2024云南省三新教研联合体高二下学期第二次联考数学试卷含解析

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数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知复数满足：（虚数单位），则复数（ ）
A. B. 5C. D. 6
3. 近日，云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜．唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南人的快乐就是这么简单．某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对20-60岁的人群进行随机抽样调查，其中喜欢“打跳”视频的有100人，把这100人按照年龄分成4组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，现从第二组和第四组的人中分层随机抽取10人做进一步的问卷调查，则应从第2组抽取的人数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
4. 已知集合，则中的元素个数有（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 3
5. 在等差数列中，公差，若，则（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
6. 函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
7. 几何学史上有一个著名米勒问题：“设是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
8. 设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若函数过点，则
B. 若，则在方向上的投影向量的坐标为
C. 若弧长为的弧所对圆心角为，则扇形面积为
D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则（ ）

A.
B. 函数的一条对称轴为直线
C. 在上单调递减
D. 当时，若方程恰有三个不相等的实数根，则
11. 在长方体中，已知，点满足，其中，则（ ）
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点使得
D. 当时，三棱锥的外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 曲线在点处的切线方程为________．
13. 设，若直线过曲线（，且）定点，则的最小值为________．
14. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，则________．若“黄金粗圆”的两个焦点分别为，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求．
16. 如图，在四面体中，平面是中点，是线段上一点（不包含端点），点在线段上，且．
（1）若是中点，求证：∥平面；
（2）若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 某射击小组有甲、乙两名运动员，其中甲、乙二人射击成绩优秀的概率分别为，且两人射击成绩是否优秀相互独立．
（1）若甲、乙两人各射击一次，求至多1人射击成绩优秀的概率；
（2）在一次训练中，甲、乙各连续射击10次，甲击中环数的平均数为7.8，方差为1.6，乙击中环数的平均数为8.2，方差为2.8，求两人在这20次射击中击中环数的方差．
18. 已知数列中，为的前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
19. 已知动点到点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点．
①当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求面积的最小值．