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2023-2024学年云南省三新教研联合体高二（下）第二次联考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年云南省三新教研联合体高二（下）第二次联考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(−1,1),b=(m,2)，且a⊥b，则m=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.已知复数z满足：iz=5+i(i为虚数单位)，则复数|z|=( )
A. 26B. 5C. −5D. 6
3.近日，云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜.唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南人的快乐就是这么简单.某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对20−60岁的人群进行随机抽样调查，其中喜欢“打跳”视频的有100人，把这100人按照年龄分成4组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，现从第二组和第四组的人中分层随机抽取10人做进一步的问卷调查，则应从第2组抽取的人数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.已知集合A={(x,y)|x2−y29=1},B={(x,y)|y=3x+2}，则A∩B中的元素个数有个．( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.在等差数列{an}中，公差d≠0，若S21=7(a8+a10+ak)，则k=( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
6.函数f(x)=lg13(x2−ax−1)在(1,+∞)上单调递减的一个充分不必要条件是( )
A. a<−1B. a≤0C. a<1D. a≤2
7.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设E，F是锐角∠APB的一边PA上的两点，试在边PB上找一点Q，使得∠EQF最大.”如图，其结论是：点Q为过E，F两点且和射线PB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点E(2,4)，F(4,2)，点Q在y轴上移动，则∠EQF的最大值为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
8.设a∈R，函数f(x)=2|x−1|−1,x≥0−x2+ax,x<0，若函数y=f(f(x))恰有3个零点，则实数a的取值范围为( )
A. (0,2)B. (0,1)C. [−1,0)D. (−2,0)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若函数y=xα过点(2, 2)，则α=12
B. 若a=(−3,3),b=(0,1)，则a在b方向上的投影向量的坐标为(0,−3)
C. 若弧长为10cm的弧所对圆心角为π3，则扇形面积为150cm2
D. sin225°+sin265°+sin15°cs15°=54
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=g(x)的图象，则( )
A. g(x)=2sin(2x+π3)
B. 函数g(x)的一条对称轴为直线x=π12
C. g(x)在[−π3,π12]上单调递减
D. 当x∈[−π3,3π4]时，若方程g(x)−a=0恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3∈[56π,1112π]
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=1，AA1=2，点E满足AE=xAC+yCC1，其中x∈[0,1]，y∈[0,1]，则( )
A. 当x=1时，△A1BE的周长为定值
B. 当y=1时，三棱锥E−ACD1的体积为定值
C. 当y=12时，有且仅有一个点E使得BE⊥AC
D. 当x=1时，三棱锥E−ADA1的外接球表面积的最小值为5π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=−2x2+3在点(1,1)处的切线方程为______．
13.设m>0，n>0，若直线l：mx+n2y=2过曲线y=ax−1+1(a>0，且a≠1)的定点，则1m+1n的最小值为______．
14.定义离心率是 5−12的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆C：x2n+y24=1(n>4>0)是“黄金椭圆”，则n= ______.若“黄金椭圆”E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)，P为椭圆E上异于顶点的任意一点，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于点Q，则|PQ||MQ|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcsC+ 3bsinC=a+c．
(1)求B；
(2)若b=2 3，且△ABC的面积为2 3，求a，c．
16.(本小题15分)
如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC，D是AP中点，E是线段BD上一点(不包含端点)，点F在线段PC上，且PC=4CF．
(1)若E是BD中点，求证：EF//平面ABC；
