还剩54页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版八年级数学下册【精品同步教学设计】
成套系列资料，整套一键下载
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》同步教学设计
展开
这是一份人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》同步教学设计，共57页。
0 人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》同步教学设计 单 元 备 课 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形边、角的性质 18.1.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形对角线的性质 18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定（1） 18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定（2） 18.1.2 平行四边形的判定 第3课时 三角形的中位线 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 18.2.1 矩形 第2课时 矩形的判定 18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 18.2.2 菱形 第2课时 菱形的判定 18.2.3 正方形 第18单元本单元所需课时数10课时课标要求1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系; 2.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. 3.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离. 5.探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等;菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 6.探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 7.正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系. 8.探索并证明三角形的中位线定理.教材分析本章我们在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形;并通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延;探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力.主要内容本章先研究平行四边形，在平行四边形的基础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形. 第18.1节主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理;在平行四边形概念和性质定理的基础上，介绍两条平行线之间距离的概念;作为性质定理和判定定理的一个应用，探索并证明三角形中位线定理. 第18.2节首先研究特殊的平行四边形——矩形和菱形，它们分别是有一个角是直角和有一组邻边相等的特殊平行四边形.第18.2.1小节和第18.2.2小节分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理.在矩形和菱形的基础上，再研究它们的特殊情况，即同时具有两个特殊条件的平行四边形——正方形.第18.2.3小节给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质定理和判定定理.教学目标1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系. 2探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算. 3.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离. 4.探索并证明三角形中位线定理. 5.通过经历平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力. 6.通过平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力， 7.通过分析平行四边形与矩形、菱形、正方形概念之间的联系与区别，使学生进一步认识一般与特殊的关系．课时分配18.1 平行四边形 5课时 18.2 特殊的平行四边形 5课时教与学建议1.关于平行四边形与特殊平行四边形概念之间属加种差、内涵与外延之间的关系. 2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力. 3.注意帮助学生梳理知识内容. 4.关注信息技术的应用.课题平行四边形边、角的性质课型新授课教学内容教材第41-43页的内容教学目标1.理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的性质． 2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质． 3.初步体会几何研究的一般思路与方法．教学重难点教学重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 教学难点：平行四边形边、角性质的运用．教 学 过 程备 注1.创设情境，引入新课 前面我们已经学习了许多图形与几何知识，掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法，从本节开始，我们继续研究生活中的常见图形． 【问题1】观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？ 师生活动:学生积极发言，教师用电脑演示从实物中抽象出平行四边形的过程. 【问题2】你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？它有哪些性质呢？今天我们共同来研究这个问题吧！ 师生活动:教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质，又可以作为判定平行四边形的依据.教师画图示范，结合图形介绍平行四边形的符号表示及对边、对角、对角线等元素. 2.概括证明，探究性质 【问题3】回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是什么? 师生活动:学生可能难以回答，此时教师引导学生回顾全等三角形的学习过程，得出研究的一般过程:先给出定义，再研究性质和判定.教师进一步指出:性质的研究，其实就是对边、角等基本要素的研究. 【问题4】对于平行四边形，从定义出发，除了“两组对边分别平行”外，你能得出它的边、角有什么性质? 师生活动:教师出示投影，说明活动步骤，学生以小组为活动单位，根据活动步骤操作，教师指导. (1)根据定义画一个平行四边形ABCD; (2)度量对边AB与CD的长，BC与DA的长，可得什么结论? (3)度量对角∠A与∠C，∠B与∠D的大小，可得什么结论? 教师追问1：观察并思考，平行四边形的对边之间、对角之间分别有什么关系?由此你能得到什么结论? 猜想:(1)边:对边平行且相等.(2)角:对角相等，邻角互补. 教师追问2:你能证明这些结论吗? 师生活动:一般地，学生会先考虑分别证明这两个结论，利用平行线的性质证明对角相等，通过添加辅助线，利用全等证明对边相等.证后会发现用全等可以同时证明这两个结论.让学生领悟，证明线段相等(或角相等）通常采用证明三角形全等的方法.而图形中没有三角形，只有四边形，我们需添加辅助线，构造全等三角形，将四边形问题转化为三角形问题来解决，突破难点，进而总结提炼出化四边形问题为三角形问题的基本思路. 已知:如图，四边形ABCD是平行四边形. 求证:AB=CD，AD=CB. 证明:如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA(ASA). ∴AB=CD，AD=CB，∠B=∠D. 教师追问3:通过证明，发现上述两个猜想正确.这样就得到了平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论，并运用这两个性质进行推理吗? 师生活动:教师引导学生辨析定理的题设和结论，明确应用性质进行推理的基本模式. 例 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE＝CF. 师生活动:师生交流，要证明线段相等，我们可以利用全等三角形的性质，而全等的条件可由平行四边形的性质得到.在此基础上，引导学生写出证明过程，并组织学生进行点评. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB. 又∵∠AED＝∠CFB＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS). ∴AE＝CF. 教师追问：DE=BF 吗?如图，直线a//b， A，C为直线a上任意两点，点A到直线b的距离和点C到直线b的距离相等吗?为什么? 师生活动:结合前面的分析，可以得出如果两条直线平行，那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间距离的概念. 师生总结性质：两条平行线间的距离处处相等． 3.学以致用，应用新知 考点1 平行四边形的概念 【例1】如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF，GH相交于点O，图中共有多少个平行四边形? 答案:9个. 考点2 平行四边形的性质 【例2】 (1)如图1，在▱ABCD中，BC=BD，∠C=74°，则∠ADB的度数是 . 图1 图2 (2)如图2，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是 . 答案：（1）32° （2）20 考点3 平行线之间的距离 【例3】如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接AC，BE，EC.求证:S△ABC=S△EBC. 证明:分别过点A，E作AF⊥BC于点F，EG⊥BC于点G. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. 又由作法知AF和EG的长分别是AD上的点A，E到直线BC的距离，∴AF=EG，∴S△ABC=S△EBC. 4.随堂训练，巩固新知 （1）已知在▱ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B的度数是 . 答案：60° （2）在▱ABCD中，若AB＝3 cm，AD＝4 cm，则▱ABCD的周长为 cm. 答案：14 （3）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F.求证：BE∥DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC. ∵BE平分∠ABC，∴∠2=∠ABC. 又DF平分∠ADC，∴∠3=∠ADC，∴∠2=∠3. ∵AD∥BC，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3，∴BE∥DF. 5.课堂小结，自我完善 1.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等. 2.解题方法:平行四边形的对角线是我们常作的辅助线，它构造出两个全等的三角形，从而将四边形问题转化为熟悉的三角形问题.体现了由未知转化为已知，由繁化简的数学思想. 3.研究一个几何图形的一般思路是:先给出定义，再研究性质和判定.下一步我们还要继续研究平行四边形的性质与判定. 6.布置作业 教材P43练习第1，2题； 教材P49习题18.1第1，2，7，8题. 通过图片展示，让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型，进而从实际背景中抽象出平行四边形，让学生经历将实物抽象为图形的过程. 给出定义，强调定义的作用. 对图形性质的研究，重在解决研究什么和怎么研究的问题，引导学生通过类比全等三角形确定平行四边形性质的研究目标和研究思路， 引导学生证明猜想，体会证明思路的分析方法和把四边形问题转化为三角形问题的基本想法. 应用性质进行推理，体会得到证明思路的方法. 结合例题的进一步追问，自然引出平行线间距离的概念，点到即可，不必深究. 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会数学思想方法.课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 平行四边形边、角的性质 1.平行四边形的定义： 2.平行四边形的性质： 3.平行线之间的距离： 例题 练习 教学反思 学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质，从中体会亲自动手实践学到知识的乐趣，获得成功的体验．注意联系三角形全等的知识，通过类比确定平行四边形的研究思路，培养学生良好的学习习惯.课题平行四边形对角线的性质课型新授课教学内容教材第43-44页的内容教学目标1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题． 3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．教学重难点教学重点：平行四边形对角线性质的探究与应用． 教学难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.教 学 过 程备 注1.回顾旧知，引入新课 复习提问:(1)什么样的四边形是平行四边形? (2)前面我们学习过平行四边形的什么性质? ①具有一般四边形的性质(内角和是360°). ②角:平行四边形的对角相等，邻角互补. 边:平行四边形的对边平行且相等. 师生活动:教师提问，学生抢答，教师根据学生回顾情况梳理知识，并提出平行四边形对角线有什么关系. 2.实践探究，交流新知 【问题1】已知在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，图中有哪些三角形全等？哪些线段是相等的？请同学们用多种方法加以验证． 师生活动：学生分组讨论，大胆讲出自己的想法，并交流不同的验证思路．教师点拨思路： 图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA.有如下线段相等：OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AB＝DC.证明中应用到“AAS”“ASA”． 师生总结：平行四边形的对角线互相平分． 师生共同写出平行四边形对角线性质的证明： 已知：如图，▱ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O. 求证：OA＝OC，OB＝OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO. ∴△AOD≌△COB(ASA).∴OA＝OC，OB＝OD. 师生活动：学生板书证明过程，教师给予指正． 3.学以致用，应用新知 【例】 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积． 教师引导分析:先用平行四边形的性质求边长，再用勾股定理求平行四边形BC边上的高，最后用公式计算▱ABCD的面积. 解: ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10. ∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形． 根据勾股定理，得AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(102－82) ＝6. 又OA＝OC，∴OA＝ eq \f(1,2) AC＝3，S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48. 师生活动：学生独立书写证明过程，老师进行讲解，特别是证明的步骤． 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( ) A.AO＝OD B．AO⊥OD C.AO＝OC D．AO⊥AB 答案：C （2）如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线长的和是 . 答案：36 （3）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)有 个. 答案：3 （4）如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为 cm. 答案：4 （5）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF=CE. 求证:BE=DF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB. 又∵AF=CE，∴OE=OF. 在△BEO和△DFO中，OB=OD,∠BOE=∠DOFOE=OF,， ∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF. 师生活动：学生当堂检测，教师批阅、点评、讲解． 5.课堂小结，自我完善 师生共同总结，整理平行四边形的性质. 6.布置作业 教材P44练习第1，2题； 教材P49习题18.1第3，14题. 复习旧知识，为学习新知识及形成完整的知识结构奠定基础.训练学生的发散思维，引导学生快速进入积极思考的学习状态. 自主探究，让学生感受到成功的喜悦，激发学生的学习兴趣． 学生自己动手写出已知、求证、证明．学生完成后，再出示规范的解题过程，进行比较纠错，这样可以培养学生的逻辑推理能力． 对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，通过不断鼓励学生思考、交流，帮助学生学会分析、严格地使用几何语言书写解题步骤，培养逻辑推理能力． 通过随堂练习，加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知． 利用框架图回顾本节课的知识，联系旧知，更容易使学生形成知识网络. 板书设计 平行四边形对角线的性质 1.平行四边形对角线的性质： 2.平行四边形的性质总结： 例题 练习 教学反思 本节课从复习旧知着手，顺利由平行四边形边和角的性质过渡到平行四边形对角线的性质，并合理地提出猜想，然后通过学生合作、讨论、猜想、验证，最终得出结论.在教学过程中可以更多地加入动手操作的成分.课题平行四边形的判定（1）课型新授课教学内容教材第45-46页的内容教学目标1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路. 2.掌握用两组对边或两组对角或两条对角线的关系判定平行四边形的方法，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证. 3.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证能力．教学重难点教学重点：平行四边形的判定方法的探究、运用． 教学难点：平行四边形的判定定理的灵活应用．教 学 过 程备 注1.复习反思，引入新课 复习回顾(多媒体展示) 【问题1】通过前面的学习，我们对平行四边形已经有了一些了解，请说说你都知道了哪些? 师生活动:学生回答学习了平行四边形的概念“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，还有平行四边形的性质:对边相等，对角相等，对角线互相平分. 教师追问1：根据以往几何学习的经验，接下来我们应该研究什么呢? 师生活动:学生回答研究平行四边形的判定. 教师追问2：根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形.除了平行四边形的定义，我们如何寻找其他的判定方法呢? 2.经验类比，提出猜想 【问题2】回忆我们的学习经历，如勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定定理、平行线的判定等，我们有过类似的经验吗? 师生活动:在教师的引导下，回忆相关的知识，通过与相应图形性质定理的对比，得到启发：可以尝试从性质定理的逆命题出发研究图形的判定. 教师追问1:对于平行四边形，我们能否也可以通过研究性质定理的逆命题获得判定平行四边形的方法呢? 师生活动:教师顺势给出下表，待学生补充完善后形成猜想，并填入表格. 平行四边形的性质平行四边形的判定平行四边形的对边相等猜想1：平行四边形的对角相等猜想2：平行四边形的对角线互相平分猜想3：教师追问2:原命题正确，逆命题一定正确吗? 师生活动:学生回答不一定.教师适时提出得到的猜想是否正确必须经过逻辑推理才能确定. 3.理性思考，证明定理 【问题3】如何证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形？ 师生活动:师生共同画图，写出已知、求证、证明. 已知:如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:连接AC，如图. ∵AB=CD，AD=BC，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA. ∴∠2=∠1，∠3=∠4，∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 总结:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 【问题4】如何证明两组对角分别相等的四边形是平行四边形？ 