人教版（2019）高中物理必修一 专题强化 自由落体运动和竖直上抛运动的应用（教师版+学生版）

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专题强化　自由落体运动 竖直上抛运动　[学科素养与目标要求]　物理观念：1.知道什么是竖直上抛运动，知道竖直上抛运动是匀变速直线运动．科学思维：1.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全过程法求解竖直上抛运动的有关问题.一、自由落体运动规律的应用1.自由落体运动的处理方法自由落体运动是v0=0,a=g的匀变速直线运动,所以匀变速直线运动的所有公式和推论方法,自由落体运动全部适用。(1)速度公式:v=gt。(2)位移公式:h= gt2。(3)速度位移关系式:v2=2gh。(4)连续相等的时间T内的位移之差:Δh=gT2。(5)平均速度:v=ℎt=v2=12gt。(6)若从开始运动时刻计时,划分为连续相等的时间间隔T,则有如下比例关系:①T末、2T末、3T末……瞬时速度之比v1∶v2∶v3…=1∶2∶3∶…②T内、2T内、3T内……位移之比h1∶h2∶h3∶…=1∶4∶9∶…③第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…=1∶3∶5∶…(7)若从运动起点(初位置)开始,划分为连续相等的位移x,则有如下比例关系:①连续相等的位移末的瞬时速度v1∶v2∶v3∶…=1∶2∶3∶…推证:由v2-veq \o\al(02,)=2ax可直接得到。②通过连续相等的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…=1∶(2-1)∶(3−2)∶…注意:物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动,从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动,等效于竖直下抛运动,应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。2.自由落体曝光的径迹问题由于曝光时间很短,可以近似地将AB段当匀速运动,则AB段的平均速度近似等于A点的瞬时速度v=ΔℎΔt,再结合自由落体运动的公式 h=v22g ,便可以估测下落的距离h或曝光时间Δt。3.滴水问题(1)水滴1下落时间为(n-1)Δt,则水滴2下落时间为(n-2)Δt、……水滴(n-1)下落时间为Δt;(2)多体等时差自由落体,可等效看成单体自由下落,在间隔相同时间内留下的点迹。可用逐差法和中间时刻速度法;若最上面的水滴此时速度为零,水滴间距离之比为1∶3∶5……4.自由落体多过程运动问题对于自由落体中的多过程运动,可以先画出v-t图像,如图即为一个多过程运动,其中间速度很关键。例1 (2023河北沧州高一月考)如图所示,一滴雨滴从离地面20 m高的楼房屋檐自由下落,下落5 m时,到达窗口上沿,再经Δt=0.2 s的时间通过窗口,g取10 m/s2,求:(1)雨滴落地前瞬间的速度大小;(2)窗口的高度;(3)该雨滴最后1 s内下落的平均速度大小。解析 (1)由自由落体运动的速度位移关系v2=2gh,可得雨滴落地前瞬间的速度大小为v=2gℎ=2×10×20 m/s=20 m/s。(2)由自由落体运动位移公式,可得雨滴下落5 m的时间t1=2ℎ1g=2×510 s=1 s,窗口的高度h0=12g(t1+Δt)2-12gt12=12×10×1.22 m-12×10×12 m=2.2 m。(3)雨滴下落20 m所用时间为t=2ℎg=2×2010 s=2 s可知该雨滴最后1 s内下落的高度为Δh=h-h1=20 m-5 m=15 m则该雨滴最后1 s内下落的平均速度大小为v=Δℎt2=151 m/s=15 m/s。答案 (1)20 m/s　(2)2.2 m　(3)15 m/s 针对训练1　(2023江苏苏州高一月考)如图所示,A、B两个小球用长为1 m的细线连接,用手拿着A球,B球竖直悬挂,且A、B两球均静止。现由静止释放A球,测得两球落地的时间差为0.2 s,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则A球释放时离地面的高度为(　　)A.1.25 m B.1.80 m C.3.60 m D.6.25 m答案 B解析 由题意可知A、B两小球均做自由落体运动,设A球释放时离地面的高度为h,对A球有h=12gtA2,tA=2ℎg,对B球有h-L=12gtB2,tB=2(ℎ-L)g,两球落地的时间差为Δt=tA-tB,联立解得h=1.80 m,A、C、D错误,B正确。