(2)若△ABC是正三角形，AB=PA=4，且BE=12ED，求平面AEF与平面PAC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
某射击小组有甲、乙两名运动员，其中甲、乙二人射击成绩优秀的概率分别为12,13，且两人射击成绩是否优秀相互独立．
(1)若甲、乙两人各射击一次，求至多1人射击成绩优秀的概率；
(2)在一次训练中，甲、乙各连续射击10次，甲击中环数的平均数为7.8，方差为1.6，乙击中环数的平均数为8.2，方差为2.8，求两人在这20次射击中击中环数的方差．
18.(本小题17分)
已知数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，2Sn=3an−3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=(−1)n+12n+1lg3an⋅lg3an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
已知动点P到点F(1,0)的距离比到直线x=−3的距离小2，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)已知点Q(2,0)，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，连接AF，BF分别交C于M，N两点．
①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，试判断k12+k22k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求△QMN面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由a⊥b，得a⋅b=0，即−m+2=0，所以m=2．
故选：D．
根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案．
本题考查向量数量积公式、向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为iz=5+i
所以z=5+ii=−i(5+i)−i2=1−5i1=1−5i，
则|z|= 1+(−5)2= 26．
故选：A．
根据复数运算法则求z，再利用复数的模的公式求|z|．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由图可知，第二组的频率为0.2，频数为20，第四组频率为0.3，频数为30，
按分层随机抽样抽取10人，则应从第二组抽取的人数为20×1050=4人．
故选：B．
根据题意，利用频率分布直方图的性质，结合分层抽样的方法，即可求解．
本题考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由双曲线x2−y29=1的渐近线为y=±3x，
因为直线y=3x+2与y=3x平行，所以有1个交点，所以A∩B中的元素个数为1个．
故选：B．
根据题意，求得双曲线的渐近线方程y=±3x，结合直线y=3x+2与y=3x平行，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为S21=7(a8+a10+ak)，
可得21a1+21×202d=7[2a1+16d+a1+(k−1)d]，
所以21a1+210d=21a1+112d+7(k−1)d，即7(k−15)d=0，
又因为d≠0，所以k=15．
故选：C．
根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程，即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，令t=x2−ax−1，则y=lg13t，其中t>0，
因为y=lg13t在(1,+∞)上单调递减，所以t=x2−ax−1在(1,+∞)上单调递增，
则满足a2≤112−a×1−1≥0，即a≤2a≤0，解得a≤0，
分析选项：a≤0的一个充分不必要条件是a<−1．
故选：A．
根据题意，利用复合函数单调性的判断方法，结合对数函数的图象与性质，列出不等式组，求得a的范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解．
本题考查复合函数单调性的判断方法，涉及充分必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设圆心C坐标为(a,b)，则Q(0,b)，圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=a2，
因为E、F两点在圆上，
所以(2−a)2+(4−b)2=a2(4−a)2+(2−b)2=a2，
解得a=2b=2或a=10b=10，
当a=10b=10时，∠EQF为劣弧所对角，故舍去．
所以Q(0,2)，C(2,2)，
所以|QF|=4,|QE|=2 2,|EF|=2 2，
所以△QEF为等腰直角三角形，
所以∠EQF=45°．
故选：B．
根据题意得出满足条件的过三点F，E，Q的圆的方程，由已知当∠EQF取最大值时，圆必与y轴相切于点Q，得出对应的切点分别为Q，即可得出答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设t=f(x)，当x≥0时，f(x)=2|x−1|−1，此时t≥0，
由f(t)=0得t=1，即f(x)=2|x−1|−1=1，解得x=0或x=2，
所以y=f(f(x))在[0,+∞)上有2个零点，
x<0时，若a≥0，f(x)=−x2+ax，对称轴为x=a2，
函数y=f(x)的大致图象如下：
此时f(x)=−x2+ax<0，即t<0，则f(t)<0，
所以f(t)=0无解，则t=f(x)无零点，y=f(f(x))无零点，
综上，此时y=f(f(x))只有两个零点，不符合题意，
若a<0，此时f(x)的大致图象如下：
令−t2+at=0，解得t=a<0，
显然令f(x)=a在(−∞,0)上存在唯一负解，