师生活动:师生共同画图，探讨思路. 如图，在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，∠B=∠D，那么四边形ABCD一定是平行四边形吗?说说你的理由. 解：四边形ABCD一定是平行四边形.理由如下: ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°， ∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 【问题5】如何证明对角线互相平分的四边形是平行四边形？ 师生活动:教师引导学生画出图形，写出已知、求证. 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形. 教师追问:要证明AB//DC 以及AD//BC，根据平行线的判定，需要利用角的关系进行证明，你能得到相应的角的关系吗? 师生活动:学生回答可利用三角形全等证明内错角相等，从而得到两条直线平行.教师及时强调化四边形为三角形的思想.在此基础上师生共同完成证明过程. 小结:通过推理论证的真命题可以成为定理.我们把上述三个结论称为平行四边形的判定定理.加上平行四边形的定义，我们一共有四种判定平行四边形的方法. 4.学以致用，应用新知 考点1 利用两组对边分别相等判定四边形是平行四边形 【例1】已知四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，并且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是 ( ) A.任意四边形 B.平行四边形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 答案：B 考点2利用两组对角分别相等判定四边形是平行四边形 【例2】如图，AE，CF分别是▱ABCD的内角∠DAB，∠BCD的平分线.求证:四边形AECF是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD. 又∵∠1=12∠DAB，∠2=12∠BCD，∴∠1=∠2. ∵AD∥BC，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∴∠3=∠4， ∴∠5=∠6，∴四边形AECF是平行四边形. 考点3利用对角线互相平分判定四边形是平行四边形 【例3】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形． 思路点拨：根据平行四边形的性质可以得出OA＝OC，OB＝OD，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO. 又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO. 又∵BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形． 5.随堂训练，巩固新知 （1）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2 答案：D （2）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件 (写一个即可)，使四边形ABCD为平行四边形． 答案：AD∥BC（答案不唯一） （3）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形． 证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝ eq \f(1,2) OB，OF＝ eq \f(1,2) OD. ∴OE＝OF.∴四边形AFCE是平行四边形． （4）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.求证：四边形OPMN是平行四边形． 证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5， ∴OM2＋ON2＝42＋32＝25，MN2＝52＝25， ∴OM2＋ON2＝MN2.∴△MON是直角三角形，∠MON＝90°. ∴∠PMO＝∠MON＝90°. 在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x， 由勾股定理，得OM2＋MP2＝OP2，即42＋(11－x)2＝(x－3)2， 解得x＝8.∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3. ∴OP＝MN，MP＝ON.∴四边形OPMN是平行四边形． 6.课堂小结，自我完善 （1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种?这些方法是从什么角度去考虑的? （2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的?这样的探索过程对你有什么启发? 7.布置作业 教材P47练习第1，2，4题； 教材P50习题18.1第4，5题. 通过对已有知识与经验的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形判定问题. 从对命题的结构分析中提出猜想;在对原命题正确，而逆命题不一定正确的反思中体会证明的必要性. 帮助学生体会转化思想，即连接对角线将平行四边形问题转化成三角形问题．根据学生的认知水平，学生可能会在推理论证时遇到困难，教师应适当加以引导分析并规范书写推理论证的过程． 引导学生从定义出发，证明逆命题为真，理解平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分)和判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形）都是从定义出发经过推理得到的真命题. 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 鼓励学生畅所欲言，总结本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，进一步加深对所学知识的理解和记忆． 板书设计 平行四边形的判定（1） 1．平行四边形的判定定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线相互平分的四边形是平行四边形． 2．平行四边形的判定定理(1)的应用 例题 练习 教学反思 复习平行四边形的定义和性质，为引入判定做好铺垫，引导学生发现性质与判定的关系.本节课中判定的基本依据是平行四边形的定义.同时利用情景中的探究活动激发学生的思维.在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．课题平行四边形的判定（2）课型新授课教学内容教材第46-47页的内容教学目标1.掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法． 2.熟练掌握判定平行四边形的五种方法，并会应用它们解决问题． 3.经历探索、猜想、证明的过程，体会归纳、转化的数学思想；培养合情推理能力和严谨的逻辑表达能力，体会数学的应用价值.教学重难点教学重点：平行四边形各种判定方法及其应用，根据不同条件选择合适的判定方法． 教学难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．教 学 过 程备 注1.复习反思，情境引入 【复习回顾】上节课我们学习的平行四边形的判定方法有哪些?参照右图，你能用符号表示吗? 【情境引入】 取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ 由此提出猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2.理性思考，证明定理 【问题2】怎样证明上面的猜想？ 师生活动:教师引导学生写出已知、求证，并分析证明方法. 已知:如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:如图，连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA. 又AB=CD，AC=CA， ∴△BAC≌△DCA，∴BC=DA， ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 教师启发引导:这道题还可以这样证明. 证明:如图，连接AC. ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA. 又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA， ∴∠BCA=∠DAC，∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义). 师生活动：教师引导学生进行方法总结. 思考:我们进行证明时都用到哪些辅助线?证明的过程都用到什么方法呢? 符号语言:在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 教师追问:一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形吗? 师生活动：教师引导学生举出下面的反例即可，画出图形，如图，AB=CD，AD∥BC. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形 【例1】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形． 思路点拨：根据E，F分别是AB，CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，可得BE平行且等于DF. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，EB∥FD. 又∵EB＝ eq \f(1,2) AB，FD＝ eq \f(1,2) CD，∴EB＝FD. ∴四边形EBFD是平行四边形． 【方法总结】 判定平行四边形的基本思路： (1)若已知一组对边平行，可以证这组对边相等或另一组对边平行； (2)若已知一组对边相等，可以证这组对边平行或另一组对边相等； (3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等； (4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 考点2平行四边形的性质与判定的综合应用 【例2】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且AE=CF，AF与BE交于点G，DF与CE交于点H，连接EF，GH，则EF与GH是否互相平分?为什么? 解:EF与GH互相平分.理由如下: 在▱ABCD中，∵ADBC，AE=CF， ∴AECF，∴DEBF， ∴四边形AFCE，四边形BEDF都是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， ∴AF∥CE，BE∥DF， ∴四边形EGFH是平行四边形(平行四边形的定义)， ∴EF与GH互相平分. 4.随堂训练，巩固新知 （1）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( ) A.AB∥CD，AD=BC B.∠A=∠B，∠C=∠D C.AB=CD，AD=BC D.AB=AD，CB=CD 答案：C （2）如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充条件( ) A.AB＝DC B.∠1＝∠2 C.AB＝AD D.AD＝BC 答案：D （3）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E.若AD＝5 cm，BC＝12 cm，则CD的长是 cm． 答案：7 （4）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由． 解：四边形ABCD是平行四边形． 理由如下： ∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB. 又AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． （5）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6. ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②若AC⊥BD，求▱ABCD的面积． 解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC. ∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO. 又∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB.∴OD＝OB. ∴四边形ABCD是平行四边形． (2)∵AC⊥BD，∴S▱ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ eq \f(1,2) BD·OA＋ eq \f(1,2) BD·OC＝ eq \f(1,2) AC·BD＝24. 5.课堂小结，自我完善 （1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种? （2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的?这样的探索过程对你有什么启发? 6.布置作业 教材P47练习第3题； 教材P50习题18.1第6，9题.温故知新，为突破本节难点做准备． 利用操作探究引入新课，使学生经历从具体问题中抽象出数学问题的过程，激发学生强烈的好奇心和求知欲． 注意给予学生充足的时间进行探究、发现；鼓励学生写出“已知”和“求证”，并思考证明思路、书写过程，提高学生解题的规范性． 利用多种证明方法训练学生的发散思维，使学生体会解题方法，连接对角线将四边形化为三角形，然后用证明三角形全等的方法解决四边形问题． 通过例题，帮助学生掌握平行四边形的判定方法，并会综合运用平行四边形的判定和性质解决问题. 通过随堂训练，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的． 梳理总结本节及上节课学到的判定方法，自主建构知识体系，进一步加深对所学知识的理解和记忆． 板书设计 平行四边形的判定（2） 1．利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形 2．平行四边形的性质与判定的综合应用 例题 练习 教学反思 本节课先复习了前面学过的平行四边形的判定方法，为进一步探究打下基础.接着，通过观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，通过推理论证，进一步体验几何证明的严谨性.在授课过程中，关注每一位学生的情感体验，认真倾听每一位学生的心声，不断改进自己的教学.课题三角形的中位线课型新授课教学内容教材第47-49页的内容教学目标1.掌握三角形的中位线的概念和三角形中位线定理． 2.经历探索三角形中位线定理的证明过程，灵活运用三角形中位线定理解决有关问题． 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生推理论证的能力.教学重难点教学重点：掌握并能运用三角形的中位线定理． 教学难点：三角形中位线定理的证明(辅助线的添加方法).教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题 如图，A，B两点被池塘隔开，现在要测量出A，B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D，E，如果能测量出DE的长度，也就能知道A，B两点间的距离了．这是为什么呢？本节课我们就来探究其中的学问． 2.实践探究，学习新知 【问题1】上述问题中涉及三角形中重要的线段“三角形的中位线”，什么是三角形的中位线呢？ 师生活动：结合图形，教师引出三角形中位线的概念. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线. 教师追问1：一个三角形有几条中位线？你能画出来吗？ 教师追问2：画出三角形的中线和中位线，说出它们的不同． 师生活动：师生共同探究，一个三角形共有三条中位线;三角形的中位线与中线不一样，区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线. 【问题2】准备一张三角形纸片，记作△ABC，分别取AB，AC边的中点D，E，连接DE. (1)用直尺分别测量DE，BC的长，比较DE，BC的大小关系，并猜想DE，BC之间存在怎样的数量关系; (2)借助量角器测量有关角的大小，并猜想DE，BC之间的位置关系. 师生活动：学生动手操作，经历观察、测量，提出猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 教师追问1：怎样证明上面的猜想？ 师生活动:教师引导学生写出已知、求证，并分析证明方法. 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE.求证：DE∥BC，且DE=BC. 教师启发1：证明直线平行的方法有那些？ 师生活动：启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等. 教师启发2：证明线段倍分的方法有那些？（截长补短） 师生活动：学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程.强调还有其他证法. 证明：延长中位线DE到F，使EF=DE，连接CF，DC，AF. ∵AE=EC，DE=EF， ∴四边形ADCF为平行四边. ∴CF∥DA.∴CF∥BD. ∴四边形DBCF是平行四边形，DF∥BC. 又DE=12DF，∴DE∥BC，且DE=12BC. 师生总结归纳三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 作用：①证明平行问题；②证明一条线段是另一条线段的2倍或 eq \f(1,2) . 3.学以致用，应用新知 考点1 三角形中位线定理的应用 【例1】如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. 分析:因为各边中点，所以可设法应用三角形的中位线定理找到四边形EFGH的对边之间的关系.因为四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后得证. 证明:如图，连接AC. 在△DAC中，∵H，G分别是DA，CD的中点， ∴HG是△ACD的中位线， ∴HG∥AC，HG=12AC(三角形的中位线定理). 同理，EF∥AC，EF=12AC，∴HG∥EF，且HG=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形. 【例2】已知△ABC的各边长度分别为3 cm，4 cm，5 cm，则连接各边中点的三角形周长为( ) A.2 cm B．7 cm C．5 cm D．6 cm 答案：D 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在等边△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为( ) A.150° B．120° C．60° D．30° 答案：B 第（1）题 第（2）题 （2）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是 ( ) A.28 B.14 C.10 D.7 答案：B （3）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？ 解：能画出3个平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEFD、四边形DECF、四边形ADEF为平行四边形． （4）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，点E为BC的中点，连接DE.求∠BDE的度数． 解：如图，延长BD与AC相交于点F， ∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAF＝40°. 又∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°. ∴△ABD≌△AFD(ASA).∴BD＝DF. ∴∠ABF＝∠AFB＝50°.∴∠BFC＝130°. 又∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线． ∴DE∥FC.∴∠BDE＝∠BFC＝130°. 5.课堂小结，自我完善 （1）三角线的中位线的概念以及它与三角形中线的区别； （2）三角线中位线定理的内容及应用； （3）证明 “中点四边形”的辅助线的方法，连结对角线。 6.布置作业 教材P49练习第2，3题； 教材P50习题18.1第5，11题. 创设联系生活实例的生活情景，用多媒体展示，激发学生的学习兴趣，引入新课． 通过画图比较，巩固学生对三角形中位线概念的理解，培养严谨细致的学习习惯. 通过学生亲自动手画、量，猜想发现了三角形中位线定理，教师引导，启发学生思维，讨论找到证明中位线定理的方法.并由学生自己完成证明过程，充分发挥学生主动学习、合作学习和探究性学习的功能，培养了学生发现问题、探究问题的能力，以及用数学语言表述数学问题的能力等良好的数学品质. 通过例题，帮助学生掌握三角形中位线定理的知识，提高了知识的应用能力. 通过随堂训练，及时获知学生对所学知识的掌握情况，理解能力和运用程度，提高学生解决问题的能力． 梳理总结本节知识，总结本节课的方法，锻炼学生的口头表达能力，进一步加深对所学知识的理解和记忆． 板书设计 三角形的中位线 1．三角形中位线的定义 2．