2023-2024学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在△ABC中，已知a=3，b=4，c= 13，则角C为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则a：b：c=( )
A. 1：2：3B. 3：2：1C. 2： 3：1D. 1： 3：2
3.已知△ABC中，D为BC边上一点，且BD=13BC，则AD=( )
A. 13AC+23ABB. 23AC+13ABC. 14AC+34ABD. 34AC+14AB
4.已知向量a，b不共线，且AB=a+4b，BC=−a+9b，CD=3a−b，则一定共线的三点是( )
A. A，B，DB. A，B，CC. B，C，DD. A，C，D
5.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p=(a+c,b)，q=(b−a,c−a).若p/​/q，则角C的大小为( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
6.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=xAB+13AD，则x=( )
A. 23
B. 45
C. 56
D. 67
7.已知△ABC是等腰直角三角形，点E，F是斜边AC的三等分点，则tan∠EBF=( )
A. 1627B. 23C. 33D. 34
8.在△ABC中，AC=2 7，O是△ABC的外心，M为BC的中点，AB⋅AO=8，N是直线OM上异于M、O的任意一点，则AN⋅BC=( )
A. 3B. 6C. 7D. 9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a,b满足|a|=|b|=1，且|b−2a|= 5，则以下结论正确的是( )
A. a⊥bB. |a+b|=2
C. |a−b|= 2D. 向量a,b夹角为60°
10.已知e1,e2是夹角为2π3的单位向量，且a=e1−2e2,b=e1+e2，则( )
A. |a|= 7B. a⋅b=−12
C. a与b的夹角为2π3D. a在b方向上的投影向量为−12b
11.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，AB⋅AC=2 3S，下列选项正确的是( )
A. A=π3
B. 若b=3，则△ABC有两解
C. 若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(2 3,4)
D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+ 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，|AB|=2，则|BC+DC|= ______．
13.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则cs∠EMF= ______．
14.如图，已知△ABC的面积为14cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE，CD交于点P，则△APC的面积为______cm2．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,1),b=(−1,2),θ为向量a,b的夹角．
(1)求csθ的值；
(2)若|a−b|=|λa+b|，求实数λ的值．
16.(本小题15分)
如图，ΔABC为直角三角形，斜边BC上有一点D，满足AB= 3BD．
(1)若∠BAD=30°，求∠C；
(2)若BD=12CD，AD=2，求BC．
17.(本小题15分)
已知向量a=(1, 3),b=(csα,sinα)，设m=a+tb(t∈R)．
(1)α=π3，求当|m−|取最小值时实数t的值；
(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a−b与向量m的夹角为π4？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=2BC=2CD=2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
(1)用AB和AD表示AM；
(2)求ANNM；
(3)设AC=xDB+yAP，求xy的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，已知ABCD为平行四边形．
(1)若|AB|=5，|AD|=4，|BD|= 21，求AB⋅AD及|AC|的值；
(2)记平行四边形ABCD的面积为S，设AB=(x1,y1)，AD=(x2,y2)，求证：S=|x1y2−x2y1|.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
由已知在△ABC中，a=3，b=4，c= 13，代入余弦定理可求出角C的余弦值，进而得到角C．
【解答】
解：在△ABC中，
∵a=3，b=4，c= 13，
∴csC=a2+b2−c22ab=9+16−132×3×4=12，
∵C为三角形内角，
