( x)的定义域满足1≤ x≤2，求解x的范围可得定义域．
【解答】
解：由函数y=f(x)的定义域是[1,2]，
即1≤x≤2，
那么函数y=f( x)的定义域满足1≤ x≤2，
两边平方，可得1≤x≤4，
即函数y=f( x)的定义域为[1,4]．
故答案为[1,4]．
16.【答案】−1≤m<12
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性、绝对值不等式，属于中档题．
根据函数f(x)是偶函数，可将f(1−m)【解答】
解：因为函数f(x)是偶函数
所以f(1−m)=f(|1−m|)，f(m)=f(|m|)，
因为f(1−m)又因为函数f(x)是定义在[−2,2]上的偶函数，且函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，
所以0≤|m|<|1−m|≤2，
解得−1≤m<12．
故答案为：−1≤m<12．
17.【答案】解：(1)由A⊆B知：1−m>2m2m≤11−m≥3，
得m≤−2，即实数m的取值范围为{m|m≤−2}；
(2)由A∩B=⌀，得：
①若2m≥1−m即m≥13时，B=⌀，符合题意；
②若2m<1−m即m<13时，需m<131−m≤1或m<132m≥3，
得0≤m<13或⌀，即0≤m<13，
综上知m≥0．
即实数m的取值范围为{m|m≥0}．
【解析】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答(2)题时要分类讨论，以防错解或漏解．
(1)本题的关键是根据集合A={x|1(2)若A∩B=⌀，分两种情况进行讨论求解即可．
18.【答案】解：(1)由题干可知x>3，故x−2>1，原式变形：x+9x−2=x−2+9x−2+2≥6+2=8．
当且仅当x−2=9x−2，解得大病x=5时，取到等号．
所以x+9x−2最小值8．
(2)由题干知x>0，y>0，3x+2y−1=0，变形得到3x+2y=1．
则原式变形：13x+12y=(13x+12y)×1=(13x+12y)(3x+2y)=1+2y3x+3x2y+1≥2+2 2y3x⋅3x2y=4．
当且仅当2y3x=3x2y时，即y=14，x=16时取等号，所以13x+12y≥4成立．
【解析】(1)x+9x−2可化为x−2+9x−2+2，再由基本不等式求其最值．
(2)由条件可得13x+12y=(13x+12y)(3x+2y)，结合基本不等式完成证明．
本题主要考查基本不等式的简单应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)若a=1，则p：x2−2x−3<0，∴−1∵q：2∴2∴x的取值范围为(2,3)．
(2)p：x2−2ax−3a2<0(a>0)⇔−a∵q是p的充分不必要条件，
∴(2,4)⫋(−a,3a)，
∴−a≤23a≥4，∴a≥43，
∴实数a的取值范围为[43,+∞)．
【解析】(1)先解一元二次不等式求出p，再求交集即可．
(2)由q是p的充分不必要条件，得到集合之间的关系，列出不等式组求解即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c，由于f(0)=0，故c=0；
所以f(x)=ax2+bx，
二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，所以a(x+1)2+b(x+1)−ax2−bx=2x，
所以a=1，b=−1；
故f(x)=x2−x．
(2)由(1)得f(x)=x2−x=(x−12)2−14，故函数的对称轴方程为x=12，
当x=12时，函数的最小值为−14；当x=−1时，函数的最大值为2．
【解析】(1)直接利用待定系数法求出函数的解析式；
(2)利用二次函数的性质求出函数的最值．
本题考查的知识点：二次函数的解析式的求法，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)定义域为(−1,1)，关于原点对称，
又f(−x)=−2x1+x2=−f(x)，
所以f(x)=2x1+x2是奇函数．
(2)证明：设−1则f(x1)−f(x2)=2x11+x12−2x21+x22=2(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，
因为−1所以x1−x2<0，1−x1x2>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在(−1,1)上是增函数．
【解析】(1)利用函数奇偶性的定义，先判断f(x)定义域为(−1,1)，关于原点对称，再判断f(−x)与f(x)的关系即可．
(2)设−1本题考查了函数奇偶性的定义以及函数单调性的定义及证明，考查转化思想，是基础题．
22.【答案】解：(1)当0当40≤x≤100时，L(x)=1000x−1004x−10000x+9800−3000=6800−(4x+10000x)，
所以L(x)=−10x2+600x−3000,0(2)①当0所以当x=30时，L(x)max=L(30)=6000；
②当40≤x≤100时，L(x)=6800−(4x+10000x)≤6800−2 4x⋅10000x=6400，
当且仅当4x=10000x，即x=50时，取等号，
因为6400>6000，
所以当x=50时，L(x)最大，
故当月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．
【解析】(1)根据月利润=售价×月产量−成本，分0(2)分别利用配方法和基本不等式的性质来求两段函数的最大值，取较大者即可．
本题考查分段函数的实际应用，训练了利用配方法与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．