三角形中位线定理 例题 练习 教学反思 在授课过程中创设问题情境，为学生提供自主探索发现的空间，然后再去证明，从而使推理成为探索活动的自然延续和必要发展，让学生经历“猜想——探索——发现——推理”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，同时注重培养学生合作交流、共同研讨的习惯.课题矩形的性质课型新授课教学内容教材第52-53页的内容教学目标1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系． 2.探索并能证明矩形的性质，会用矩形的性质进行有关证明与计算． 3.理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论，会应用这一结论解决简单的问题.教学重难点教学重点：掌握矩形的性质． 教学难点：利用矩形的性质进行证明和计算．教 学 过 程备 注1.提出问题，引入新课 对一类几何图形的研究，我们常常按照从一般到特殊的思路进行.比如，研究了一般三角形后，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形.对于平行四边形我们也延续这样的思路进行研究. 【问题1】把平行四边形的一个内角特殊化——变为90°，会有什么样的特殊图形产生呢?你能给这种图形下一个定义吗?生活中存在这种图形吗? 师生活动:教师展示教具，对平行四边形活动框架进行动态演示.让学生观察从一般的平行四边形到矩形的变化过程，得出矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 教师追问:矩形在实际生活中大量存在和应用，这是因为此类图形有一些特殊的性质，你认为矩形有哪些性质?我们如何研究矩形的性质? 2.探究性质，深化认知 【问题2】如图，作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质.此外，矩形还有一般平行四边形不具有的特殊性质吗? 教师追问1：对于矩形，我们仍然从边、角和对角线等方面进行研究. （1）矩形的边是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? （2）矩形的角是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? （3）矩形的对角线是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? 师生活动:在已有活动教具的基础上，将对角线用橡皮筋连接，通过动态观察，引导学生体会边长确定时平行四边形的边、角、对角线的变化特点及制约关系.并在矩形形状时停留，引导学生类比平行四边形性质的探究过程，从边、角、对角线的角度进行思考、讨论、交流，得出初步猜想并归纳整理成文字表述. 猜想1:矩形的四个角都是直角;猜想2:矩形的对角线相等. 教师追问2：你能证明这些猜想吗? 师生活动:性质1的证明相对简单，让学生在定义的基础上进行口述证明即可. 证明矩形的对角线相等方法多样，如直接运用勾股定理进行证明，利用三角形全等证明线段相等，利用轴对称构造等腰三角形三线合一进行证明，等等.充分挖掘，鼓励学生尝试不同的证明方法，完整书写利用全等的证明过程.对于利用勾股定理与构造图形转化的证明思路由学生口述完成即可. 已知：AC，BD是矩形ABCD的对角线． 求证：AC＝BD. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°. ∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS).∴AC＝BD. 教师追问3：矩形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴. 师生活动:引导学生通过对折实验把矩形性质归结为轴对称的有关性质:对应角相等(四个角都是直角)，对应线段相等(对角线相等). 【问题3】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有怎样的数量关系？为什么有这样的数量关系？ 师生活动:学生分小组讨论，根据平行四边形的性质“对角线互相平分”，及矩形的性质“对角线相等”得出AO＝CO＝ eq \f(1,2) BD，DO＝BO＝ eq \f(1,2) AC. OC为Rt△BCD的中线，从而得打结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 教师追问:如图，三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处，这样的队形对每个人公平吗?请说明理由. 师生活动:学生积极发言，教师适时点拨. 3.学以致用，应用新知 考点1 矩形性质的应用 【例1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分． ∴OA＝OB. 又∵∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形．∴OA＝AB＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 【例2】两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2= ( ) A.α-90° B.α-45° C.180°-α D.270°-α 答案：C 考点2 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题 【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点.若AD=6，DE=5，求CD的长. 答案：8 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法不一定正确的是 ( ) A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD 答案：D （2）在直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是( ) A.6 B．4 C．8 D．12 答案：A （3）在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为( ) A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm 答案：D （4）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠ABD的度数为( ) A.60° B．62.5° C．65° D．67.5° 答案：B （5）如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( ) A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(3,10) 答案：B （6）如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F，求证：DF＝AB. 证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE， ∴∠EBA＝∠DFA＝90°，AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB. 又∠DAF=∠AEB，AD=EA，∴△AFD≌△EBA(AAS). ∴DF＝AB. 5.课堂小结，自我完善 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）矩形性质归纳 边的性质：对边平行且相等. 角的性质：四个角都是直角. 对角线的性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是轴对称图形. （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （4）矩形中的相关计算或证明问题通常转化到直角三角形或等腰三角形中，需要综合应用三角形和四边形的知识. 6.布置作业 教材P53练习第1，2，3题； 教材P61习题18.2第9题. 借助实物的动态变化，让学生直观感知角的变化带来平行四边形的改变，体会矩形是平行四边形角特殊化后的产物，自然引出矩形的概念. 调动已有学习经验，结合教具进行演示，使学生在动态中感知，在静态中思考，类比经验探究矩形的特殊性质. 引导学生证明猜想，得到定理，再次体会几何研究的“观察—猜想—证明”过程. 引导学生用轴对称观点探究矩形的性质. 理解直角三角形与矩形的关系，进一步体会用特殊四边形的性质研究特殊三角形的策略，得到直角三角形斜边上中线的性质. 应用刚得到的结论解释其中的数学道理，巩固新知，体会定理的应用价值. 设置例题帮助学生掌握矩形的性质，并会运用矩形的性质来解决问题． 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，使每个学生都能有所收获、有所提高. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会数学思想方法.课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 矩形的性质 1.矩形的定义： 2.矩形的性质： 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半： 例题 练习 教学反思 教学中让学生充分经历从实际生活中抽象数学图形到深入认识图形特征的过程，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，注重知识的渗透，在适度的方法训练中加强知识的灵活运用，教学思路清晰，详略安排得当，练习合理.课题矩形的判定课型新授课教学内容教材第54-55页的内容教学目标1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法． 2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能力． 3.能应用矩形的定义、判定等知识解决简单的证明和计算问题，进一步培养学生的分析能力．教学重难点教学重点：矩形的判定定理及其应用． 教学难点：综合运用矩形的性质和判定及其相关结论解决问题．教 学 过 程备 注1.复习反思，情境引入 【复习反思】（1）什么是矩形？矩形有哪些性质？ （2）说说矩形与平行四边形之间的联系：有什么共同点？不同点？矩形与平行四边形的从属关系是什么？ 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师点拨分析矩形与平行四边形及四边形的从属关系． 【情境引入】 小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的相框是矩形？看看谁的方法可行？ 师生活动:可布置学生课前用两对长短不一的木条制作简易矩形框架，用于课堂模拟. 2.实践探究，学习新知 【问题1】工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是不是矩形，采用了一种方法：量一量这个四边形的两条对角线长度，若对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道这是为什么吗？ 师生活动:教师分析，两组对边相等的四边形是平行四边形.引导学生继续猜想：对角线相等的平行四边是矩形. 教师追问：如何证明这一猜想? 师生活动:教师指导学生画出图形，写出已知、求证，学生观察思考后尝试证明;教师巡视指导，辅助学生;展示学生成果，教师规范板书证明过程. 已知：如图，在▱ABCD中，AC＝DB. 求证：▱ABCD是矩形． 证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC. ∵AC＝DB，BC＝CB. ∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠ABC＝∠DCB. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴∠ABC＝90°.∴▱ABCD是矩形． 矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形． 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 【问题2】我们知道，矩形的四个角都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 师生活动：学生先独立思考，再讨论交流，得出有三个角是直角的四边形是矩形. 教师追问：如何证明这个结论？ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形． 3.学以致用，应用新知 考点1 判定矩形的条件 【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 答案：D 【方法归纳】判定矩形的基本思路： ①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角； ②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形； ③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等． 考点2 矩形判定与性质的综合应用 【例2】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数． 分析：先证明▱ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，即可求出∠OAB的度数． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝ eq \f(1,2) AC，OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD. 又∵OA＝OD，∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． ∴∠DAB＝90°.又∵∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ ①有一个角是直角的四边形是矩形. (×) ②有四个角是直角的四边形是矩形. (√) ③四个角都相等的四边形是矩形. (√) ④对角线相等的四边形是矩形. (×) ⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形. (√) ⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形. (×) ⑦一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形. (√) ⑧两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形. (√) （2）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积． 分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=12AC，BO=12BD. ∵AO=BO，∴AC=BD． ∴ ▱ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm， ∴BC=（cm）． ∴S▱ABCD=AB·BC=4×43=163（cm2）. （3）如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． 求证：四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC． ∴∠DAB＋∠ABC=180°． 又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ， ∴∠EAB＋∠ABG=12×180°=90°．∴∠AFB=90°． 同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°． ∴四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 5.课堂小结，自我完善 矩形的三种判定方法． 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形； 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． 6.布置作业 教材P55练习第1题； 教材P60习题18.2第1，2，3题.复习矩形的定义和性质，凸显平行四边形和矩形之间的联系，为新问题的提出做好准备. 通过实际问题引发学生思考，让学生感受判定矩形的必要性，体会数学在实际生活中的应用． 通过探究活动为学生提供充分发挥创造力的空间，调动学生的积极性． 由矩形性质的逆命题成立与否提出猜想，目标明确，容易获取结论. 设置例题帮助学生掌握矩形的判定，并综合运用矩形的性质和判定解决问题． 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，及时获知学生对所学知识的掌握情况，使每个学生都能有所收获、有所提高. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会数学思想方法. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 矩形的判定 1.对角线相等的平行四边形是矩形 2.有三个角是直角的四边形是矩形 3.判定矩形的基本思路 例题 练习 教学反思 以问题的形式展开对矩形的判定方法的探究，师生总结问题结论后，教师安排对应的判定方法训练题巩固新知，学以致用..在本课时的教学中，教师应最大限度地将课堂交给学生，提高学生学习的积极性与主动性.课题菱形的性质课型新授课教学内容教材第55-56页的内容教学目标1.了解菱形的概念，理解并掌握菱形的性质． 2.经历菱形性质的探究过程，培养动手实验、观察推理的意识，发展形象思维和逻辑推理能力． 3.根据菱形的性质进行简单的证明，培养逻辑推理能力和演绎能力．教学重难点教学重点：菱形性质的探究． 教学难点：灵活运用菱形的性质解决问题．教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题 【问题1】如图，是用四根木条搭成的一个平行四边形框架A′B′CD，平移木条A′B′至AB，使得AB=AD，这时所得到的平行四边形ABCD有什么特征？说说看，并与同伴交流. 师生活动：利用教具进行演示.改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，引出菱形的概念. 2.思考探究，获取新知 【问题2】从上述图形与平行四边形关系的角度出发，你能给出菱形的定义吗? 师生活动：教师指导学生“仿照平行四边形和矩形的定义来定义新图形”.学生尝试给出菱形的定义后，教师修正并板书菱形的定义. 总结:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 教师提醒学生:(1)菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等.两者必须同时具备，缺一不可.(2)菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法. 教师追问1:你能举出生活中的一些菱形的例子吗? 教师追问2:菱形与平行四边形之间有什么关系? 【问题3】如图，将一个菱形分别沿它的两条对角线对折，然后打开. 观察图形，思考问题: (1)你能看出图中哪些线段或角相等? (2)你能得到哪些特殊三角形? (3)菱形是轴对称图形吗?若是，它有几条对称轴，分别是什么，对称轴之间有什么位置关系? 师生活动：教师提醒学生“菱形具有平行四边形的所有性质”，要求学生指出菱形边、角、对角线的其他性质;学生操作后思考、交流，并回答问题.教师根据学生的交流结果展示证明过程并板书菱形的性质. 性质1：菱形的四条边都相等. 符号语言:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA. 性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 符号语言：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA. 师生活动：教师指出，菱形性质的证明中所涉及的线段和角相等问题，仍然延续平行四边形和矩形中的方法——将所要证明的线段和角放在三角形中，综合利用三角形和四边形的知识来解决. 3.学以致用，应用新知 考点1 菱形的性质 【例1】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠C的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 答案：B 【例2】如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，AB=5cm，AO=4cm，求两条对角线AC和BD的长. 解：由菱形的性质知：BD⊥AC，AC=2AO＝8cm，BD＝2BO. 在Rt△AOB中，BO＝==3cm. ∴BD=6cm. 故两条对角线AC长为8cm，BD长为6cm. 考点2 菱形的面积 【例3】 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 分析：要求两条小路的长和花坛的面积，可以在Rt△ABO中，应用直角三角形的性质和勾股定理求出OA，OB的长． 解：∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝ eq \f(1,2) ×60°＝30°. 在Rt△OAB中，AO＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×20＝10， BO＝ eq \r(AB2－AO2) ＝ eq \r(202－102) ＝10 eq \r(3) . ∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20(m)，BD＝2BO＝20 eq \r(3) ≈34.64(m). 