二、竖直上抛运动1．竖直上抛运动将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动．2．竖直上抛运动的性质(1)上升阶段：初速度v0向上，加速度为g，方向竖直向下，是匀减速运动．(2)下降阶段：初速度为零、加速度为g，是自由落体运动．(3)全过程可以看作是初速度为v0(竖直向上)、加速度为g(竖直向下)的匀变速直线运动．3．竖直上抛运动的规律通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g.(1)速度公式：v＝v0－gt.(2)位移公式：h＝v0t－eq \f(1,2)gt2.(3)位移和速度的关系式：v2－veq \o\al(02,)＝－2gh.(4)上升的最大高度：H＝eq \f(v\o\al(02),2g).(5)上升到最高点(即v＝0时)所需的时间：t＝eq \f(v0,g).4．竖直上抛运动的对称性(1)时间对称物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即t上＝t下．(2)速率对称物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反．例2 气球下挂一重物，以v0＝10 m/s匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地速度多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2)答案　7 s　60 m/s解析　解法一　分段法绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下降．重物上升阶段，时间t1＝eq \f(v0,g)＝1 s，由veq \o\al(02,)＝2gh1知，h1＝eq \f(v\o\al(02),2g)＝5 m重物下降阶段，下降距离H＝h1＋175 m＝180 m设下落时间为t2，则H＝eq \f(1,2)gteq \o\al(22,)，故t2＝eq \r(\f(2H,g))＝6 s重物落地总时间t＝t1＋t2＝7 s，速度 v＝gt2＝60 m/s.解法二　全程法取初速度方向为正方向重物全程位移h＝v0t－eq \f(1,2)gt2＝－175 m可解得t1＝7 s，t2＝－5 s(舍去)由v＝v0－gt，得v＝－60 m/s，负号表示方向竖直向下．1．分段法(1)上升过程：v0≠0、a＝g的匀减速直线运动．(2)下降过程：自由落体运动．2．全程法(1)整个过程：初速度v0向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用规律v＝v0－gt，h＝v0t－eq \f(1,2)gt2.(2)正负号的含义(取竖直向上为正方向)①v＞0表示物体上升，v＜0表示物体下降．②h＞0表示物体在抛出点上方，h＜0表示物体在抛出点下方．针对训练2　竖直上抛的物体，初速度为30 m/s.经过2.0 s、4.0 s，物体的位移分别是多大？通过的路程分别是多长？第2.0 s末、第4.0 s末的速度分别是多大？(g取10 m/s2，忽略空气阻力)答案　见解析解析　物体上升到最高点所用时间t＝eq \f(v0,g)＝3 s．上升的最大高度H＝eq \f(v\o\al(02),2g)＝eq \f(302,2×10) m＝45 m由x＝v0t－eq \f(1,2)gt2得当t1＝2.0 st时，位移x2＝30×4.0 m－eq \f(1,2)×10×4.02 m＝40 m，所以路程s2＝45 m＋(45－40) m＝50 m速度v2＝v0－gt2＝30 m/s－10×4.0 m/s＝－10 m/s，负号表示速度方向与初速度方向相反．1．(竖直上抛运动)(多选)某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2,5 s内物体的(　　)A．路程为65 mB．位移大小为25 m，方向竖直向上C．速度改变量的大小为10 m/sD．平均速度大小为13 m/s，方向竖直向上答案　AB解析　初速度为30 m/s，只需要t1＝eq \f(v0,g)＝3 s即可上升到最高点，位移为h1＝eq \f(1,2)gteq \o\al(12,)＝45 m，再自由下落2 s时间，下降高度为h2＝eq \f(1,2)gteq \o\al(22,)＝20 m，故路程为s＝h1＋h2＝65 m，A项对；此时离抛出点高x＝h1－h2＝25 m，位移方向竖直向上，B项对；5 s末时速度为v5＝v0－gt＝－20 m/s，速度改变量大小为Δv＝|v5－v1|＝50 m/s，C项错；平均速度为eq \x\to(v)＝eq \f(x,t)＝5 m/s，D项错．