要使y=f(f(x))恰有3个零点，
只需y=f(f(x))在(0,+∞)上除x=0或x=2外不能再有其他解，
即f(x)=1不能再有除x=0或x=2外的其他解，
故f(a2)∈(0,1)，即0<−a24+a22<1，解得−2故选：D．
令t=f(x)，先考虑x≥0时，函数y=f(f(x))在[0,+∞)上有2个零点，再考虑x<0，分a≥0与a<0两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案．
本题考查复合函数零点个数问题，属于难题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A中，因为y=xα过点(2, 2)，所以 2=2α，所以α=12，所以A正确；
对于B中，由向量a=(−3,3),b=(0,1)，
可得a在b方向上的投影向量的坐标为a⋅bb2b=3b=(0,3)，所以B错误；
对于C中，由弧长为10cm的弧所对圆心角为π3，可得r=lα=30πcm，
则S=12lr=12×10×30π=150πcm2，所以C错误；
对于D中，由sin225°+sin265°+sin15°cs15°=sin225°+cs225°+12sin30°=1+14=54，所以D正确．
故选：AD．
根据题意，利用幂函数的定义，向量的数量积的运算，以及弧长与面积公式，三角恒等变换的公式，准确计算，即可求解．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查扇形的面积公式及投影向量的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A.由图知A=2,T4=512π−π6=π4,T=π,ω=2πT=2，
f(5π12)=−2⇒2sin(2×5π12+φ)=−2⇒5π6+φ=3π2+2kπ,k∈Z，
φ=23π+2kπ,k∈Z，因为|φ|<π，所以φ=23π，
则f(x)=2sin(2x+23π)，
所以g(x)=2sin[2(x−π6)+23π]=2sin(2x+π3)，故A正确；
B.当x=π12时，g(x)=2sin(π6+π3)=2sinπ2=2，此时g(x)取到最大值，
所以x=π12是g(x)的一条对称轴，故B正确；
C.因为g(x)=2sin(2x+π3),x∈[−π3,π12]，所以2x+π3∈[−π3,π2]，
而y=sinx在[−π3,π2]上单调递增，所以g(x)在[−π3,π12]上单调递增，故C错；
D.由g(x)−a=0，得2sin(2x+π3)=a，因为x∈[−π3,3π4]，
所以2x+π3∈[−π3,116π]，
所以y=2sint,t∈[−π3,116π]的图象如下：
所以t2+t3=32π×2=3π，即2x2+π3+2x3+π3=3π，所以x2+x3=76π，
而t1=2x1+π3∈[−π3,−π6]，所以x1∈[−π3,−π4]，
则x1+x2+x3∈[56π,1112π]，故D正确．
故选：ABD．
A，根据图象显示可得函数周期，最值，代入最低点即可得f(x)，再平移即可得y=g(x)；B，将x=π12代入计算看是否取最值即可；C，求出2x+π3的范围，利用正弦函数的单调性来判断；D，画图，通过图象观察结合函数对称性进行计算．
本题考查三角函数的性质，考查函数与方程的关系，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，当x=1时，AE=AC+yCC1，
即AE−AC=yCC1，
即CE=yCC1，
∴点E在CC1上，
当点E为CC1中点时，△A1BE的周长为 5+ 3+ 2；
当点E在点C处时，△A1BE的周长为 5+ 6+ 1，
∴周长不是定值，故选项A错误；
对于选项B，当y=1时，AE=xAC+CC1，
即AE−CC1=xAC，
即AE−AA1=xAC，
可得A1E=xAC，
∴点E在A1C1上，
∵A1C1//AC，且AC⊂平面ACD1，A1C1⊄平面ACD1，
∴A1C1//平面ACD1，
∴直线A1C1上的点到平面ACD1的距离相等，
即△ACD1的面积为定值，
∴三棱锥E−ACD1的体积为定值，故B选项正确；
对于选项C，当y=12时，AE=xAC+12CC1，
取AA1中点M，CC1中点N，连接MN，则MN//AC，
∵AE=xAC+12CC1，
即AE−12CC1=xAC，
即AE−AM=xAC，
可得ME=xAC，
∴点E在MN上，
又∵过点B作AC的垂线，只能作出一条，
∴过点B作MN的垂线，也只能作出一条，
∴有且仅有一点E(MN中点)使BE⊥AC，故选项C正确；
对于选项D，当x=1时，AE=AC+yCC1，
∴点E在CC1上，
三棱锥E−A1AD的外接球与四棱锥E−ADD1A1的外接球是同一个球，
当点E为C1中点时，D1E=DE= 2，
∵△D1ED为直角三角形，其外心为D1中点O2，△A1AD 外心为A1D中点O1，
则O1O2⊥平面DED1，则球心为O1，半径R= 52，
当E不是CC1中点时，平面ADD1截球得到小圆，则球半径R> 52，
∴三棱锥E−A1AD的外接球表面积的最小值为5π，故选项D正确．
故选：BCD．
当点E为CC1中点和点E在点C处时，分别求得其的周长，可判定A错误；当y=1时，得到点E在A1C1上，证得A1C1//平面ACD1，结合直线A1C1上的点到平面ACD1的距离相等，可判定B正确；取AA1中点M，CC1中点N，连接MN，得到过点B作AC的垂线，只能作出一条，可判定C正确；由三棱锥E−A1AD的外接球即为四棱锥E−ADD1A1的外接球，结合球的性质，可判定D正确．
本题考查立体几何中的动态问题与存在性问题，属于难题．
12.【答案】4x+y−5=0
【解析】解：y′=−4x，
当x=1时，y′=−4x=−4，
故切线方程为y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0．
故答案为：4x+y−5=0．
求导，得到斜率，利用点斜式求出切线方程．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：因为曲线y=ax−1+1过定点(1,2)，