花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△OAB＝ eq \f(1,2) AC·BD＝200 eq \r(3) ≈ 346.4(m2). 方法总结：(1)菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形综合在一起.(2)菱形的面积也可以表示为两条对角线乘积的一半. 4.随堂训练，巩固新知 （1）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对边相等 B．对角相等 C.对角线互相平分 D．对角线互相垂直 答案：D （2）已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为 cm. 答案：5 （3）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是(3，4)，则点C的坐标是(8，4)． （4）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F. 求证：AE=CF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA=BC，∠A=∠C. ∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°. 在△ABE和△CBF中，∠BEA=∠BFC,∠A=∠C,BA=BC, ∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴AE=CF. （5）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，AB＝6. (1)求∠ABC的度数； (2)求AC的长． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝2∠ACD＝60°，AB∥CD. ∴∠ABC＝180°－60°＝120°. (2)连接BD交AC于点O，则∠AOB＝90°，AO＝CO. ∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝30°.∴OB＝ eq \f(1,2) AB＝3. ∴OA＝ eq \r(AB2－OB2) ＝3 eq \r(3) .∴AC＝6 eq \r(3) . 5.课堂小结，自我完善 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2）菱形的性质：它具有平行四边形的所有性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 6.布置作业 教材P57练习第2题； 教材P60习题18.2第5，11题.通过实物模型让学生感受由平行四边形演变成菱形的过程，体会到菱形也是一种特殊的平行四边形，在感性认识的基础上加深理解. 通过观察，获得菱形的初步感性认识.听过追问，理清平行四边形与菱形的关系. 在对折中可以观察到重合的边与角，学生容易发现菱形的边、角、对角线的性质. 经典例题教学，不仅巩固了菱形的性质，更在问题的解决过程中，体现了常规方法的运用. 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，了解学生对菱形性质的掌握情况． 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 菱形的性质 1.菱形的定义 2.菱形的性质 3.菱形的面积 例题 练习 教学反思 本课时教学可以用木条、纸片等实物进行演示，教师要引导学生比较菱形与一般平行四边形的区别在于是否有一组邻边相等.并鼓励学生分组交流，教师可从中抽出一两个组的学生，让他们作为代表总结所得出的结论，教师再予以点评.在整个教学过程中，教师应引导学生采用类比的方法，以发展学生的逻辑思维能力和演绎能力.课题菱形的判定课型新授课教学内容教材第57-58页的内容教学目标1.掌握菱形的判定定理及其证明方法． 2.能利用菱形的判定定理解决一些简单的问题． 3.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及推理能力．教学重难点教学重点：菱形的判定定理及其应用． 教学难点：探究菱形的判定条件．教 学 过 程备 注1.复习回顾，导入新课 【问题1】（1）矩形的定义、性质和判定定理分别是什么？ 矩形的定义、性质矩形的判定有一个角是直角的平行四边形叫做矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等对角线相等的平行四边形是矩形四个角都是直角有三个角是直角的四边形是矩形（2）回顾菱形的定义及性质，填表： 菱形的定义、性质菱形的判定一组邻边相等的平行四边形叫做菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角？四条边都相等？教师追问：你能通过类比发现菱形的判定定理吗？ 师生活动：教师出示问题，学生填写表格，通过类比引起对菱形判定定理的思考． 2.实践探究，获取新知 【问题2】如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 师生活动：学生猜想， 当两个木棒之间的夹角等于90度时，得到的图形是菱形.请学生代表利用学具展示说明. 教师追问：你能证明这个猜想吗? 师生活动:学生思考后小组内交流证明思路，教师引导学生规范的文字题证明，然后学生写出证明过程并简明的点评. 已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD，∴BA=BC.∴□ABCD是菱形. 归纳菱形的判定定理：对角线互相垂直度平行四边形是菱形. 【问题2】拿出课前准备的两个全等的等腰三角形纸板（不等边），动手拼一拼，看看可以拼出几种平行四边形. （1）当两底边重合时拼出的四边形是什么图形？它的四条边有什么样的数量关系？ （2）你能得到什么结论？ 师生活动：学生代表展示作品，并利用作品说明结论，最后得出：四条边相等的四边形是菱形.教师指导学生规范完成几何论证过程. 已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明:∵AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形. 归纳菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形. 数学语言：∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形. 3.学以致用，应用新知 考点1 菱形的判定 【例1】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3.求证：▱ABCD是菱形． 分析：在△AOB中，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再结合四边形ABCD是平行四边形即可得证． 证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，∴AB2＝AO2＋BO2. ∴△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°. ∴▱ABCD是菱形． 【例2】如图，在△ABC中，AB=BC，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.求证：四边形BDEF是菱形. 证明：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点， ∴DE=12AB，EF=12BC，BF=12AB，BD=12BC. 又AB=BC，∴DE=EF=BF=BD.∴四边形BDEF是菱形. 考点2 菱形判定与性质的综合 【例3】如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若BF＝BA，AD＝4，DF＝2，求BF的长． 解：(1)证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD. 又∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形． (2)∵DE＝DF＝2，∴EF＝2DF＝4. 设BE＝x，则BD＝BE＋DE＝x+2，BA＝BF＝BE＋EF＝x+4. 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝BA2， 即42＋(x＋2)2＝(x＋4)2，解得x＝1. ∴BF＝x＋4＝5，即BF的长为5. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是 ( ) A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO 答案：B （2）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为 ，面积为 ． 答案：20，24 （3）如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形． 证明：∵AB∥DM， ∴∠BAM＝∠AMD. 由折叠性质，得∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM. ∴∠DAM＝∠AMD. ∴AD＝DM＝AB＝BM. ∴四边形ABMD是菱形． （4）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AB＝AC＝4，∠ABC＝60°. ①求证：▱ABCD是菱形； ②求BD的长． 解：①证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC.∴▱ABCD是菱形． ②∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD. ∵AB＝AC＝4，∴AO＝2.∴BO＝2 eq \r(3) ，BD＝2OB＝4 eq \r(3) . 5.课堂小结，自我完善 （1）本节课你学习了几种判定菱形的方法？ （2）你是怎样得到这些判别方法的？ （3）对本节课的学习你有什么感受和想法？ 6.布置作业 教材P58练习第2，3题； 教材P60习题18.2第6，10题. 回顾矩形的定义、性质及判定，菱形的定义、性质，通过类比，建立知识之间的联系，激发学生的求知欲，为突破本节课重难点做准备. 引导学生认识菱形的判定定理与菱形的性质定理是互逆定理后，让学生独立思考，逐步锻炼学生的推理论证能力． 这一探究活动贴近生活、轻松自然.学生利用平行四边形的判定和菱形的定义，演示说明自己的作品就是菱形，进一步培养了推理论证能力，体验了数学与生活的密切联系，产生了极大的成就感. 设置例题帮助学生掌握菱形的两个判定定理，并综合运用菱形的判定和性质来解决问题． 通过随堂训练，巩固课堂所学内容，检测学习效果，进一步培养根据已知条件和对图形的观察进行合情推理，选择合适的判定方法进行推理论证的能力. 通过问题1，让学生理清知识结构，明确菱形的三种判定方法；通过问题2和3，让学生反思学习过程，感受探究中的乐趣，树立自信心. 板书设计 菱形的判定 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.四条边相等的四边形是菱形 例题 练习 教学反思 学生获得知识，建立在自己体验和思考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生通过自主、合作、探究的学习方式，亲身经历观察、实验、猜想、推理、论证、展示、交流等活动，才能在数学思考、问题解决、数学素养等方面得到发展.课题正方形课型新授课教学内容教材第58-59页的内容教学目标1.掌握正方形的性质和判定以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系． 2.运用正方形的性质及判定进行简单的计算、推理、论证． 3.让学生感受从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想方法．教学重难点教学重点：探索正方形的性质及判定定理． 教学难点：理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及正方形的性质和判定的应用.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题 （1）观察图片：正方形的地板砖、印章、钟表、包装盒等． （2）在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形和菱形分别有什么关系？ 师生活动：教师出示图片和问题，学生回答，四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫正方形． 2.探究性质，深化认知 【问题1】（1）做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 师生活动：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． （2）做一做：观看电动伸缩门的开合.如图，某一拉门在关闭时，其相应的菱形变成正方形．说说图中∠1的变化过程. 师生活动：老师引导学生观察，伸缩门在关闭的过程中，图中的四边形的形状是如何改变的？∠1的变化的过程如何. 教师追问1：通过前面的探究，我们知道正方形既是矩形，又是菱形，还是平行四边形，所以平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有怎样的关系？ 师生活动：学生先自主思考，再合作交流，填写关系图.老师鼓励学生进行小组内部及小组之间的交流与合作，在学生遇到困难时，及时给与帮助. 教师追问2：如何给出正方形的定义？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．其定义包括了两层意思： ⑴有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ⑵有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 【问题2】正方形既是矩形又是菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.正方形的边，角，对角线有哪些性质？是不是轴对称图形？ 平行四边形菱形矩形正方形边角对角线轴对称图形对称轴(条数)师生活动:学生自主完成后，小组内、小组间交流改错.老师检查，在学生遇到困难时，及时给与帮助. 【问题3】在小组内说一说，证明一下： （1）正方形的四个角都是直角，四条边相等； 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边都相等，四个角都是直角. （2）正方形的对角线相等且互相垂直平分. 已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 思考：从上题图可看出: （1）正方形的一条对角线把正方形分割成什么图形？ （2）正方形的两条对角线把正方形分割成什么图形？ 学生自主思考后总结： 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形. 老师点拨说明：这是正方形的特殊性质，有关正方形的问题可以利用对角线转化到直角三角形中解决.从而达到把未知问题转化为已知问题来解决. 【问题4】在问题1的做一做中，为什么可以折出正方形纸片？猜想：满足怎样条件的矩形是正方形. 请证明：对角线互相垂直的矩形是正方形． 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形． 【问题5】把能活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状．量量看是不是正方形．猜想：满足什么条件的菱形是正方形？ 请证明：对角线相等的菱形是正方形． 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝DB. 求证：四边形ABCD是正方形． 总结:要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有一组邻边相等(或有一个角是直角)，其实质就是根据正方形的定义来判定.也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的两条对角线相等并且互相垂直. 3.学以致用，应用新知 考点1 正方形性质的应用 【例1】如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则BF的长是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.2 答案:C 【例2】已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：EA⊥AF． 师生活动：学生先观察，思考，明确已知条件、结论，初步有自己的思考方向，老师再引导学生在问题解决时聚焦问题的关键点，以及突破的策略、运用的数学知识与思想方法. 考点2正方形的判定 【例3】如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°. 求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°. ∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°. ∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°. ∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°. ∴△AEB≌△AFD(AAS).∴AB＝AD. ∴矩形ABCD是正方形． 4.随堂训练，巩固新知 （1）正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直 C.对角互补 D.对角线相等 答案:B （2）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ) A.4个 B．6个 C．8个 D．10个 答案：C （3）四边形ABCD的对角线交于点O，下列选项中不能判定其是正方形的是 ( ) A.AB∥CD，AB=AD，∠BAD=90° B.AB=BC=CD=AD，∠ABC=90° C.∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AC=BD D.AO=CO=BO=DO，AC⊥BD 答案：C （4）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥CD，则OE＝ ． 答案：2 （5）如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E，F. (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形?试说明理由; (2)在(1)中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形?为什么? 答案:(1)AD=2AB，理由略. (2)BC的中点，理由略. 5.课堂小结，自我完善 （1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？运用到了哪些数学思想方法？说出来与大家分享！还有什么困惑？ （2）展示平行四边形、菱形、矩形、正方形四种图形的包含关系图,引导学生回顾正方形的定义和性质,并说出这几种图形之间的联系与区别. 6.布置作业 教材P59练习第1，2题； 教材P61习题18.2第7，12,13,15题.欣赏生活中常见的图形或图片，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，激发学生强烈的好奇心和求知欲. 通过折叠裁剪得出正方形，观察其图形特征，明白制作原理:邻边相等的矩形是正方形. 观察伸缩门在关闭的过程中，四边形的形状及∠1的变化，找到其中蕴含的数学原理：一个角为直角的菱形是正方形. 通过以上问题情境的创设，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，激发学生的学习兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索学习的氛围. 体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系． 通过自主归纳总结，不仅回顾了所学知识，而且培养了归纳概括的能力，学生的发散思维能力和创新能力得到了加强. 老师引导学生独立思考，设置例题，帮助学生掌握正方形的性质和判定，进一步培养学生逻辑思维能力和推理论证能力． 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，使每个学生都能有所收获、有所提高. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会知识之间的联系. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 正方形 （1）正方形的定义和性质 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形． 对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角． （2）正方形的判定 例题 练习 教学反思 在真实情境中提出能引发学生思考的数学问题，问题的提出应引发学生认知冲突，激发学生学习动机，促进学生积极探究，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，体会数学是认识、理解、表达真实世界的工具、方法和语言，增强认识真实世界、解决真实问题的能力，树立学好数学的自信心，养成良好的学习习惯. 在课堂教学中,要注意发挥学生的主体作用,团队作用,让学生通过独立思考,合作交流等方式,积极参与到课堂的教学活动中,真正做课堂的主人,学习的主人.