∴C=60°．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：由于A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=π，
故∠A=π6，∠B=π3，∠C=π2．
故sin∠A：sin∠B：sin∠C=12： 32：1=1： 3：2；
所以a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=1： 3：2．
故选：D．
直接利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角形内角和定理和正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为BD=13BC，
所以BD=13BC=13(AC−AB)．
所以AD=AB+BD=AB+13(AC−AB)=13AC+23AB．
故选：A．
利用向量的线性运算即可求得．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意可得：BD=BC+CD=2a+8b=2AB，
由共线向量定理可得向量BD与AB共线，
又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．
故选：A．
要证明三点共线，借助向量共线证明即可，由共线向量定理和向量的加减运算可得向量BD与AB共线，进而可得答案．
本题考查利用向量的共线来证明三点共线的，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为p=(a+c,b)，q=(b−a,c−a)，且p/​/q，
所以(a+c)(c−a)−b(b−a)=0，
整理得：b2+a2−c2=ab，
由余弦定理得：csC=b2+a2−c22ab=ab2ab=12，
因为C∈(0,π)，所以C=π3．
故选：B．
由向量平行的坐标表示可得b2+a2−c2=ab，再由余弦定理计算即可．
本题考查向量平行的坐标表示和余弦定理，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题可知AE=23(AB+AD)，
∵点F在BE上，
∴AF=λAB+(1−λ)AE，
∴AF=(23+13λ)AB+(23−23λ)AD，
∴23−23λ=13，λ=12，
∴x=23+13×12=56．
故选：C．
根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可．
本题主要考查了平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意，设AC=6，点E，F是斜边AC的三等分点，可得EF=2.过B点作AC的垂下交于D，∠DBF=∠DBE．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=2 3.DC=3
由勾股定理，可得：DB=3．
那么：tan∠DBF=13．
∴tan∠EBF=tan2∠DBF=2tan∠DBF1−tan2∠DBF=34．
故选：D．
由题意，设AC=6，点E，F是斜边AC的三等分点，可得EF=2.过B点作AC的垂下交于D，利用三角函数的定义可得tan∠DBF的值，利用二倍角可得答案．
本题考查了三角函数的定义的运用和等腰直角三角形的性质．属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为O是△ABC的外心，M为BC的中点，
设AC的中点为D，连接OD，
所以OM⊥BC，OD⊥AC，
设ON=λOM，
则AN⋅BC=(AO+ON)⋅BC=AO⋅BC+λOM⋅BC
=AO⋅BC=AO⋅(BA+AC)
=AO⋅BA+AO⋅AC=−AO⋅AB+AO⋅AC，
又O是△ABC的外心，
所以AO⋅AC=|AO|⋅|AC|cs∠CAO=(|AO|cs∠CAO)⋅|AC|
=12|AC|2=12×(2 7)2=14，
所以AN⋅BC=−AO⋅AB+AO⋅AC=−8+14=6．
故选：B．
根据外心的性质得到OM⊥BC，设ON=λOM，根据数量积的运算律得到AN⋅BC=−AO⋅AB+AO⋅AC，再由数量积的定义及几何意义求出AO⋅AC，从而得解．
本题考查了三角形外接圆的性质，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：|b−2a|= 5，
则b2−4a⋅b+4a2=5，
|a|=|b|=1，
故a⋅b=0，
所以a⊥b，故A正确，D错误，
∵a⋅b=0，
∴|a+b|=|a−b|= a2+b2= 2，故B错误，C正确．
故选：AC．
根据已知条件，将|b−2a|= 5两边同时平方，推得a⋅b=0，即可依次求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：已知e1,e2是夹角为2π3的单位向量，
则|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=−12，
设a与b的夹角为θ，
对于选项B，因为a=e1−2e2,b=e1+e2，
所以a⋅b=(e1−2e2)⋅(e1+e2)=e12−e1⋅e2−2e22=−12，
即选项B正确；
对于选项A，|a|= (e1−2e2)2= e12−4e1⋅e2+4e22= 7，
即选项A正确；