所以m+n=2，即m+n2=1(m>0,n>0)，
则1m+1n=(1m+1n)⋅m+n2=12(1+1+nm+mn)≥12×(2+2 nm⋅mn)=12×(2+2)=2，
当且仅当nm=mn，即m=n=1时取“=”，
所以1m+1n的最小值为2．
故答案为：2．
根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可．
本题考查了指数的运算性质和基本不等式应用问题，是基础题．
14.【答案】2 5+2 5+32
【解析】解：由椭圆C：x2n+y24=1(n>4>0)的离心率为e= 5−12，
可得e=ca= c2a2= a2−b2a2= 1−4n= 5−12，解得n=2 5+2，
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，
如图，连接MF1，MF2，设△PF1F2的内切圆半径为r，
则12|PF1|r+12|PF2|r+12|F1F2|r=S△PF1F2，即12(2a+2c)r=S△PF1F2，
所以12|F1F2|r=S△MF1F2=12×2cr，所以S△PF1F2S△MF1F2=12(2a+2c)r12×2cr=a+cc=|PQ||MQ|，
因为e=ca= 5−12，所以a=2c 5−1= 5+12c，
所以|PQ||MQ|= 5+12c+cc= 5+12+1= 5+32．
故答案为：2 5+2， 5+32．
根据题意，得到e=ca= 1−4n= 5−12，求得n的值，连接MF1，MF2，设△PF1F2的内切圆半径为r，结合12|PF1|r+12|PF2|r+12|F1F2|r=S△PF1F2，12|F1F2|r=S△MF1F2=12×2cr，化简得到|PQ||MQ|=a+cc，即可求解．
本题考查椭圆的定义及性质，考查三角形的内切圆的性质，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为bcsC+ 3bsinC=a+c，
所以sinBcsC+ 3sinBsinC=sinA+sinC，
sinBcsC+ 3sinBsinC−sin(B+C)−sinC=0，
sinBcsC+ 3sinBsinC−sinBcsC−csBsinC−sinC=0，
3sinBsinC−csBsinC−sinC=0⇒sinC( 3sinB−csB−1)=0，
因为sinC≠0，所以 3sinB−csB−1=0，
即2sin(B−π6)=1，所以sin(B−π6)=12，
因为0所以有B−π6=π6，
所以B=π3；
(2)因为b=2 3，且△ABC的面积为2 3，
所以有(2 3)2=a2+c2−2ac⋅1212ac⋅ 32=2 3⇒a2+c2=20ac=8⇒a=2c=4或a=4c=2．
【解析】(1)根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；
(2)根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF，
因为E为BD中点，所以GE//AB，
GE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，故GE//平面ABC，
因为D为PA中点，G为AD中点，所以PA=4AG，
又因为PC=4CF，所以PGAG=PFCF，故GF//AC，
GF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，故GF//平面ABC，
因为GE∩GF=G，且GE，GF⊂平面GEF，
所以平面GEF//平面ABC，
因为EF⊂平面GEF，所以EF//平面ABC；
(2)如图，取AC，PC中点O，H，连接OH，则OH//PA，
因为PA⊥平面ABC，故OH⊥平面ABC，
连接OB，由于△ABC是正三角形，故OB⊥AC，
以O为坐标原点，以OA，OB，OH所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
则A(2,0,0),B(0,2 3,0),C(−2,0,0),P(2,0,4),D(2,0,2),F(−1,0,1)，
由于BE=12ED，故BE=13BD，则E(23,4 33,23)，
AE=(−43,4 33,23),AF=(−3,0,1)，
设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AE=0n⋅AF=0，∴−43x+4 33y+23z=0−3x+z=0，
令x=1，则n=(1,− 36,3)，
而平面PAC的法向量可取为m=(0,1,0)，
设平面AEF与平面PAC的夹角为θ，θ∈[0,12π]，
所以csθ=|m⋅n||m||n|= 36 1+112+9=111．
【解析】(1)取AD中点G，连接GE，GF，证明平面GEF//平面ABC，利用面面平行的性质定理，即可证明结论；
(2)建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面AEF与平面PAC的法向量，利用空间角的向量求法，即可求得答案．
本题考查线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)设成绩优秀的人数为x，
则至多1人射击成绩优秀的概率为：
p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)
=(1−12)(1−13)+12×(1−13)+13×(1−12)
=12×23+12×23+13×12
=13+13+16
=56．
(2)设甲连续射击10次击中环数为x1，x2，⋯，x10，平均数为x−=7.8，
乙连续射击10次击中环数为y1，y2，⋯，y10，平均数为y−=8.2，
两人这20次射击的平均数z−=10x−+10y−20=8
由i=110(xi−x−)210=1.6，得i=110xi2−10x−2=16⇒i=110xi2=16+10×7．82，
同理i=110yi2=28+10×8．22，
方差：S2=i=110(xi−z−)2+i=110(yi−z−)220=i=110xi2−10z−2+i=110yi2−10z−220