0 人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》同步教学设计 单 元 备 课 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形边、角的性质 18.1.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形对角线的性质 18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定（1） 18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定（2） 18.1.2 平行四边形的判定 第3课时 三角形的中位线 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 18.2.1 矩形 第2课时 矩形的判定 18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 18.2.2 菱形 第2课时 菱形的判定 18.2.3 正方形 第18单元本单元所需课时数10课时课标要求1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系; 2.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. 3.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离. 5.探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等;菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 6.探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 7.正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系. 8.探索并证明三角形的中位线定理.教材分析本章我们在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形;并通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延;探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力.主要内容本章先研究平行四边形，在平行四边形的基础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形. 第18.1节主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理;在平行四边形概念和性质定理的基础上，介绍两条平行线之间距离的概念;作为性质定理和判定定理的一个应用，探索并证明三角形中位线定理. 第18.2节首先研究特殊的平行四边形——矩形和菱形，它们分别是有一个角是直角和有一组邻边相等的特殊平行四边形.第18.2.1小节和第18.2.2小节分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理.在矩形和菱形的基础上，再研究它们的特殊情况，即同时具有两个特殊条件的平行四边形——正方形.第18.2.3小节给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质定理和判定定理.教学目标1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系. 2探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算. 3.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离. 4.探索并证明三角形中位线定理. 5.通过经历平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力. 6.通过平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力， 7.通过分析平行四边形与矩形、菱形、正方形概念之间的联系与区别，使学生进一步认识一般与特殊的关系．课时分配18.1 平行四边形 5课时 18.2 特殊的平行四边形 5课时教与学建议1.关于平行四边形与特殊平行四边形概念之间属加种差、内涵与外延之间的关系. 2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力. 3.注意帮助学生梳理知识内容. 4.关注信息技术的应用.课题平行四边形边、角的性质课型新授课教学内容教材第41-43页的内容教学目标1.理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的性质． 2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质． 3.初步体会几何研究的一般思路与方法．教学重难点教学重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 教学难点：平行四边形边、角性质的运用．教 学 过 程备 注1.创设情境，引入新课 前面我们已经学习了许多图形与几何知识，掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法，从本节开始，我们继续研究生活中的常见图形． 【问题1】观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？ 师生活动:学生积极发言，教师用电脑演示从实物中抽象出平行四边形的过程. 【问题2】你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？它有哪些性质呢？今天我们共同来研究这个问题吧！ 师生活动:教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质，又可以作为判定平行四边形的依据.教师画图示范，结合图形介绍平行四边形的符号表示及对边、对角、对角线等元素. 2.概括证明，探究性质 【问题3】回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是什么? 师生活动:学生可能难以回答，此时教师引导学生回顾全等三角形的学习过程，得出研究的一般过程:先给出定义，再研究性质和判定.教师进一步指出:性质的研究，其实就是对边、角等基本要素的研究. 【问题4】对于平行四边形，从定义出发，除了“两组对边分别平行”外，你能得出它的边、角有什么性质? 师生活动:教师出示投影，说明活动步骤，学生以小组为活动单位，根据活动步骤操作，教师指导. (1)根据定义画一个平行四边形ABCD; (2)度量对边AB与CD的长，BC与DA的长，可得什么结论? (3)度量对角∠A与∠C，∠B与∠D的大小，可得什么结论? 教师追问1：观察并思考，平行四边形的对边之间、对角之间分别有什么关系?由此你能得到什么结论? 猜想:(1)边:对边平行且相等.(2)角:对角相等，邻角互补. 教师追问2:你能证明这些结论吗? 师生活动:一般地，学生会先考虑分别证明这两个结论，利用平行线的性质证明对角相等，通过添加辅助线，利用全等证明对边相等.证后会发现用全等可以同时证明这两个结论.让学生领悟，证明线段相等(或角相等）通常采用证明三角形全等的方法.而图形中没有三角形，只有四边形，我们需添加辅助线，构造全等三角形，将四边形问题转化为三角形问题来解决，突破难点，进而总结提炼出化四边形问题为三角形问题的基本思路. 已知:如图，四边形ABCD是平行四边形. 求证:AB=CD，AD=CB. 证明:如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA(ASA). ∴AB=CD，AD=CB，∠B=∠D. 教师追问3:通过证明，发现上述两个猜想正确.这样就得到了平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论，并运用这两个性质进行推理吗? 师生活动:教师引导学生辨析定理的题设和结论，明确应用性质进行推理的基本模式. 例 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE＝CF. 师生活动:师生交流，要证明线段相等，我们可以利用全等三角形的性质，而全等的条件可由平行四边形的性质得到.在此基础上，引导学生写出证明过程，并组织学生进行点评. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB. 又∵∠AED＝∠CFB＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS). ∴AE＝CF. 教师追问：DE=BF 吗?如图，直线a//b， A，C为直线a上任意两点，点A到直线b的距离和点C到直线b的距离相等吗?为什么? 师生活动:结合前面的分析，可以得出如果两条直线平行，那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间距离的概念. 师生总结性质：两条平行线间的距离处处相等． 3.学以致用，应用新知 考点1 平行四边形的概念 【例1】如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF，GH相交于点O，图中共有多少个平行四边形? 答案:9个. 考点2 平行四边形的性质 【例2】 (1)如图1，在▱ABCD中，BC=BD，∠C=74°，则∠ADB的度数是 . 图1 图2 (2)如图2，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是 . 答案：（1）32° （2）20 考点3 平行线之间的距离 【例3】如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接AC，BE，EC.求证:S△ABC=S△EBC. 证明:分别过点A，E作AF⊥BC于点F，EG⊥BC于点G. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. 又由作法知AF和EG的长分别是AD上的点A，E到直线BC的距离，∴AF=EG，∴S△ABC=S△EBC. 4.随堂训练，巩固新知 （1）已知在▱ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B的度数是 . 答案：60° （2）在▱ABCD中，若AB＝3 cm，AD＝4 cm，则▱ABCD的周长为 cm. 答案：14 （3）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F.求证：BE∥DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC. ∵BE平分∠ABC，∴∠2=∠ABC. 又DF平分∠ADC，∴∠3=∠ADC，∴∠2=∠3. ∵AD∥BC，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3，∴BE∥DF. 5.课堂小结，自我完善 1.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等. 2.解题方法:平行四边形的对角线是我们常作的辅助线，它构造出两个全等的三角形，从而将四边形问题转化为熟悉的三角形问题.体现了由未知转化为已知，由繁化简的数学思想. 3.研究一个几何图形的一般思路是:先给出定义，再研究性质和判定.下一步我们还要继续研究平行四边形的性质与判定. 6.布置作业 教材P43练习第1，2题； 教材P49习题18.1第1，2，7，8题. 通过图片展示，让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型，进而从实际背景中抽象出平行四边形，让学生经历将实物抽象为图形的过程. 给出定义，强调定义的作用. 对图形性质的研究，重在解决研究什么和怎么研究的问题，引导学生通过类比全等三角形确定平行四边形性质的研究目标和研究思路， 引导学生证明猜想，体会证明思路的分析方法和把四边形问题转化为三角形问题的基本想法. 应用性质进行推理，体会得到证明思路的方法. 结合例题的进一步追问，自然引出平行线间距离的概念，点到即可，不必深究. 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会数学思想方法.课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 平行四边形边、角的性质 1.平行四边形的定义： 2.平行四边形的性质： 3.平行线之间的距离： 例题 练习 教学反思 学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质，从中体会亲自动手实践学到知识的乐趣，获得成功的体验．注意联系三角形全等的知识，通过类比确定平行四边形的研究思路，培养学生良好的学习习惯.课题平行四边形对角线的性质课型新授课教学内容教材第43-44页的内容教学目标1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题． 3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．教学重难点教学重点：平行四边形对角线性质的探究与应用． 教学难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.教 学 过 程备 注1.回顾旧知，引入新课 复习提问:(1)什么样的四边形是平行四边形? (2)前面我们学习过平行四边形的什么性质? ①具有一般四边形的性质(内角和是360°). ②角:平行四边形的对角相等，邻角互补. 边:平行四边形的对边平行且相等. 师生活动:教师提问，学生抢答，教师根据学生回顾情况梳理知识，并提出平行四边形对角线有什么关系. 2.实践探究，交流新知 【问题1】已知在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，图中有哪些三角形全等？哪些线段是相等的？请同学们用多种方法加以验证． 师生活动：学生分组讨论，大胆讲出自己的想法，并交流不同的验证思路．教师点拨思路： 图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA.有如下线段相等：OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AB＝DC.证明中应用到“AAS”“ASA”． 师生总结：平行四边形的对角线互相平分． 师生共同写出平行四边形对角线性质的证明： 已知：如图，▱ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O. 求证：OA＝OC，OB＝OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO. ∴△AOD≌△COB(ASA).∴OA＝OC，OB＝OD. 师生活动：学生板书证明过程，教师给予指正． 3.学以致用，应用新知 【例】 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积． 教师引导分析:先用平行四边形的性质求边长，再用勾股定理求平行四边形BC边上的高，最后用公式计算▱ABCD的面积. 解: ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10. ∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形． 根据勾股定理，得AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(102－82) ＝6. 又OA＝OC，∴OA＝ eq \f(1,2) AC＝3，S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48. 师生活动：学生独立书写证明过程，老师进行讲解，特别是证明的步骤． 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( ) A.AO＝OD B．AO⊥OD C.AO＝OC D．AO⊥AB 答案：C （2）如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线长的和是 . 答案：36 （3）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)有 个. 答案：3 （4）如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为 cm. 答案：4 （5）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF=CE. 求证:BE=DF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB. 又∵AF=CE，∴OE=OF. 在△BEO和△DFO中，OB=OD,∠BOE=∠DOFOE=OF,， ∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF. 师生活动：学生当堂检测，教师批阅、点评、讲解． 5.课堂小结，自我完善 师生共同总结，整理平行四边形的性质. 6.布置作业 教材P44练习第1，2题； 教材P49习题18.1第3，14题. 复习旧知识，为学习新知识及形成完整的知识结构奠定基础.训练学生的发散思维，引导学生快速进入积极思考的学习状态. 自主探究，让学生感受到成功的喜悦，激发学生的学习兴趣． 学生自己动手写出已知、求证、证明．学生完成后，再出示规范的解题过程，进行比较纠错，这样可以培养学生的逻辑推理能力． 对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，通过不断鼓励学生思考、交流，帮助学生学会分析、严格地使用几何语言书写解题步骤，培养逻辑推理能力． 通过随堂练习，加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知． 利用框架图回顾本节课的知识，联系旧知，更容易使学生形成知识网络. 板书设计 平行四边形对角线的性质 1.平行四边形对角线的性质： 2.平行四边形的性质总结： 例题 练习 教学反思 本节课从复习旧知着手，顺利由平行四边形边和角的性质过渡到平行四边形对角线的性质，并合理地提出猜想，然后通过学生合作、讨论、猜想、验证，最终得出结论.在教学过程中可以更多地加入动手操作的成分.课题平行四边形的判定（1）课型新授课教学内容教材第45-46页的内容教学目标1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路. 2.掌握用两组对边或两组对角或两条对角线的关系判定平行四边形的方法，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证. 3.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证能力．教学重难点教学重点：平行四边形的判定方法的探究、运用． 教学难点：平行四边形的判定定理的灵活应用．教 学 过 程备 注1.复习反思，引入新课 复习回顾(多媒体展示) 【问题1】通过前面的学习，我们对平行四边形已经有了一些了解，请说说你都知道了哪些? 师生活动:学生回答学习了平行四边形的概念“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，还有平行四边形的性质:对边相等，对角相等，对角线互相平分. 教师追问1：根据以往几何学习的经验，接下来我们应该研究什么呢? 师生活动:学生回答研究平行四边形的判定. 教师追问2：根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形.除了平行四边形的定义，我们如何寻找其他的判定方法呢? 2.经验类比，提出猜想 【问题2】回忆我们的学习经历，如勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定定理、平行线的判定等，我们有过类似的经验吗? 师生活动:在教师的引导下，回忆相关的知识，通过与相应图形性质定理的对比，得到启发：可以尝试从性质定理的逆命题出发研究图形的判定. 教师追问1:对于平行四边形，我们能否也可以通过研究性质定理的逆命题获得判定平行四边形的方法呢? 师生活动:教师顺势给出下表，待学生补充完善后形成猜想，并填入表格. 平行四边形的性质平行四边形的判定平行四边形的对边相等猜想1：平行四边形的对角相等猜想2：平行四边形的对角线互相平分猜想3：教师追问2:原命题正确，逆命题一定正确吗? 师生活动:学生回答不一定.教师适时提出得到的猜想是否正确必须经过逻辑推理才能确定. 3.理性思考，证明定理 【问题3】如何证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形？ 师生活动:师生共同画图，写出已知、求证、证明. 已知:如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:连接AC，如图. ∵AB=CD，AD=BC，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA. ∴∠2=∠1，∠3=∠4，∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 总结:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 【问题4】如何证明两组对角分别相等的四边形是平行四边形？ 师生活动:师生共同画图，探讨思路. 如图，在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，∠B=∠D，那么四边形ABCD一定是平行四边形吗?说说你的理由. 解：四边形ABCD一定是平行四边形.