2022-2023学年上海实验中学高一（下）周测数学试卷1（2.22）（含解析）

这是一份2022-2023学年上海实验中学高一（下）周测数学试卷1（2.22）（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若α为第四象限角，则( )
A. cs2α>0B. cs2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0
2.已知cs(α+β)=45，cs(α−β)=15，则tanα⋅tanβ的值为( )
A. 12B. −310C. −35D. 35
3.函数f(x)=cs(2x+π6)在区间[0,π]上的零点个数为( )
A. 0B. 3C. 1D. 2
4.已知a=sin1，b=cs1，c=tan1，则a、b、c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.若α∈(0,π)，且角α的终边与角5α的终边相同，则α=______．
6.一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是______．
7.若sinθ=m−3m+5，csθ=4−2mm+5，θ∈(π2,π)，则m的取值范围是______．
8.已知csθ 1+tan2θ+sinθ 1+ct2θ=−1，则θ在第______象限．
9.已知α为锐角，cs(α+π6)=35，则cs(π3−α)=______．
10.把下式化为Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，φ∈[0,2π))的形式：−2sinx+2 3csx= ______．
11.已知tanα，tanβ是方程x2+3 3x−2=0的两个根，且α，β∈(−π2,π2)，则α+β的值为______．
12.若tanα=−2，则4sinα−2csα5csα+3sinα= ______．
13.已知tan2x−2tan2y−1=0，则下列式子成立的是______．
①sin2y=2sin2x+1；
②sin2y=−2sin2x−1；
③sin2y=2sin2x−1；
④sin2y=1−2cs2x.
14.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为______.(用β表示)
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知α，β∈(0,π)，并且sin(5π−α)= 2cs(72π+β)， 3cs(−α)=− 2cs(π+β)，求α，β的值．
16.(本小题12分)
某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．
(1)设∠OPA=α，将展板所需总费用表示成α的函数；
(2)若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
17.(本小题12分)
已知sinα+csα=15．
(1)求sinαcsα的值；
(2)求tanα+ctα的值；
(3)求sin3α+cs3α的值；
(4)若−π2<α<π2，求sinα−csα的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角函数值的符号特征，考查了转化能力，属于基础题．
根据二倍角公式即可判断．
【解答】
解：α为第四象限角，
则sinα<0，csα>0，
则sin2α=2sinαcsα<0，
cs2α=cs2α−sin2α=csα+sinαcsα−sinα，无法确定正负，
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：因为cs(α+β)=45，cs(α−β)=15，
所以csαcsβ−sinαsinβ=45，csαcsβ+sinαsinβ=15，
解可得，csαcsβ=12，sinαsinβ=−310，
则tanα⋅tanβ=sinαsinβcsαcsβ=−31012=−35．
故选：C．
由已知结合和差角的余弦公式及同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及两角和与差的余弦公式，属于基础试题．
3.【答案】D
【解析】解：令f(x)=cs(2x+π6)=0，
解得2x+π6=π2+kπ(k∈Z)，即x=π6+kπ2(k∈Z)．
∵x∈[0,π]，
∴k=0，x=π6；
k=1，x=23π．
故选：D．
直接利用余弦型函数性质的应用和整体思想的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，
sin1=MP.cs1=OM，tan1=AT
观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，
故有tan1>sin1>cs1>0，
故选 C．
在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，可得sin1、cs1、tan1的大小关系．
本题考查利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线的大小来比较对应的三角函数的大小．
5.【答案】π2
【解析】解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z}.角α的终边与角5α的终边相同，
∴5α=α+2kπ，α∈(0,π)，∴α=kπ2，可得k=1，α=π2．
故答案为：π2．
写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．
本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型．
6.【答案】2π−2
【解析】解：设圆心角为θ，弧长为l，
由题意得4+l=4π，解得l=4π−4
∴圆心角θ=lr=2π−2
故答案为：2π−2．
设圆心角为θ，弧长为l，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．
7.【答案】{8}
【解析】解：∵sin2θ+cs2θ=1
∴(m−3)2(m+5)2+(4−2m)2(m+5)2=1，
∴(m−3)2+(4−2m)2=(m+5)2
即m2−6m+9+16−16m+4m2=m2+10m+25
即25−22m+4m2=10m+25
即−32m+4m2=0
即m=0，或m=8
因为π2<θ<π，当m=0时，sinθ=−
，矛盾，
所以m=8
故答案为：{8}
通过平方关系得到关于m的表达式，求出m的值，结合三角函数的性质，判断m的值即可．
本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，象限角三角函数值的符号，是基础题
8.【答案】三
【解析】解：1+tan2θ=1+sin2θcs2θ=1cs2θ，同理可得，1+ct2θ=1sin2θ，
csθ 1+tan2θ+sinθ 1+ct2θ=−1，
则csθ⋅|csθ|+sinθ⋅|sinθ|=−1，
当sinθ<0，csθ<0同时成立时，上式等号成立，
故θ在第三象限．
故答案为：三．
对原式化简，再结合三角函数值的符号，即可求解．
本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．
9.【答案】45
【解析】解：∵α为锐角，cs(α+π6)=35，
∴α+π6∈(π6,2π3)，
∴sin(α+π6)= 1−cs2(α+π6)= 1−(35)2=45，
∴cs(π3−α)=cs[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=45．
故答案为：45．
由已知可求范围α+π6∈(π6,2π3)，进而利用同角三角函数基本关系式可求sin(α+π6)的值，进而利用诱导公式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10.【答案】4sin(x+2π3)
【解析】解：−2sinx+2 3csx=4(−12sinx+ 32csx)=4sin(x+2π3).