=16+10×7．82−10×82+28+10×8．22−10×8220=44+10×(．82−82)+10(8．22−82)20
=44+10×(7.8−8)×(7.8+8)+10×(8.2−8)×(8.2+8)20
=44+10×0.2×(16.2−15.8)20=44+2×0.420=2.24．
【解析】(1)设成绩优秀的人数为x，则p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)，再由独立事件的乘法公式求解即可．
(2)由方差公式求解即可．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】(1)解：由数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，2Sn=3an−3，
当n≥2时，2Sn−1=3an−1−3，两式相减得2an=3an−3an−1，
可得an=3an−1，即anan−1=3，
当n=1时，2a1=3a1−3，则a1=3，
所以{an}是等比数列，首项为3，公比为3，所以an=3×3n−1=3n，
所以数列{an}的通项公式为an=3n．
(2)方法一：由(1)知an=3n，
可得bn=(−1)n+12n+1lg3an⋅lg3an+1=(−1)n+12n+1lg33n⋅lg33n+1=(−1)n+12n+1n⋅(n+1)
=(−1)n+1(1n+1n+1)，
所以Tn=(1+12)−(12+13)+(13+14)+…+(−1)n(1n−1+1n)+(−1)n+1(1n+1n+1)
=1+(−1)n+1n+1．
方法二：由bn=(−1)n+1(1n+1n+1)，
当n为奇数时，Tn=(1+12)−(12+13)+(13+14)+…−(1n−1+1n)+(1n+1n+1)=1+1n+1，
当n为偶数时，Tn=(1+12)−(12+13)+(13+14)+…+(1n−1+1n)−(1n+1n+1)=1−1n+1，
所以数列{bn}的前n项和Tn=1+1n+1,n为奇数1−1n+1,n为偶数．
【解析】(1)根据题意，推得an=3an−1，且a1=3，得到{an}是等比数列，即可求得数列{an}的通项公式；
(2)方法一：由(1)求得bn=(−1)n+1(1n+1n+1)，结合裂项相消法求和，即可求解；
方法二：由(1)求得bn=(−1)n+1(1n+1n+1)，分n为奇数和n为偶数，结合相消法求和，即可求解．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系在数列通项公式及求和中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为点P到点F的距离与到x=−1的距离相等，
所以曲线C是以F为焦点，直线x=−1为准线的抛物线，
则曲线C的轨迹方程为y2=4x；
(2)①不妨设A(y124,y1),B(y224,y2),C(y324,y3),D(y424,y4)，
易知直线AB斜率不为0，
不妨设AB得方程为x=my+2，
联系x=my+2y2=4x，消去x并整理得y2−4my−8=0，
此时Δ=16m2+32>0，
由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=−8，
所以AF：y=y1y124−1(x−1)，
联立y=y1y124−1(x−1)y2=4x，消去x并整理得y1y2−(y12−4)y−4y1=0，
可得y1，y3是方程的两根，且Δ=[−(y12−4)]2+16y1>0，
所以y1y3=−4y1y1=−4，
解得y3=−4y1，
同理得y4=−4y2，
所以k2=y3−y4y324−y424=4y3+y4=4−4y1+−4y2=−y1⋅y2y1+y2=−−84m=2m，
因为k1=1m，
所以k2=2k1，
则k12+k22k1k2=k1k2+k2k1=12+2=52；
(2)由①知直线MN的方程为y−y3=2m(x−y324)，
整理得y+4y1=2m[x−(−4y1)24]，
即y+4y1=2m(x−4y12)，
令y=0,x=2my1+4y12=y1+y22y1+4y12=12+y22y1+4y12=12+y1y2+82y12=12，
所以直线MN过定点G(12,0)，
则S△MNQ=12|GQ|×|y3−y4|=12×32×|−4y1−−4y2|
=3|y1−y2y1y2|=3|y1−y2|8=38 (y1+y2)2−4y1y2=38 16m2+32=32 m2+2≥3 22，
当且仅当m=0时，△MNQ面积取得最小值，最小值为3 22．
【解析】(1)由抛物线的定义得到轨迹方程；
(2)①设出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出y3和y4的值，再利用斜率的定义得到k2=y3−y4y324−y424=2m，代入k12+k22k1k2即可求出定值；
②利用点斜式写出直线MN方程，得到MN过定点G(12,0)，再由三角形面积公式表达出△QMN面积，结合弦长公式和二次函数的值域确定最小值．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
1.已知a=(−1,1),b=(m,2)，且a⊥b，则m=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.已知复数z满足：iz=5+i(i为虚数单位)，则复数|z|=( )
A. 26B. 5C. −5D. 6