理由如下: ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°， ∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 【问题5】如何证明对角线互相平分的四边形是平行四边形？ 师生活动:教师引导学生画出图形，写出已知、求证. 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形. 教师追问:要证明AB//DC 以及AD//BC，根据平行线的判定，需要利用角的关系进行证明，你能得到相应的角的关系吗? 师生活动:学生回答可利用三角形全等证明内错角相等，从而得到两条直线平行.教师及时强调化四边形为三角形的思想.在此基础上师生共同完成证明过程. 小结:通过推理论证的真命题可以成为定理.我们把上述三个结论称为平行四边形的判定定理.加上平行四边形的定义，我们一共有四种判定平行四边形的方法. 4.学以致用，应用新知 考点1 利用两组对边分别相等判定四边形是平行四边形 【例1】已知四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，并且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是 ( ) A.任意四边形 B.平行四边形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 答案：B 考点2利用两组对角分别相等判定四边形是平行四边形 【例2】如图，AE，CF分别是▱ABCD的内角∠DAB，∠BCD的平分线.求证:四边形AECF是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD. 又∵∠1=12∠DAB，∠2=12∠BCD，∴∠1=∠2. ∵AD∥BC，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∴∠3=∠4， ∴∠5=∠6，∴四边形AECF是平行四边形. 考点3利用对角线互相平分判定四边形是平行四边形 【例3】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形． 思路点拨：根据平行四边形的性质可以得出OA＝OC，OB＝OD，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO. 又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO. 又∵BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形． 5.随堂训练，巩固新知 （1）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2 答案：D （2）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件 (写一个即可)，使四边形ABCD为平行四边形． 答案：AD∥BC（答案不唯一） （3）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形． 证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝ eq \f(1,2) OB，OF＝ eq \f(1,2) OD. ∴OE＝OF.∴四边形AFCE是平行四边形． （4）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.求证：四边形OPMN是平行四边形． 证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5， ∴OM2＋ON2＝42＋32＝25，MN2＝52＝25， ∴OM2＋ON2＝MN2.∴△MON是直角三角形，∠MON＝90°. ∴∠PMO＝∠MON＝90°. 在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x， 由勾股定理，得OM2＋MP2＝OP2，即42＋(11－x)2＝(x－3)2， 解得x＝8.∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3. ∴OP＝MN，MP＝ON.∴四边形OPMN是平行四边形． 6.课堂小结，自我完善 （1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种?这些方法是从什么角度去考虑的? （2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的?这样的探索过程对你有什么启发? 7.布置作业 教材P47练习第1，2，4题； 教材P50习题18.1第4，5题. 通过对已有知识与经验的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形判定问题. 从对命题的结构分析中提出猜想;在对原命题正确，而逆命题不一定正确的反思中体会证明的必要性. 帮助学生体会转化思想，即连接对角线将平行四边形问题转化成三角形问题．根据学生的认知水平，学生可能会在推理论证时遇到困难，教师应适当加以引导分析并规范书写推理论证的过程． 引导学生从定义出发，证明逆命题为真，理解平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分)和判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形）都是从定义出发经过推理得到的真命题. 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 鼓励学生畅所欲言，总结本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，进一步加深对所学知识的理解和记忆． 板书设计 平行四边形的判定（1） 1．平行四边形的判定定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线相互平分的四边形是平行四边形． 2．平行四边形的判定定理(1)的应用 例题 练习 教学反思 复习平行四边形的定义和性质，为引入判定做好铺垫，引导学生发现性质与判定的关系.本节课中判定的基本依据是平行四边形的定义.同时利用情景中的探究活动激发学生的思维.在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．课题平行四边形的判定（2）课型新授课教学内容教材第46-47页的内容教学目标1.掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法． 2.熟练掌握判定平行四边形的五种方法，并会应用它们解决问题． 3.经历探索、猜想、证明的过程，体会归纳、转化的数学思想；培养合情推理能力和严谨的逻辑表达能力，体会数学的应用价值.教学重难点教学重点：平行四边形各种判定方法及其应用，根据不同条件选择合适的判定方法． 教学难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．教 学 过 程备 注1.复习反思，情境引入 【复习回顾】上节课我们学习的平行四边形的判定方法有哪些?参照右图，你能用符号表示吗? 【情境引入】 取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ 由此提出猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2.理性思考，证明定理 【问题2】怎样证明上面的猜想？ 师生活动:教师引导学生写出已知、求证，并分析证明方法. 已知:如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:如图，连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA. 又AB=CD，AC=CA， ∴△BAC≌△DCA，∴BC=DA， ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 教师启发引导:这道题还可以这样证明. 证明:如图，连接AC. ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA. 又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA， ∴∠BCA=∠DAC，∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义). 师生活动：教师引导学生进行方法总结. 思考:我们进行证明时都用到哪些辅助线?证明的过程都用到什么方法呢? 符号语言:在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 教师追问:一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形吗? 师生活动：教师引导学生举出下面的反例即可，画出图形，如图，AB=CD，AD∥BC. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形 【例1】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形． 思路点拨：根据E，F分别是AB，CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，可得BE平行且等于DF. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，EB∥FD. 又∵EB＝ eq \f(1,2) AB，FD＝ eq \f(1,2) CD，∴EB＝FD. ∴四边形EBFD是平行四边形． 【方法总结】 判定平行四边形的基本思路： (1)若已知一组对边平行，可以证这组对边相等或另一组对边平行； (2)若已知一组对边相等，可以证这组对边平行或另一组对边相等； (3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等； (4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 考点2平行四边形的性质与判定的综合应用 【例2】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且AE=CF，AF与BE交于点G，DF与CE交于点H，连接EF，GH，则EF与GH是否互相平分?为什么? 解:EF与GH互相平分.理由如下: 在▱ABCD中，∵ADBC，AE=CF， ∴AECF，∴DEBF， ∴四边形AFCE，四边形BEDF都是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， ∴AF∥CE，BE∥DF， ∴四边形EGFH是平行四边形(平行四边形的定义)， ∴EF与GH互相平分. 4.随堂训练，巩固新知 （1）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( ) A.AB∥CD，AD=BC B.∠A=∠B，∠C=∠D C.AB=CD，AD=BC D.AB=AD，CB=CD 答案：C （2）如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充条件( ) A.AB＝DC B.∠1＝∠2 C.AB＝AD D.AD＝BC 答案：D （3）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E.若AD＝5 cm，BC＝12 cm，则CD的长是 cm． 答案：7 （4）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由． 解：四边形ABCD是平行四边形． 理由如下： ∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB. 又AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． （5）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6. ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②若AC⊥BD，求▱ABCD的面积． 解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC. ∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO. 又∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB.∴OD＝OB. ∴四边形ABCD是平行四边形． (2)∵AC⊥BD，∴S▱ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ eq \f(1,2) BD·OA＋ eq \f(1,2) BD·OC＝ eq \f(1,2) AC·BD＝24. 5.课堂小结，自我完善 （1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种? （2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的?这样的探索过程对你有什么启发? 6.布置作业 教材P47练习第3题； 教材P50习题18.1第6，9题.温故知新，为突破本节难点做准备． 利用操作探究引入新课，使学生经历从具体问题中抽象出数学问题的过程，激发学生强烈的好奇心和求知欲． 注意给予学生充足的时间进行探究、发现；鼓励学生写出“已知”和“求证”，并思考证明思路、书写过程，提高学生解题的规范性． 利用多种证明方法训练学生的发散思维，使学生体会解题方法，连接对角线将四边形化为三角形，然后用证明三角形全等的方法解决四边形问题． 通过例题，帮助学生掌握平行四边形的判定方法，并会综合运用平行四边形的判定和性质解决问题. 通过随堂训练，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的． 梳理总结本节及上节课学到的判定方法，自主建构知识体系，进一步加深对所学知识的理解和记忆． 板书设计 平行四边形的判定（2） 1．利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形 2．平行四边形的性质与判定的综合应用 例题 练习 教学反思 本节课先复习了前面学过的平行四边形的判定方法，为进一步探究打下基础.接着，通过观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，通过推理论证，进一步体验几何证明的严谨性.在授课过程中，关注每一位学生的情感体验，认真倾听每一位学生的心声，不断改进自己的教学.课题三角形的中位线课型新授课教学内容教材第47-49页的内容教学目标1.掌握三角形的中位线的概念和三角形中位线定理． 2.经历探索三角形中位线定理的证明过程，灵活运用三角形中位线定理解决有关问题． 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生推理论证的能力.教学重难点教学重点：掌握并能运用三角形的中位线定理． 教学难点：三角形中位线定理的证明(辅助线的添加方法).教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题 如图，A，B两点被池塘隔开，现在要测量出A，B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D，E，如果能测量出DE的长度，也就能知道A，B两点间的距离了．这是为什么呢？本节课我们就来探究其中的学问． 2.实践探究，学习新知 【问题1】上述问题中涉及三角形中重要的线段“三角形的中位线”，什么是三角形的中位线呢？ 师生活动：结合图形，教师引出三角形中位线的概念. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线. 教师追问1：一个三角形有几条中位线？你能画出来吗？ 教师追问2：画出三角形的中线和中位线，说出它们的不同． 师生活动：师生共同探究，一个三角形共有三条中位线;三角形的中位线与中线不一样，区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线. 【问题2】准备一张三角形纸片，记作△ABC，分别取AB，AC边的中点D，E，连接DE. (1)用直尺分别测量DE，BC的长，比较DE，BC的大小关系，并猜想DE，BC之间存在怎样的数量关系; (2)借助量角器测量有关角的大小，并猜想DE，BC之间的位置关系. 师生活动：学生动手操作，经历观察、测量，提出猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 教师追问1：怎样证明上面的猜想？ 师生活动:教师引导学生写出已知、求证，并分析证明方法. 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE.求证：DE∥BC，且DE=BC. 教师启发1：证明直线平行的方法有那些？ 师生活动：启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等. 教师启发2：证明线段倍分的方法有那些？（截长补短） 师生活动：学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程.强调还有其他证法. 证明：延长中位线DE到F，使EF=DE，连接CF，DC，AF. ∵AE=EC，DE=EF， ∴四边形ADCF为平行四边. ∴CF∥DA.∴CF∥BD. ∴四边形DBCF是平行四边形，DF∥BC. 又DE=12DF，∴DE∥BC，且DE=12BC. 师生总结归纳三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 作用：①证明平行问题；②证明一条线段是另一条线段的2倍或 eq \f(1,2) . 3.学以致用，应用新知 考点1 三角形中位线定理的应用 【例1】如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. 分析:因为各边中点，所以可设法应用三角形的中位线定理找到四边形EFGH的对边之间的关系.因为四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后得证. 证明:如图，连接AC. 在△DAC中，∵H，G分别是DA，CD的中点， ∴HG是△ACD的中位线， ∴HG∥AC，HG=12AC(三角形的中位线定理). 同理，EF∥AC，EF=12AC，∴HG∥EF，且HG=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形. 【例2】已知△ABC的各边长度分别为3 cm，4 cm，5 cm，则连接各边中点的三角形周长为( ) A.2 cm B．7 cm C．5 cm D．6 cm 答案：D 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在等边△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为( ) A.150° B．120° C．60° D．30° 答案：B 第（1）题 第（2）题 （2）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是 ( ) A.28 B.14 C.10 D.7 答案：B （3）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？ 解：能画出3个平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEFD、四边形DECF、四边形ADEF为平行四边形． （4）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，点E为BC的中点，连接DE.求∠BDE的度数． 解：如图，延长BD与AC相交于点F， ∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAF＝40°. 又∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°. ∴△ABD≌△AFD(ASA).∴BD＝DF. ∴∠ABF＝∠AFB＝50°.∴∠BFC＝130°. 又∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线． ∴DE∥FC.∴∠BDE＝∠BFC＝130°. 5.课堂小结，自我完善 （1）三角线的中位线的概念以及它与三角形中线的区别； （2）三角线中位线定理的内容及应用； （3）证明 “中点四边形”的辅助线的方法，连结对角线。 6.布置作业 教材P49练习第2，3题； 教材P50习题18.1第5，11题. 创设联系生活实例的生活情景，用多媒体展示，激发学生的学习兴趣，引入新课． 通过画图比较，巩固学生对三角形中位线概念的理解，培养严谨细致的学习习惯. 通过学生亲自动手画、量，猜想发现了三角形中位线定理，教师引导，启发学生思维，讨论找到证明中位线定理的方法.并由学生自己完成证明过程，充分发挥学生主动学习、合作学习和探究性学习的功能，培养了学生发现问题、探究问题的能力，以及用数学语言表述数学问题的能力等良好的数学品质. 通过例题，帮助学生掌握三角形中位线定理的知识，提高了知识的应用能力. 通过随堂训练，及时获知学生对所学知识的掌握情况，理解能力和运用程度，提高学生解决问题的能力． 梳理总结本节知识，总结本节课的方法，锻炼学生的口头表达能力，进一步加深对所学知识的理解和记忆． 板书设计 三角形的中位线 1．三角形中位线的定义 2．三角形中位线定理 例题 练习 教学反思 在授课过程中创设问题情境，为学生提供自主探索发现的空间，然后再去证明，从而使推理成为探索活动的自然延续和必要发展，让学生经历“猜想——探索——发现——推理”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，同时注重培养学生合作交流、共同研讨的习惯.