对于选项C，|b|= (e1+e2)2= e12+2e1⋅e2+e22=1，
所以csθ=a⋅b|a||b|=−12 7=− 714，
即选项C错误；
对于选项D，a在b方向上的投影为a⋅b|b|b|b|=−12b，
即选项D正确．
故选：ABD．
利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，结合投影的定义求解．
本题考查了向量数量积运算，模、夹角公式，重点考查了投影的定义，属中档题．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，不等式a2+b2≥2ab的应用，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．
根据AB⋅AC=2 3S即可得出bccsA= 3bcsinA，从而求出tanA= 33，然后即可得出A=π6；可得出bsinA【解答】
解：对于A，因为AB⋅AC=2 3S，所以bccsA=2 3S=2 3×12bcsinA，tanA= 33，又A∈(0,π)，所以A=π6，A错误；
对于B，若b=3，且A=π6，则bsinA对于C，若△ABC为锐角三角形，则0π2，所以π3对于D，若D为BC边上的中点，则AD=12(AB+AC)，AD2=14(AB+AC)2=14(c2+2bccsA+b2)=14(b2+c2+ 3bc)，
又a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2− 3bc=4，b2+c2=4+ 3bc，
∴4=b2+c2− 3bc≥2bc− 3bc=(2− 3)bc，bc≤42− 3=4(2+ 3)，当且仅当b=c时等号成立，
所以AD2=14[(4+ 3bc)+ 3bc]=1+ 32bc≤7+4 3，所以|AD|≤2+ 3，当且仅当b=c时等号成立，D正确．
故选：BCD．
12.【答案】2 3
【解析】解：根据题意：|BC|=|DC|=2，=60°，
∴BC⋅DC=|BC||DC|cs60°=2×2×12=2，
∴|BC+DC|= (BC+DC)2= BC2+DC2+2BC⋅DC= 4+4+4=2 3．
故答案为：2 3．
根据题意可得出：|BC|=|DC|=2，=60°，然后即可求出BC⋅DC的值，而根据|BC+DC|= (BC+DC)2进行数量积的运算即可求出答案．
本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】 210
【解析】解：如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，
则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，
∴DE=(3,−6)，AF=(6,2)，
由于∠EMF就是DE，AF的夹角，
∴cs∠EMF=18−12 9+36⋅ 36+4= 210.，
∴∠EMF的余弦值为 210．
故答案为： 210．
如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，∠EMF就是DE，AF的夹角，利用向量的夹角公式求解
本题考查向量数量积的应用，属于中档题．
14.【答案】4
【解析】解：设AB=a，BC=b，以a,b为一组基底，则AE=a+23b，DC=13a+b，
∵点A，P，E与点D，P，C分别共线，
∴存在实数λ，μ，使AP=λAE=λa+23λb，DP=μDC=13μa+μb，
∵AP=AD+DP=(23+13μ)a+μb，
∴λ=23+13μ23λ=μ，解得λ=67μ=47，
∴S△PAB=47S△ABC=14×47=8(cm2)，
S△PBC=14×(1−67)=2(cm2)，
∴S△APC=14−8−2=4(cm2).
故答案为：4．
以AB=a，BC=b，建立一组基底，再利用点A，P，E与点D，P，C分别共线的性质表示出DP，AP，建立二元一次方程，再采用间接法，根据S△APC=S△ABC−S△ABP−S△CBP，能求出结果．
本题考查三角形面积的求法，考查向量运算法则、相似三角形性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1))由a=(1,1),b=(−1,2)可得|a|= 2,|b|= 5,a⋅b=1，
所以csθ=a⋅b|a|⋅|b|=1 2× 5= 1010．
(2)由a−b=(2,−1),λa+b=(λ+λ)+(−1+2)=(λ−1,λ+2)，
可得|a−b|= 5,|λa+b|= (λ−1)2+(λ+2)2= 2λ2+2λ+5，
即 2λ2+2λ+5= 5，
解得λ=0或λ=−1．
即实数λ的值为0或−1．
【解析】(1)根据向量数量积的坐标运算即可求得|a|= 2,|b|= 5,a⋅b=1，代入公式夹角公式即可得结果；
(2)分别用坐标表示出a−b,λa+b，利用模长相等即可解得λ=0或λ=−1．
本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
16.【答案】解：(1)∵ΔABC为直角三角形，AB= 3BD，∠BAD=30°，
∴由正弦定理：BDsin30∘=ABsin∠ADB，
即BD12= 3BDsin∠ADB，
∴sin∠ADB= 32，
可得∠ADB=∠C+∠DAC=120°，
∵∠BAD=30°,∠BAC为直角，可得∠DAC=60°，
∴∠C=60°．