3.近日，云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜.唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南人的快乐就是这么简单.某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对20−60岁的人群进行随机抽样调查，其中喜欢“打跳”视频的有100人，把这100人按照年龄分成4组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，现从第二组和第四组的人中分层随机抽取10人做进一步的问卷调查，则应从第2组抽取的人数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.已知集合A={(x,y)|x2−y29=1},B={(x,y)|y=3x+2}，则A∩B中的元素个数有个．( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.在等差数列{an}中，公差d≠0，若S21=7(a8+a10+ak)，则k=( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
6.函数f(x)=lg13(x2−ax−1)在(1,+∞)上单调递减的一个充分不必要条件是( )
A. a<−1B. a≤0C. a<1D. a≤2
7.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设E，F是锐角∠APB的一边PA上的两点，试在边PB上找一点Q，使得∠EQF最大.”如图，其结论是：点Q为过E，F两点且和射线PB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点E(2,4)，F(4,2)，点Q在y轴上移动，则∠EQF的最大值为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
8.设a∈R，函数f(x)=2|x−1|−1,x≥0−x2+ax,x<0，若函数y=f(f(x))恰有3个零点，则实数a的取值范围为( )
A. (0,2)B. (0,1)C. [−1,0)D. (−2,0)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若函数y=xα过点(2, 2)，则α=12
B. 若a=(−3,3),b=(0,1)，则a在b方向上的投影向量的坐标为(0,−3)
C. 若弧长为10cm的弧所对圆心角为π3，则扇形面积为150cm2
D. sin225°+sin265°+sin15°cs15°=54
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=g(x)的图象，则( )
A. g(x)=2sin(2x+π3)
B. 函数g(x)的一条对称轴为直线x=π12
C. g(x)在[−π3,π12]上单调递减
D. 当x∈[−π3,3π4]时，若方程g(x)−a=0恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3∈[56π,1112π]
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=1，AA1=2，点E满足AE=xAC+yCC1，其中x∈[0,1]，y∈[0,1]，则( )
A. 当x=1时，△A1BE的周长为定值
B. 当y=1时，三棱锥E−ACD1的体积为定值
C. 当y=12时，有且仅有一个点E使得BE⊥AC
D. 当x=1时，三棱锥E−ADA1的外接球表面积的最小值为5π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=−2x2+3在点(1,1)处的切线方程为______．
13.设m>0，n>0，若直线l：mx+n2y=2过曲线y=ax−1+1(a>0，且a≠1)的定点，则1m+1n的最小值为______．
14.定义离心率是 5−12的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆C：x2n+y24=1(n>4>0)是“黄金椭圆”，则n= ______.若“黄金椭圆”E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)，P为椭圆E上异于顶点的任意一点，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于点Q，则|PQ||MQ|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcsC+ 3bsinC=a+c．
(1)求B；
(2)若b=2 3，且△ABC的面积为2 3，求a，c．
16.(本小题15分)
如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC，D是AP中点，E是线段BD上一点(不包含端点)，点F在线段PC上，且PC=4CF．
(1)若E是BD中点，求证：EF//平面ABC；
(2)若△ABC是正三角形，AB=PA=4，且BE=12ED，求平面AEF与平面PAC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
某射击小组有甲、乙两名运动员，其中甲、乙二人射击成绩优秀的概率分别为12,13，且两人射击成绩是否优秀相互独立．
(1)若甲、乙两人各射击一次，求至多1人射击成绩优秀的概率；
(2)在一次训练中，甲、乙各连续射击10次，甲击中环数的平均数为7.8，方差为1.6，乙击中环数的平均数为8.2，方差为2.8，求两人在这20次射击中击中环数的方差．
18.(本小题17分)
已知数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，2Sn=3an−3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=(−1)n+12n+1lg3an⋅lg3an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
已知动点P到点F(1,0)的距离比到直线x=−3的距离小2，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)已知点Q(2,0)，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，连接AF，BF分别交C于M，N两点．