课题矩形的性质课型新授课教学内容教材第52-53页的内容教学目标1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系． 2.探索并能证明矩形的性质，会用矩形的性质进行有关证明与计算． 3.理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论，会应用这一结论解决简单的问题.教学重难点教学重点：掌握矩形的性质． 教学难点：利用矩形的性质进行证明和计算．教 学 过 程备 注1.提出问题，引入新课 对一类几何图形的研究，我们常常按照从一般到特殊的思路进行.比如，研究了一般三角形后，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形.对于平行四边形我们也延续这样的思路进行研究. 【问题1】把平行四边形的一个内角特殊化——变为90°，会有什么样的特殊图形产生呢?你能给这种图形下一个定义吗?生活中存在这种图形吗? 师生活动:教师展示教具，对平行四边形活动框架进行动态演示.让学生观察从一般的平行四边形到矩形的变化过程，得出矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 教师追问:矩形在实际生活中大量存在和应用，这是因为此类图形有一些特殊的性质，你认为矩形有哪些性质?我们如何研究矩形的性质? 2.探究性质，深化认知 【问题2】如图，作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质.此外，矩形还有一般平行四边形不具有的特殊性质吗? 教师追问1：对于矩形，我们仍然从边、角和对角线等方面进行研究. （1）矩形的边是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? （2）矩形的角是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? （3）矩形的对角线是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? 师生活动:在已有活动教具的基础上，将对角线用橡皮筋连接，通过动态观察，引导学生体会边长确定时平行四边形的边、角、对角线的变化特点及制约关系.并在矩形形状时停留，引导学生类比平行四边形性质的探究过程，从边、角、对角线的角度进行思考、讨论、交流，得出初步猜想并归纳整理成文字表述. 猜想1:矩形的四个角都是直角;猜想2:矩形的对角线相等. 教师追问2：你能证明这些猜想吗? 师生活动:性质1的证明相对简单，让学生在定义的基础上进行口述证明即可. 证明矩形的对角线相等方法多样，如直接运用勾股定理进行证明，利用三角形全等证明线段相等，利用轴对称构造等腰三角形三线合一进行证明，等等.充分挖掘，鼓励学生尝试不同的证明方法，完整书写利用全等的证明过程.对于利用勾股定理与构造图形转化的证明思路由学生口述完成即可. 已知：AC，BD是矩形ABCD的对角线． 求证：AC＝BD. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°. ∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS).∴AC＝BD. 教师追问3：矩形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴. 师生活动:引导学生通过对折实验把矩形性质归结为轴对称的有关性质:对应角相等(四个角都是直角)，对应线段相等(对角线相等). 【问题3】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有怎样的数量关系？为什么有这样的数量关系？ 师生活动:学生分小组讨论，根据平行四边形的性质“对角线互相平分”，及矩形的性质“对角线相等”得出AO＝CO＝ eq \f(1,2) BD，DO＝BO＝ eq \f(1,2) AC. OC为Rt△BCD的中线，从而得打结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 教师追问:如图，三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处，这样的队形对每个人公平吗?请说明理由. 师生活动:学生积极发言，教师适时点拨. 3.学以致用，应用新知 考点1 矩形性质的应用 【例1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分． ∴OA＝OB. 又∵∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形．∴OA＝AB＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 【例2】两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2= ( ) A.α-90° B.α-45° C.180°-α D.270°-α 答案：C 考点2 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题 【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点.若AD=6，DE=5，求CD的长. 答案：8 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法不一定正确的是 ( ) A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD 答案：D （2）在直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是( ) A.6 B．4 C．8 D．12 答案：A （3）在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为( ) A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm 答案：D （4）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠ABD的度数为( ) A.60° B．62.5° C．65° D．67.5° 答案：B （5）如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( ) A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(3,10) 答案：B （6）如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F，求证：DF＝AB. 证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE， ∴∠EBA＝∠DFA＝90°，AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB. 又∠DAF=∠AEB，AD=EA，∴△AFD≌△EBA(AAS). ∴DF＝AB. 5.课堂小结，自我完善 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）矩形性质归纳 边的性质：对边平行且相等. 角的性质：四个角都是直角. 对角线的性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是轴对称图形. （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （4）矩形中的相关计算或证明问题通常转化到直角三角形或等腰三角形中，需要综合应用三角形和四边形的知识. 6.布置作业 教材P53练习第1，2，3题； 教材P61习题18.2第9题. 借助实物的动态变化，让学生直观感知角的变化带来平行四边形的改变，体会矩形是平行四边形角特殊化后的产物，自然引出矩形的概念. 调动已有学习经验，结合教具进行演示，使学生在动态中感知，在静态中思考，类比经验探究矩形的特殊性质. 引导学生证明猜想，得到定理，再次体会几何研究的“观察—猜想—证明”过程. 引导学生用轴对称观点探究矩形的性质. 理解直角三角形与矩形的关系，进一步体会用特殊四边形的性质研究特殊三角形的策略，得到直角三角形斜边上中线的性质. 应用刚得到的结论解释其中的数学道理，巩固新知，体会定理的应用价值. 设置例题帮助学生掌握矩形的性质，并会运用矩形的性质来解决问题． 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，使每个学生都能有所收获、有所提高. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会数学思想方法.课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 矩形的性质 1.矩形的定义： 2.矩形的性质： 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半： 例题 练习 教学反思 教学中让学生充分经历从实际生活中抽象数学图形到深入认识图形特征的过程，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，注重知识的渗透，在适度的方法训练中加强知识的灵活运用，教学思路清晰，详略安排得当，练习合理.课题矩形的判定课型新授课教学内容教材第54-55页的内容教学目标1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法． 2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能力． 3.能应用矩形的定义、判定等知识解决简单的证明和计算问题，进一步培养学生的分析能力．教学重难点教学重点：矩形的判定定理及其应用． 教学难点：综合运用矩形的性质和判定及其相关结论解决问题．教 学 过 程备 注1.复习反思，情境引入 【复习反思】（1）什么是矩形？矩形有哪些性质？ （2）说说矩形与平行四边形之间的联系：有什么共同点？不同点？矩形与平行四边形的从属关系是什么？ 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师点拨分析矩形与平行四边形及四边形的从属关系． 【情境引入】 小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的相框是矩形？看看谁的方法可行？ 师生活动:可布置学生课前用两对长短不一的木条制作简易矩形框架，用于课堂模拟. 2.实践探究，学习新知 【问题1】工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是不是矩形，采用了一种方法：量一量这个四边形的两条对角线长度，若对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道这是为什么吗？ 师生活动:教师分析，两组对边相等的四边形是平行四边形.引导学生继续猜想：对角线相等的平行四边是矩形. 教师追问：如何证明这一猜想? 师生活动:教师指导学生画出图形，写出已知、求证，学生观察思考后尝试证明;教师巡视指导，辅助学生;展示学生成果，教师规范板书证明过程. 已知：如图，在▱ABCD中，AC＝DB. 求证：▱ABCD是矩形． 证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC. ∵AC＝DB，BC＝CB. ∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠ABC＝∠DCB. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴∠ABC＝90°.∴▱ABCD是矩形． 矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形． 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 【问题2】我们知道，矩形的四个角都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 师生活动：学生先独立思考，再讨论交流，得出有三个角是直角的四边形是矩形. 教师追问：如何证明这个结论？ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形． 3.学以致用，应用新知 考点1 判定矩形的条件 【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 答案：D 【方法归纳】判定矩形的基本思路： ①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角； ②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形； ③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等． 考点2 矩形判定与性质的综合应用 【例2】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数． 分析：先证明▱ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，即可求出∠OAB的度数． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝ eq \f(1,2) AC，OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD. 又∵OA＝OD，∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． ∴∠DAB＝90°.又∵∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ ①有一个角是直角的四边形是矩形. (×) ②有四个角是直角的四边形是矩形. (√) ③四个角都相等的四边形是矩形. (√) ④对角线相等的四边形是矩形. (×) ⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形. (√) ⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形. (×) ⑦一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形. (√) ⑧两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形. (√) （2）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积． 分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=12AC，BO=12BD. ∵AO=BO，∴AC=BD． ∴ ▱ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm， ∴BC=（cm）． ∴S▱ABCD=AB·BC=4×43=163（cm2）. （3）如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． 求证：四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC． ∴∠DAB＋∠ABC=180°． 又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ， ∴∠EAB＋∠ABG=12×180°=90°．∴∠AFB=90°． 同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°． ∴四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 5.课堂小结，自我完善 矩形的三种判定方法． 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形； 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． 6.布置作业 教材P55练习第1题； 教材P60习题18.2第1，2，3题.复习矩形的定义和性质，凸显平行四边形和矩形之间的联系，为新问题的提出做好准备. 通过实际问题引发学生思考，让学生感受判定矩形的必要性，体会数学在实际生活中的应用． 通过探究活动为学生提供充分发挥创造力的空间，调动学生的积极性． 由矩形性质的逆命题成立与否提出猜想，目标明确，容易获取结论. 设置例题帮助学生掌握矩形的判定，并综合运用矩形的性质和判定解决问题． 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，及时获知学生对所学知识的掌握情况，使每个学生都能有所收获、有所提高. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会数学思想方法. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 矩形的判定 1.对角线相等的平行四边形是矩形 2.有三个角是直角的四边形是矩形 3.判定矩形的基本思路 例题 练习 教学反思 以问题的形式展开对矩形的判定方法的探究，师生总结问题结论后，教师安排对应的判定方法训练题巩固新知，学以致用..在本课时的教学中，教师应最大限度地将课堂交给学生，提高学生学习的积极性与主动性.课题菱形的性质课型新授课教学内容教材第55-56页的内容教学目标1.了解菱形的概念，理解并掌握菱形的性质． 2.经历菱形性质的探究过程，培养动手实验、观察推理的意识，发展形象思维和逻辑推理能力． 3.根据菱形的性质进行简单的证明，培养逻辑推理能力和演绎能力．教学重难点教学重点：菱形性质的探究． 教学难点：灵活运用菱形的性质解决问题．教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题 【问题1】如图，是用四根木条搭成的一个平行四边形框架A′B′CD，平移木条A′B′至AB，使得AB=AD，这时所得到的平行四边形ABCD有什么特征？说说看，并与同伴交流. 师生活动：利用教具进行演示.改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，引出菱形的概念. 2.思考探究，获取新知 【问题2】从上述图形与平行四边形关系的角度出发，你能给出菱形的定义吗? 师生活动：教师指导学生“仿照平行四边形和矩形的定义来定义新图形”.学生尝试给出菱形的定义后，教师修正并板书菱形的定义. 总结:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 教师提醒学生:(1)菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等.两者必须同时具备，缺一不可.(2)菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法. 教师追问1:你能举出生活中的一些菱形的例子吗? 教师追问2:菱形与平行四边形之间有什么关系? 【问题3】如图，将一个菱形分别沿它的两条对角线对折，然后打开. 观察图形，思考问题: (1)你能看出图中哪些线段或角相等? (2)你能得到哪些特殊三角形? (3)菱形是轴对称图形吗?若是，它有几条对称轴，分别是什么，对称轴之间有什么位置关系? 师生活动：教师提醒学生“菱形具有平行四边形的所有性质”，要求学生指出菱形边、角、对角线的其他性质;学生操作后思考、交流，并回答问题.教师根据学生的交流结果展示证明过程并板书菱形的性质. 性质1：菱形的四条边都相等. 符号语言:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA. 性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 符号语言：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA. 师生活动：教师指出，菱形性质的证明中所涉及的线段和角相等问题，仍然延续平行四边形和矩形中的方法——将所要证明的线段和角放在三角形中，综合利用三角形和四边形的知识来解决. 3.学以致用，应用新知 考点1 菱形的性质 【例1】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠C的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 答案：B 【例2】如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，AB=5cm，AO=4cm，求两条对角线AC和BD的长. 解：由菱形的性质知：BD⊥AC，AC=2AO＝8cm，BD＝2BO. 在Rt△AOB中，BO＝==3cm. ∴BD=6cm. 故两条对角线AC长为8cm，BD长为6cm. 考点2 菱形的面积 【例3】 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 分析：要求两条小路的长和花坛的面积，可以在Rt△ABO中，应用直角三角形的性质和勾股定理求出OA，OB的长． 解：∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝ eq \f(1,2) ×60°＝30°. 在Rt△OAB中，AO＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×20＝10， BO＝ eq \r(AB2－AO2) ＝ eq \r(202－102) ＝10 eq \r(3) . ∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20(m)，BD＝2BO＝20 eq \r(3) ≈34.64(m). 花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△OAB＝ eq \f(1,2) AC·BD＝200 eq \r(3) ≈ 346.4(m2). 