2．(竖直上抛运动)(2019·太和一中学情调研)不计空气阻力情形下将一物体以一定的初速度竖直上抛，从抛出至回到抛出点的时间为2t，若在物体上升的最大高度的一半处设置一水平挡板，仍将该物体以相同的初速度竖直上抛，物体撞击挡板前后的速度大小相等、方向相反，撞击所需时间不计，则这种情况下物体上升和下降的总时间约为(　　)A．0.2t B．0.3tC．0.5t D．0.6t答案　D解析　竖直上抛时从抛出至回到抛出点时间为2t，所以上升和下降的时间都为t，v0＝gt①h＝eq \f(1,2)gt2②设上升到eq \f(h,2)时，速度为v，上升和下降的总时间为t′veq \o\al(02,)－v2＝2g·eq \f(h,2)③由①②③得：v＝eq \f(\r(2),2)gtt′＝2eq \f(v0－v,g)＝(2－eq \r(2))t≈0.6t，故选D.(自由落体运动规律的应用)(2023四川成都高一期末)频闪摄影是研究物体运动常用的实验手段。如图为小明在实验室用频闪周期为T的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果同时同地自由下落的局部频闪照片。关于提供的信息及相关数据处理,下列说法正确的是(　　)A.从A点运动到D点,苹果比羽毛所需时间更短B.苹果下落到C点时的速度大小为vC=x2+x3TC.羽毛下落的加速度大小为x3-x12T2D.位移大小一定满足关系x1∶x2∶x3=1∶3∶5答案 C解析 从A点运动到D点,苹果与羽毛所需时间相同,均为3个频闪周期,A错误;据匀变速直线运动的推论可知,苹果下落到C点时的速度大小为vC=x2+x32T ,B错误;由Δx=aT2可知,羽毛下落的加速度大小为a=x3-x12T2 ,C正确;根据初速度为零的匀加速直线运动中,连续相等时间内的位移之比为奇数之比可知,若苹果在A位置的速度为零,则位移关系满足x1∶x2∶x3= 1∶3∶5,但苹果在A位置的速度不一定为零,故D错误。(竖直上抛运动规律的应用)(多选)某运动员进行原地纵跳摸高训练。运动员原地静止站立(不起跳)摸高为2.10 m,训练过程中,该运动员先下蹲,重心下降0.5 m,经过充分调整后,发力跳起摸到了2.90 m的高度。若运动员起跳过程视为匀加速运动,忽略空气阻力影响,g取10 m/s2,则运动员(　　)A.起跳过程中的加速度大小为10 m/s2B.离地时的速度大小为4 m/sC.从开始起跳到双脚落地需要0.8 sD.从开始起跳到双脚落地需要1.05 s答案 BD解析 运动员离开地面后做竖直上抛运动,重心上升距离h2=2.90 m-2.10 m =0.8 m,根据2gh2=v2可知,v=2gℎ2=2×10×0.8 m/s=4 m/s,选项B正确;在起跳过程中,重心上升距离为h1=0.5 m,根据2ah1=v2,解得a=16 m/s2,选项A错误;加速上升时间t1=va=416 s=0.25 s,减速上升时间t2=vg=410 s=0.4 s,则加速下降到双脚落地时间也为0.4 s,故总时间为t=0.25 s+0.4 s+0.4 s =1.05 s,故D正确,C错误。(自由落体运动规律的应用)(2023辽宁大连高一期中)甲、乙两个物体从同一地点先后自由下落,甲比乙先下落3 s,下列说法正确的是(　　)A.两物体速度差越来越大B.两物体间的距离越来越大C.两物体落地之前总保持45 m的距离D.两物体间的距离越来越小答案 B解析 两物体的速度差Δv=g(t+3 s)-gt=3 s·g,故两物体速度差保持不变,A错误;两物体间的距离为Δh=12g(t+3 s)2-12gt2,由此可知,随着时间增加,甲、乙间的距离越来越大,故B正确,C、D错误。一、选择题1．(多选)某人在高层楼房的阳台上以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15 m处时，所经历的时间可能是(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　)A．1 s B．2 s C．3 s D．(2＋eq \r(7)) s答案　ACD解析　取竖直向上为正方向，当石块运动到抛出点上方离抛出点15 m时，位移为x＝15 m，由x＝v0t－eq \f(1,2)gt2，解得t1＝1 s，t2＝3 s．其中t1＝1 s对应着石块上升过程中离抛出点15 m处时所用的时间，而t2＝3 s对应着从最高点下落时离抛出点15 m处时所用的时间．当石块运动到抛出点下方离抛出点15 m处时，位移为x′＝－15 m，由x′＝v0t′－eq \f(1,2)gt′2，解得t1′＝(2＋eq \r(7)) s，t2′＝(2－eq \r(7)) s(舍去)．