故答案为：4sin(x+2π3).
由已知结合辅助角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题．
11.【答案】−π3
【解析】解：由题意得，tanα+tanβ=−3 3，tanαtanβ=−2，
故tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−3 33=− 3，
因为α，β∈(−π2,π2)，tanα+tanβ=−3 3<0，tanαtanβ=−2<0，
所以tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，
所以−π2<β<0<α<π2，
所以−π2<α+β<π2，
故α+β=−π3．
故答案为：−π3．
由已知结合方程的根与系数关系及两角和的正切公式先求出tan(α+β)，然后结合角的范围即可求解．
本题主要考查了方程的根与系数关系及两角和的正切公式的应用，属于中档题．
12.【答案】10
【解析】解：∵tanα=−2，
∴4sinα−2csα5csα+3sinα=4tanα−25+3tanα=4×(−2)−25+3×(−2)=10，
故答案为：10．
tanα=−2，将4sinα−2csα5csα+3sinα中的分子与分母中的每一项同除以csα，“弦”化“切”即可．
本题考查同角三角函数基本关系的运用，“弦”化“切”是关键，属于中档题．
13.【答案】③④
【解析】解：∵tan2x−2tan2y−1=0，
∴sin2xcs2x−2sin2ycs2y−1=0，即sin2x⋅cs2y−2sin2y⋅cs2x=cs2y⋅cs2x，
∴(1−cs2x)(1−sin2y)−sin2y⋅cs2x=(cs2y+sin2y)cs2x，即1−cs2x−sin2y+sin2y⋅cs2x−sin2y⋅cs2x=cs2x，
∴sin2y=1−2cs2x=1−2(1−sin2x)=2sin2x−1，故①②错误，③④正确．
故答案为：③④．
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解．
本题主要考查了三角函数的同角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
14.【答案】4+4sinβ
【解析】解：因为，∠APB是锐角，所以圆心O在△ABP内部，
观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π−β，
面积S的最大值为π×22×2β2π+S△POB+S△POA
=4β+12⋅|OP|⋅|OB|⋅sin(π−β)+12⋅|OP|⋅|OA|⋅sin(π−β)
=4β+2sinβ+2sinβ
=4+4sinβ．
故答案为：4+4sinβ．
由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值．
本题主要考查了数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，关键点是得出P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，属于中档题．
15.【答案】解：∵由sin(5π−α)= 2cs(72π+β)，可得：sinα= 2sinβ，两边平方可得：sin2α=2sin2β，①
由 3cs(−α)=− 2cs(π+β)，可得： 3csα= 2csβ，两边平方可得：3cs2α=2cs2β，②
∴①+②可得：sin2α+3cs2α=2sin2β+2cs2β=2，
又∵sin2α+cs2α=1，
∴解得：cs2α=12，即：csα= 22csβ= 32或csα=− 22csβ=− 32，
∵α，β∈(0,π)，
∴解得α=π4β=π6或α=3π4β=5π6．
【解析】利用诱导公式化简已知可得sinα= 2sinβ， 3csα= 2csβ，将两式平方后利用同角三角函数基本关系式解得csα= 22csβ= 32或csα=− 22csβ=− 32，结合角的范围即可得解α，β的值．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
16.【答案】解：(1)过点O作OH⊥AB，垂足为H，则PH=csα，OH=sinα，
∵正方形ABCD的中心在展板圆心，
∴铜条长为相等，每根铜条长2csα，
∴AD=2OH=2sinα，
∴展板所需总费用为y=80csα+80sin2α(0<α<π2).
(2)y=80csα+80sin2α=−80cs2α+80csα+80=−80(csα−12)2+100≤100．
∴上述设计方案是不会超出班级预算．
【解析】本题考查了函数应用，三角函数恒等变换与求值，属于中档题．
(1)过点O作OH⊥AB，垂足为H，用α表示出OH和PH，从而可得铜条长度和正方形的面积，进而得出函数式；
(2)利用同角三角函数的关系和二次函数的性质求出预算的最大值即可得出结论．
17.【答案】解：(1)因为sinα+csα=15，
两边平方得，1+2sinαcsα=125，
故sinαcsα=−1225；
(2)tanα+ctα=sinαcsα+csαsinα=sin2α+cs2αsinαcsα=−11225=−2512；
(3)sin3α+cs3α=(sinα+csα)(sin2α−sinαcsα+cs2α)
=15×(1+1225)=37125；
(4)若−π2<α<π2，sinα+csα=15，sinαcsα=−1225，
则csα=45，sinα=−35，−π2<α<0，
sinα−csα=−35−45=−75．
【解析】(1)由已知结合同角平方关系即可求解；
(2)先切化弦，然后结合(1)即可求解；
(3)先用立方差公式进行化简，然后结合已知及(1)即可求解；
(4)结合已知及角α的范围可求sinα，csα，进而可求．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．3
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