①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，试判断k12+k22k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求△QMN面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由a⊥b，得a⋅b=0，即−m+2=0，所以m=2．
故选：D．
根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案．
本题考查向量数量积公式、向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为iz=5+i
所以z=5+ii=−i(5+i)−i2=1−5i1=1−5i，
则|z|= 1+(−5)2= 26．
故选：A．
根据复数运算法则求z，再利用复数的模的公式求|z|．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由图可知，第二组的频率为0.2，频数为20，第四组频率为0.3，频数为30，
按分层随机抽样抽取10人，则应从第二组抽取的人数为20×1050=4人．
故选：B．
根据题意，利用频率分布直方图的性质，结合分层抽样的方法，即可求解．
本题考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由双曲线x2−y29=1的渐近线为y=±3x，
因为直线y=3x+2与y=3x平行，所以有1个交点，所以A∩B中的元素个数为1个．
故选：B．
根据题意，求得双曲线的渐近线方程y=±3x，结合直线y=3x+2与y=3x平行，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为S21=7(a8+a10+ak)，
可得21a1+21×202d=7[2a1+16d+a1+(k−1)d]，
所以21a1+210d=21a1+112d+7(k−1)d，即7(k−15)d=0，
又因为d≠0，所以k=15．
故选：C．
根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程，即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，令t=x2−ax−1，则y=lg13t，其中t>0，
因为y=lg13t在(1,+∞)上单调递减，所以t=x2−ax−1在(1,+∞)上单调递增，
则满足a2≤112−a×1−1≥0，即a≤2a≤0，解得a≤0，
分析选项：a≤0的一个充分不必要条件是a<−1．
故选：A．
根据题意，利用复合函数单调性的判断方法，结合对数函数的图象与性质，列出不等式组，求得a的范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解．
本题考查复合函数单调性的判断方法，涉及充分必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设圆心C坐标为(a,b)，则Q(0,b)，圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=a2，
因为E、F两点在圆上，
所以(2−a)2+(4−b)2=a2(4−a)2+(2−b)2=a2，
解得a=2b=2或a=10b=10，
当a=10b=10时，∠EQF为劣弧所对角，故舍去．
所以Q(0,2)，C(2,2)，
所以|QF|=4,|QE|=2 2,|EF|=2 2，
所以△QEF为等腰直角三角形，
所以∠EQF=45°．
故选：B．
根据题意得出满足条件的过三点F，E，Q的圆的方程，由已知当∠EQF取最大值时，圆必与y轴相切于点Q，得出对应的切点分别为Q，即可得出答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设t=f(x)，当x≥0时，f(x)=2|x−1|−1，此时t≥0，
由f(t)=0得t=1，即f(x)=2|x−1|−1=1，解得x=0或x=2，
所以y=f(f(x))在[0,+∞)上有2个零点，
x<0时，若a≥0，f(x)=−x2+ax，对称轴为x=a2，
函数y=f(x)的大致图象如下：
此时f(x)=−x2+ax<0，即t<0，则f(t)<0，
所以f(t)=0无解，则t=f(x)无零点，y=f(f(x))无零点，
综上，此时y=f(f(x))只有两个零点，不符合题意，
若a<0，此时f(x)的大致图象如下：
令−t2+at=0，解得t=a<0，
显然令f(x)=a在(−∞,0)上存在唯一负解，
要使y=f(f(x))恰有3个零点，
只需y=f(f(x))在(0,+∞)上除x=0或x=2外不能再有其他解，
即f(x)=1不能再有除x=0或x=2外的其他解，
故f(a2)∈(0,1)，即0<−a24+a22<1，解得−2
令t=f(x)，先考虑x≥0时，函数y=f(f(x))在[0,+∞)上有2个零点，再考虑x<0，分a≥0与a<0两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案．
本题考查复合函数零点个数问题，属于难题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A中，因为y=xα过点(2, 2)，所以 2=2α，所以α=12，所以A正确；
对于B中，由向量a=(−3,3),b=(0,1)，
可得a在b方向上的投影向量的坐标为a⋅bb2b=3b=(0,3)，所以B错误；
对于C中，由弧长为10cm的弧所对圆心角为π3，可得r=lα=30πcm，
则S=12lr=12×10×30π=150πcm2，所以C错误；
对于D中，由sin225°+sin265°+sin15°cs15°=sin225°+cs225°+12sin30°=1+14=54，所以D正确．
故选：AD．