2．将一小球从足够高的塔顶以某初速度竖直向上抛出，经时间t＝2 s小球的速度大小为v＝5 m/s，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.则下列说法正确的是(　　)A．初速度大小一定为15 m/s,2 s末小球在抛出点上方10 m处B．初速度大小一定为15 m/s,2 s末小球在抛出点下方10 m处C．初速度大小可能为25 m/s,2 s末小球在抛出点上方30 m处D．初速度大小可能为25 m/s,2 s末小球在抛出点下方30 m处答案　C解析　以竖直向上为正方向，如果2 s末小球的速度方向竖直向上，则由速度公式v＝v0－gt，得小球的初速度为v0＝v＋gt＝25 m/s，小球在0～2 s内的位移为h＝eq \f(v0＋v,2)t＝30 m，小球在抛出点的上方；如果2 s末小球的速度方向竖直向下，则由速度公式－v＝v0′－gt，得小球的初速度为v0′＝－v＋gt＝15 m/s，小球在0～2 s内的位移为h′＝eq \f(v0′－v,2)t＝10 m，小球仍在抛出点的上方，由以上分析可知C正确．3．一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为(　　)A.eq \f(1,8)g(Teq \o\al(A2)－Teq \o\al(B2)) B.eq \f(1,4)g(Teq \o\al(A2)－Teq \o\al(B2))C.eq \f(1,2)g(Teq \o\al(A2)－Teq \o\al(B2)) D.eq \f(1,2)g(TA－TB)答案　A解析　物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A的时间tA＝eq \f(TA,2)，从竖直上抛运动的最高点到点B的时间tB＝eq \f(TB,2)，则A、B两点的距离x＝eq \f(1,2)gteq \o\al(A2)－eq \f(1,2)gteq \o\al(B2)＝eq \f(1,8)g(Teq \o\al(A2)－Teq \o\al(B2))．(2023广东珠海高一期中)某地的重力加速度为9.788 m/s2,对于在该地做自由落体运动的物体,下列说法正确的是(　　)A.刚下落时物体的速度和加速度都是零B.下落过程,物体在任意一秒末的速度比前一秒初的速度大9.788 m/sC.下落开始连续的三个2 s内的速度变化量之比为1∶1∶1D.下落开始连续的三个2 s内的位移之比为1∶4∶9答案 C　解析：物体在该地区做自由落体运动,刚下落时物体的速度为0,但加速度为重力加速度9.788 m/s2,故A错误;加速度是速度的变化率,即下落过程,物体在任意一秒末的速度比该秒初的速度大9.788 m/s,故B错误;根据vt=gt,下落开始的两秒内的速度变化量为Δv1=2g,可知下落开始连续的三个2 s内的速度变化量之比为Δv1∶Δv2∶Δv3=2g∶2g∶2g=1∶1∶1,故C正确;根据初速度为零的匀加速直线运动的规律,可以得出下落开始连续的三个2 s内的位移之比为h1∶h2∶h3=1∶3∶5,故D错误。5. (2023广东东莞高一期末)一物体从一行星表面某一高度处自由下落(不计表层大气阻力),自下落时开始计时,得到物体离该行星表面的高度h随时间t变化的图像如图所示,则下列说法正确的是(　　)A.行星表面重力加速度的大小为10 m/s2B.行星表面重力加速度的大小为15 m/s2C.物体落到行星表面时的速度大小为30 m/sD.物体下落到行星表面的过程中,平均速度的大小为10 m/s答案 D解析：根据h=12gt2,利用图像中的数据可得行星表面重力加速度g=8 m/s2, A、B错误;物体落到行星表面时的速度大小v=gt=8×2.5 m/s=20 m/s,C错误;物体下落到行星表面的过程中,平均速度的大小v=ℎt=252.5 m/s=10 m/s,D正确。6. 将一个小球以v0=15 m/s的初速度竖直向上抛出,不计空气阻力,g取10 m/s2,则抛出后第2 s内小球的(　　)A.加速度为0 B.位移为2.5 mC.速度变化为0 D.平均速度为0答案 D　解析：取向上为正方向,根据速度公式得第1 s末及第2 s末的速度分别为v1=v0-gt1=5 m/s,v2=v0-gt2=-5 m/s,仅受重力,加速度为重力加速度,A错误;根据位移公式得x=v1+v22t=0,B错误;速度的变化为Δv=v2-v1=-10 m/s,负号表示方向向下,C错误;根据平均速度公式得v=v1+v22=0,D正确。7. 如图所示,物体A以速率v0从地面竖直上抛,同时物体B从某高处由静止自由下落,经过时间t0正好以速率v0落地。