方法总结：(1)菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形综合在一起.(2)菱形的面积也可以表示为两条对角线乘积的一半. 4.随堂训练，巩固新知 （1）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对边相等 B．对角相等 C.对角线互相平分 D．对角线互相垂直 答案：D （2）已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为 cm. 答案：5 （3）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是(3，4)，则点C的坐标是(8，4)． （4）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F. 求证：AE=CF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA=BC，∠A=∠C. ∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°. 在△ABE和△CBF中，∠BEA=∠BFC,∠A=∠C,BA=BC, ∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴AE=CF. （5）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，AB＝6. (1)求∠ABC的度数； (2)求AC的长． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝2∠ACD＝60°，AB∥CD. ∴∠ABC＝180°－60°＝120°. (2)连接BD交AC于点O，则∠AOB＝90°，AO＝CO. ∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝30°.∴OB＝ eq \f(1,2) AB＝3. ∴OA＝ eq \r(AB2－OB2) ＝3 eq \r(3) .∴AC＝6 eq \r(3) . 5.课堂小结，自我完善 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2）菱形的性质：它具有平行四边形的所有性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 6.布置作业 教材P57练习第2题； 教材P60习题18.2第5，11题.通过实物模型让学生感受由平行四边形演变成菱形的过程，体会到菱形也是一种特殊的平行四边形，在感性认识的基础上加深理解. 通过观察，获得菱形的初步感性认识.听过追问，理清平行四边形与菱形的关系. 在对折中可以观察到重合的边与角，学生容易发现菱形的边、角、对角线的性质. 经典例题教学，不仅巩固了菱形的性质，更在问题的解决过程中，体现了常规方法的运用. 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，了解学生对菱形性质的掌握情况． 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 菱形的性质 1.菱形的定义 2.菱形的性质 3.菱形的面积 例题 练习 教学反思 本课时教学可以用木条、纸片等实物进行演示，教师要引导学生比较菱形与一般平行四边形的区别在于是否有一组邻边相等.并鼓励学生分组交流，教师可从中抽出一两个组的学生，让他们作为代表总结所得出的结论，教师再予以点评.在整个教学过程中，教师应引导学生采用类比的方法，以发展学生的逻辑思维能力和演绎能力.课题菱形的判定课型新授课教学内容教材第57-58页的内容教学目标1.掌握菱形的判定定理及其证明方法． 2.能利用菱形的判定定理解决一些简单的问题． 3.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及推理能力．教学重难点教学重点：菱形的判定定理及其应用． 教学难点：探究菱形的判定条件．教 学 过 程备 注1.复习回顾，导入新课 【问题1】（1）矩形的定义、性质和判定定理分别是什么？ 矩形的定义、性质矩形的判定有一个角是直角的平行四边形叫做矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等对角线相等的平行四边形是矩形四个角都是直角有三个角是直角的四边形是矩形（2）回顾菱形的定义及性质，填表： 菱形的定义、性质菱形的判定一组邻边相等的平行四边形叫做菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角？四条边都相等？教师追问：你能通过类比发现菱形的判定定理吗？ 师生活动：教师出示问题，学生填写表格，通过类比引起对菱形判定定理的思考． 2.实践探究，获取新知 【问题2】如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 师生活动：学生猜想， 当两个木棒之间的夹角等于90度时，得到的图形是菱形.请学生代表利用学具展示说明. 教师追问：你能证明这个猜想吗? 师生活动:学生思考后小组内交流证明思路，教师引导学生规范的文字题证明，然后学生写出证明过程并简明的点评. 已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD，∴BA=BC.∴□ABCD是菱形. 归纳菱形的判定定理：对角线互相垂直度平行四边形是菱形. 【问题2】拿出课前准备的两个全等的等腰三角形纸板（不等边），动手拼一拼，看看可以拼出几种平行四边形. （1）当两底边重合时拼出的四边形是什么图形？它的四条边有什么样的数量关系？ （2）你能得到什么结论？ 师生活动：学生代表展示作品，并利用作品说明结论，最后得出：四条边相等的四边形是菱形.教师指导学生规范完成几何论证过程. 已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明:∵AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形. 归纳菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形. 数学语言：∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形. 3.学以致用，应用新知 考点1 菱形的判定 【例1】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3.求证：▱ABCD是菱形． 分析：在△AOB中，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再结合四边形ABCD是平行四边形即可得证． 证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，∴AB2＝AO2＋BO2. ∴△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°. ∴▱ABCD是菱形． 【例2】如图，在△ABC中，AB=BC，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.求证：四边形BDEF是菱形. 证明：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点， ∴DE=12AB，EF=12BC，BF=12AB，BD=12BC. 又AB=BC，∴DE=EF=BF=BD.∴四边形BDEF是菱形. 考点2 菱形判定与性质的综合 【例3】如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若BF＝BA，AD＝4，DF＝2，求BF的长． 解：(1)证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD. 又∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形． (2)∵DE＝DF＝2，∴EF＝2DF＝4. 设BE＝x，则BD＝BE＋DE＝x+2，BA＝BF＝BE＋EF＝x+4. 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝BA2， 即42＋(x＋2)2＝(x＋4)2，解得x＝1. ∴BF＝x＋4＝5，即BF的长为5. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是 ( ) A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO 答案：B （2）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为 ，面积为 ． 答案：20，24 （3）如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形． 证明：∵AB∥DM， ∴∠BAM＝∠AMD. 由折叠性质，得∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM. ∴∠DAM＝∠AMD. ∴AD＝DM＝AB＝BM. ∴四边形ABMD是菱形． （4）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AB＝AC＝4，∠ABC＝60°. ①求证：▱ABCD是菱形； ②求BD的长． 解：①证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC.∴▱ABCD是菱形． ②∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD. ∵AB＝AC＝4，∴AO＝2.∴BO＝2 eq \r(3) ，BD＝2OB＝4 eq \r(3) . 5.课堂小结，自我完善 （1）本节课你学习了几种判定菱形的方法？ （2）你是怎样得到这些判别方法的？ （3）对本节课的学习你有什么感受和想法？ 6.布置作业 教材P58练习第2，3题； 教材P60习题18.2第6，10题. 回顾矩形的定义、性质及判定，菱形的定义、性质，通过类比，建立知识之间的联系，激发学生的求知欲，为突破本节课重难点做准备. 引导学生认识菱形的判定定理与菱形的性质定理是互逆定理后，让学生独立思考，逐步锻炼学生的推理论证能力． 这一探究活动贴近生活、轻松自然.学生利用平行四边形的判定和菱形的定义，演示说明自己的作品就是菱形，进一步培养了推理论证能力，体验了数学与生活的密切联系，产生了极大的成就感. 设置例题帮助学生掌握菱形的两个判定定理，并综合运用菱形的判定和性质来解决问题． 通过随堂训练，巩固课堂所学内容，检测学习效果，进一步培养根据已知条件和对图形的观察进行合情推理，选择合适的判定方法进行推理论证的能力. 通过问题1，让学生理清知识结构，明确菱形的三种判定方法；通过问题2和3，让学生反思学习过程，感受探究中的乐趣，树立自信心. 板书设计 菱形的判定 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.四条边相等的四边形是菱形 例题 练习 教学反思 学生获得知识，建立在自己体验和思考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生通过自主、合作、探究的学习方式，亲身经历观察、实验、猜想、推理、论证、展示、交流等活动，才能在数学思考、问题解决、数学素养等方面得到发展.课题正方形课型新授课教学内容教材第58-59页的内容教学目标1.掌握正方形的性质和判定以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系． 2.运用正方形的性质及判定进行简单的计算、推理、论证． 3.让学生感受从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想方法．教学重难点教学重点：探索正方形的性质及判定定理． 教学难点：理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及正方形的性质和判定的应用.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题 （1）观察图片：正方形的地板砖、印章、钟表、包装盒等． （2）在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形和菱形分别有什么关系？ 师生活动：教师出示图片和问题，学生回答，四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫正方形． 2.探究性质，深化认知 【问题1】（1）做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 师生活动：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． （2）做一做：观看电动伸缩门的开合.如图，某一拉门在关闭时，其相应的菱形变成正方形．说说图中∠1的变化过程. 师生活动：老师引导学生观察，伸缩门在关闭的过程中，图中的四边形的形状是如何改变的？∠1的变化的过程如何. 教师追问1：通过前面的探究，我们知道正方形既是矩形，又是菱形，还是平行四边形，所以平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有怎样的关系？ 师生活动：学生先自主思考，再合作交流，填写关系图.老师鼓励学生进行小组内部及小组之间的交流与合作，在学生遇到困难时，及时给与帮助. 教师追问2：如何给出正方形的定义？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．其定义包括了两层意思： ⑴有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ⑵有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 【问题2】正方形既是矩形又是菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.正方形的边，角，对角线有哪些性质？是不是轴对称图形？ 平行四边形菱形矩形正方形边角对角线轴对称图形对称轴(条数)师生活动:学生自主完成后，小组内、小组间交流改错.老师检查，在学生遇到困难时，及时给与帮助. 【问题3】在小组内说一说，证明一下： （1）正方形的四个角都是直角，四条边相等； 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边都相等，四个角都是直角. （2）正方形的对角线相等且互相垂直平分. 已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 思考：从上题图可看出: （1）正方形的一条对角线把正方形分割成什么图形？ （2）正方形的两条对角线把正方形分割成什么图形？ 学生自主思考后总结： 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形. 老师点拨说明：这是正方形的特殊性质，有关正方形的问题可以利用对角线转化到直角三角形中解决.从而达到把未知问题转化为已知问题来解决. 【问题4】在问题1的做一做中，为什么可以折出正方形纸片？猜想：满足怎样条件的矩形是正方形. 请证明：对角线互相垂直的矩形是正方形． 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形． 【问题5】把能活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状．量量看是不是正方形．猜想：满足什么条件的菱形是正方形？ 请证明：对角线相等的菱形是正方形． 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝DB. 求证：四边形ABCD是正方形． 总结:要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有一组邻边相等(或有一个角是直角)，其实质就是根据正方形的定义来判定.也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的两条对角线相等并且互相垂直. 3.学以致用，应用新知 考点1 正方形性质的应用 【例1】如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则BF的长是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.2 答案:C 【例2】已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：EA⊥AF． 师生活动：学生先观察，思考，明确已知条件、结论，初步有自己的思考方向，老师再引导学生在问题解决时聚焦问题的关键点，以及突破的策略、运用的数学知识与思想方法. 考点2正方形的判定 【例3】如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°. 求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°. ∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°. ∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°. ∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°. ∴△AEB≌△AFD(AAS).∴AB＝AD. ∴矩形ABCD是正方形． 4.随堂训练，巩固新知 （1）正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直 C.对角互补 D.对角线相等 答案:B （2）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ) A.4个 B．6个 C．8个 D．10个 答案：C （3）四边形ABCD的对角线交于点O，下列选项中不能判定其是正方形的是 ( ) A.AB∥CD，AB=AD，∠BAD=90° B.AB=BC=CD=AD，∠ABC=90° C.∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AC=BD D.AO=CO=BO=DO，AC⊥BD 答案：C （4）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥CD，则OE＝ ． 答案：2 （5）如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E，F. (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形?试说明理由; (2)在(1)中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形?为什么? 答案:(1)AD=2AB，理由略. (2)BC的中点，理由略. 5.课堂小结，自我完善 （1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？运用到了哪些数学思想方法？说出来与大家分享！还有什么困惑？ （2）展示平行四边形、菱形、矩形、正方形四种图形的包含关系图,引导学生回顾正方形的定义和性质,并说出这几种图形之间的联系与区别. 6.布置作业 教材P59练习第1，2题； 教材P61习题18.2第7，12,13,15题.欣赏生活中常见的图形或图片，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，激发学生强烈的好奇心和求知欲. 通过折叠裁剪得出正方形，观察其图形特征，明白制作原理:邻边相等的矩形是正方形. 观察伸缩门在关闭的过程中，四边形的形状及∠1的变化，找到其中蕴含的数学原理：一个角为直角的菱形是正方形. 通过以上问题情境的创设，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，激发学生的学习兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索学习的氛围. 体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系． 通过自主归纳总结，不仅回顾了所学知识，而且培养了归纳概括的能力，学生的发散思维能力和创新能力得到了加强. 老师引导学生独立思考，设置例题，帮助学生掌握正方形的性质和判定，进一步培养学生逻辑思维能力和推理论证能力． 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，使每个学生都能有所收获、有所提高. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会知识之间的联系. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 正方形 （1）正方形的定义和性质 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形． 对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角． （2）正方形的判定 例题 练习 教学反思 在真实情境中提出能引发学生思考的数学问题，问题的提出应引发学生认知冲突，激发学生学习动机，促进学生积极探究，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，体会数学是认识、理解、表达真实世界的工具、方法和语言，增强认识真实世界、解决真实问题的能力，树立学好数学的自信心，养成良好的学习习惯. 在课堂教学中,要注意发挥学生的主体作用,团队作用,让学生通过独立思考,合作交流等方式,积极参与到课堂的教学活动中,真正做课堂的主人,学习的主人.
相关资料
更多