(2)设BD=12CD=a，
则AB= 3a，BC=3a，AC= BC2−AB2= 3a2− 3a2= 6a，
∴csC=ACBC= 63，
∵AD=2，
∴由余弦定理得：csC=AC2+CD2−AD22AC⋅CD=6a2+4a2−42× 6a×2a= 63，得a= 2，
∴BC=3 2．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
(1)由已知利用正弦定理可得sin∠ADB= 32，可得∠ADB=∠C+∠DAC=120°，可求∠DAC=60°，即可解得∠C的值；
(2)设BD=12CD=a，可得AB= 3a，BC=3a，AC= 6a，可求csC= 63，由已知利用余弦定理可求a，即可求解BC的值．
17.【答案】解：(1)根据题意，α=π3，则b=(12, 32)，
则m=a+tb=(1+t2, 3+ 32t)=(1+t2)(1, 3)，
则|m|=|1+t2| 1+3=2|1+t2|，当t=−2时，|m−|取得最小值0；
(2)根据题意，假设存在实数t，使得向量a−b与向量m的夹角为π4，
若a⊥b，则a⋅b=0，则有m⋅(a−b)=(a+tb)(a−b)=a2−tb2=4−t，
|m|2=(a+tb)2=a2+t2b2+2ta⋅b=4+t2，则|m|= 4+t2，
(a−b)2=a2+b2+2a⋅b=5，则|a−b|= 5，
又由向量a−b与向量m的夹角为π4，则有csπ4=m⋅(a−b)|m||a−b|=4−t 5× 4+t2= 22，
解可得：t=−6或t=23，
故存在t=−6或23符合题意．
【解析】(1)根据题意，求出m的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；
(2)根据题意，假设存在实数t符合题意，求出m和a−b的模以及m⋅(a−b)的值，由向量数量积的计算公式可得csπ4=m⋅(a−b)|m||a−b|=4−t 5× 4+t2= 22，解可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行的判断，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由平面向量的加法法则，可得AM=AB+BM①，AM=AD+DC+CM，②
因为M为线段BC中点，所以BM+CM=0，
①②相加，结合DC=12AB，化简得2AM=AB+AD+DC=32AB+AD，即AM=34AB+12AD．
(2)由AM与BD交于点N，可知存在实数t，使AN=tAM=t(34AB+12AD)=3t4AB+t2AD，
根据B、N、D三点共线，得3t4+t2=1，解得t=45，即AN=45AM，所以ANNM=4．
(3)由题意，设DP=mAB(0≤m≤12)，
代入AC=xDB+yAP并整理，可得AC=x(AB−AD)+y(AD+DP)=(x+ym)AB+(y−x)AD．
又AC=AD+DC=12AB+AD，根据平面向量基本定理，得x+ym=12y−x=1，所以x=y−1，可得y=32(m+1)．
因为0≤m≤12，所以1≤y≤32，
可得xy=y(1−y)=y2−y，相应二次函数的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=12对称，
因此函数F(y)=y2−y在区间[1,32]单调为增函数，当y=1时，(xy)min=0，当y=32时，(xy)max=34，
综上所述，xy的取值范围为[0,34]．
【解析】(1)利用平面向量的加法法则，结合BM+CM=0且DC=12AB，化简得出用AB和AD表示AM的式子；
(2)根据向量共线的条件列式，化简整理得出AN=45AM，从而算出ANNM的值；
(3)由题意，设DP=mAB(0≤m≤12)，推导出AC=(x+ym)AB+(y−x)AD，然后利用平面向量基本定理算出x=y−1，y=32(m+1)，从而将xy表示为关于y的二次函数，利用二次函数的单调性算出xy的取值范围．
本题主要考查向量的线性运算法则、二次函数的性质、平面向量基本定理及其应用，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)在△ABD中，由余弦定理有：csA=|AB|2+|AD|2−|BD|22|AB||AD|=25+16−212×5×4=12，
∴AB⋅AD=|AB|×|AD|csA=5×4×12=10，
|AC|=|AB+AD|= (AB+AD)2= AB2+2AB⋅AD+AD2= 25+2×10+16= 61；
证明：(2)∵A∈(0,π)，∴sinA>0，
∴S=|AB|×|AD|sin∠A=|AB|×|AD|× 1−cs2A
=|AB|×|AD|× 1−(AB⋅AD|AB||AD|)2
=|AB||AD|× |AB|2|AD|2−(AB⋅AD)2|AB||AD|
= |AB|2|AD|2−(AB⋅AD)2
= (x12+y12)(x22+y22)−(x1x2+y1y2)2
= (x1y2−x2y1)2
=|x1y2−x2y1|，
原命题得证．
【解析】(1)在△ABD中，由余弦定理可求得csA，再由平面向量数量积运算可求得AB⋅AD，由AC=AB+AD和模的计算公式即可求|AC|的值；
(2)由平行四边形的面积公式将其面积用AB,AD的模和夹角表示出来，化简即可．
本题考查平面向量的数量积和夹角，平面向量的坐标运算，余弦定理，平行四边形的面积等，属于中档题．