规定竖直向下为正方向,不计空气阻力,两物体在时间t0内的v-t图像正确的是(　　)答案 C　解析：规定竖直向下为正方向,物体A做竖直上抛运动,加速度为g,其速度与时间的关系为vA=-v0+gt,物体B做自由落体运动,其速度与时间的关系为vB=gt,可知两图像平行且都斜向上,故C正确。(2023河南商丘高一月考)甲、乙两人做游戏,甲站在地面上,乙站在甲正上方的平台上。甲每隔一定时间向乙抛出一小球,已知小球竖直向上抛出时的初速度大小为8 m/s,抛出点与接收点间的竖直高度为3 m。若前一个小球向下被乙接住时,后一个小球也恰好向上经过接球处,则每相邻两个小球抛出的时间间隔为(g取10 m/s2) (　　)A.1.6 s B.1.0 sC.0.6 s D.0.4 s答案 D　解析：根据题意,设小球运动到距抛出点上方3 m处所用时间为t,由h=v0t-12gt2代入数据得t1=0.6 s,t2=1 s,故每相邻两个小球抛出的时间间隔为Δt=t2-t1=0.4 s,故选D。(2023河南高一期末)高空抛物是一种不文明的行为,会给社会带来巨大的危害。在某小区监控视频中发现,一个苹果从高空落下,通过二楼窗户的时间恰好为0.1 s,经实地勘察,该楼房无架空层,层高3 m,窗户高2 m,窗户在每层楼的中间位置。请推测苹果是从几楼落下的 (　　)A.10楼 B.9楼C.8楼 D.7楼答案 B　解析：设苹果下落的高度为h,从开始下落到二楼窗户顶部的时间为t',通过二楼窗户顶部时下落的高度为h'=h-5.5 m,通过二楼窗户底部时下落的高度为h″=h-3.5 m,依题意有h'=12gt'2, h″=12g(t'+0.1 s)2,联立可得h=24.5 m。因为层高为3 m,所以n=ℎ3=8.17,即从9楼落下,故选B。二、非选择题10. (2019·银川一中高一上学期期末)高台跳水运动员从离水面高H＝10 m的跳台上，以10 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，将人视为质点，取g＝10 m/s2.求：(1)运动员上升的最大高度(以跳台平面为参考面)；(2)运动员从跳离跳台到入水的时间．(结果可用根式表示)答案　(1)5 m　(2)(1＋eq \r(3)) s解析　(1)运动员上升的最大高度h1＝eq \f(v\o\al(02),2g)＝5 m.(2)由v＝v0－gt1得运动到最高点的时间t1＝eq \f(－v0,－g)＝1 s运动员自由下落的总位移为：h2＝h1＋H＝15 m由h2＝eq \f(1,2)gteq \o\al(22,)自由下落的时间t2＝eq \r(\f(2h2,g))＝eq \r(3) s运动员从跳离跳台到入水的时间t总＝t1＋t2＝(1＋eq \r(3)) s.11. (2023北京海淀高一期末)如图所示的无人机是一种能够垂直起降的小型遥控飞行器,在一次使用训练中,t=0时无人机在地面上从静止开始匀加速竖直向上起飞,t=5 s时无人机出现故障突然失去升力,此时离地面高度为h=50 m,无人机运动过程中所受空气阻力不计,g取10 m/s2,求:(结果可用根式表示)(1)无人机匀加速竖直向上起飞的加速度大小;(2)无人机运动过程中离地面的最大高度;(3)无人机坠落到地面时的速度大小。答案 (1)4 m/s2　(2)70 m　(3)1014 m/s解析 (1)根据题意,设无人机匀加速竖直向上起飞的加速度大小为a,由运动学公式,无人机匀加速上升阶段有h=12at2,解得匀加速竖直向上起飞的加速度大小a=4 m/s2。(2)根据题意可知,无人机刚失去升力时的速度v=at,之后还能继续上升的高度为h'=v22g,无人机离地面的最大高度为H=h+h',联立解得H=70 m。(3)根据题意可知,无人机从最高点做自由落体运动落到地面,由v'2=2gH可得,无人机坠落到地面时的速度为v'=2gH=1014 m/s。12．一只气球以10 m/s的速度匀速竖直上升，某时刻在气球正下方距气球6 m处有一小球以20 m/s的初速度竖直上抛，g取10 m/s2，不计小球受到的空气阻力．(1)不考虑上方气球对小球运动的可能影响，求小球抛出后上升的最大高度和时间．(2)小球能否追上气球？若追不上，说明理由；若能追上，需要多长时间？答案　(1)20 m　2 s(2)小球追不上气球，理由见解析解析　(1)设小球上升的最大高度为h，时间为t，则h＝eq \f(v\o\al(02),2g)，解得h＝20 m，t＝eq \f(v0,g)，解得t＝2 s.(2)设小球达到与气球速度相同时经过的时间是t1，则v气＝v小＝v0－gt1，解得t1＝1 s在这段时间内气球上升的高度为x气，小球上升的高度为x小，则x气＝vt1＝10 mx小＝v0t1－eq \f(1,2)gteq \o\al(12,)＝15 m由于x气＋6 m>x小，所以小球追不上气球．