根据题意，利用幂函数的定义，向量的数量积的运算，以及弧长与面积公式，三角恒等变换的公式，准确计算，即可求解．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查扇形的面积公式及投影向量的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A.由图知A=2,T4=512π−π6=π4,T=π,ω=2πT=2，
f(5π12)=−2⇒2sin(2×5π12+φ)=−2⇒5π6+φ=3π2+2kπ,k∈Z，
φ=23π+2kπ,k∈Z，因为|φ|<π，所以φ=23π，
则f(x)=2sin(2x+23π)，
所以g(x)=2sin[2(x−π6)+23π]=2sin(2x+π3)，故A正确；
B.当x=π12时，g(x)=2sin(π6+π3)=2sinπ2=2，此时g(x)取到最大值，
所以x=π12是g(x)的一条对称轴，故B正确；
C.因为g(x)=2sin(2x+π3),x∈[−π3,π12]，所以2x+π3∈[−π3,π2]，
而y=sinx在[−π3,π2]上单调递增，所以g(x)在[−π3,π12]上单调递增，故C错；
D.由g(x)−a=0，得2sin(2x+π3)=a，因为x∈[−π3,3π4]，
所以2x+π3∈[−π3,116π]，
所以y=2sint,t∈[−π3,116π]的图象如下：
所以t2+t3=32π×2=3π，即2x2+π3+2x3+π3=3π，所以x2+x3=76π，
而t1=2x1+π3∈[−π3,−π6]，所以x1∈[−π3,−π4]，
则x1+x2+x3∈[56π,1112π]，故D正确．
故选：ABD．
A，根据图象显示可得函数周期，最值，代入最低点即可得f(x)，再平移即可得y=g(x)；B，将x=π12代入计算看是否取最值即可；C，求出2x+π3的范围，利用正弦函数的单调性来判断；D，画图，通过图象观察结合函数对称性进行计算．
本题考查三角函数的性质，考查函数与方程的关系，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，当x=1时，AE=AC+yCC1，
即AE−AC=yCC1，
即CE=yCC1，
∴点E在CC1上，
当点E为CC1中点时，△A1BE的周长为 5+ 3+ 2；
当点E在点C处时，△A1BE的周长为 5+ 6+ 1，
∴周长不是定值，故选项A错误；
对于选项B，当y=1时，AE=xAC+CC1，
即AE−CC1=xAC，
即AE−AA1=xAC，
可得A1E=xAC，
∴点E在A1C1上，
∵A1C1//AC，且AC⊂平面ACD1，A1C1⊄平面ACD1，
∴A1C1//平面ACD1，
∴直线A1C1上的点到平面ACD1的距离相等，
即△ACD1的面积为定值，
∴三棱锥E−ACD1的体积为定值，故B选项正确；
对于选项C，当y=12时，AE=xAC+12CC1，
取AA1中点M，CC1中点N，连接MN，则MN//AC，
∵AE=xAC+12CC1，
即AE−12CC1=xAC，
即AE−AM=xAC，
可得ME=xAC，
∴点E在MN上，
又∵过点B作AC的垂线，只能作出一条，
∴过点B作MN的垂线，也只能作出一条，
∴有且仅有一点E(MN中点)使BE⊥AC，故选项C正确；
对于选项D，当x=1时，AE=AC+yCC1，
∴点E在CC1上，
三棱锥E−A1AD的外接球与四棱锥E−ADD1A1的外接球是同一个球，
当点E为C1中点时，D1E=DE= 2，
∵△D1ED为直角三角形，其外心为D1中点O2，△A1AD 外心为A1D中点O1，
则O1O2⊥平面DED1，则球心为O1，半径R= 52，
当E不是CC1中点时，平面ADD1截球得到小圆，则球半径R> 52，
∴三棱锥E−A1AD的外接球表面积的最小值为5π，故选项D正确．
故选：BCD．
当点E为CC1中点和点E在点C处时，分别求得其的周长，可判定A错误；当y=1时，得到点E在A1C1上，证得A1C1//平面ACD1，结合直线A1C1上的点到平面ACD1的距离相等，可判定B正确；取AA1中点M，CC1中点N，连接MN，得到过点B作AC的垂线，只能作出一条，可判定C正确；由三棱锥E−A1AD的外接球即为四棱锥E−ADD1A1的外接球，结合球的性质，可判定D正确．
本题考查立体几何中的动态问题与存在性问题，属于难题．
12.【答案】4x+y−5=0
【解析】解：y′=−4x，
当x=1时，y′=−4x=−4，
故切线方程为y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0．
故答案为：4x+y−5=0．
求导，得到斜率，利用点斜式求出切线方程．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：因为曲线y=ax−1+1过定点(1,2)，
所以m+n=2，即m+n2=1(m>0,n>0)，
则1m+1n=(1m+1n)⋅m+n2=12(1+1+nm+mn)≥12×(2+2 nm⋅mn)=12×(2+2)=2，
当且仅当nm=mn，即m=n=1时取“=”，
所以1m+1n的最小值为2．
故答案为：2．
根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可．
本题考查了指数的运算性质和基本不等式应用问题，是基础题．
14.【答案】2 5+2 5+32
【解析】解：由椭圆C：x2n+y24=1(n>4>0)的离心率为e= 5−12，
可得e=ca= c2a2= a2−b2a2= 1−4n= 5−12，解得n=2 5+2，
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，
如图，连接MF1，MF2，设△PF1F2的内切圆半径为r，
则12|PF1|r+12|PF2|r+12|F1F2|r=S△PF1F2，即12(2a+2c)r=S△PF1F2，
所以12|F1F2|r=S△MF1F2=12×2cr，所以S△PF1F2S△MF1F2=12(2a+2c)r12×2cr=a+cc=|PQ||MQ|，
因为e=ca= 5−12，所以a=2c 5−1= 5+12c，
所以|PQ||MQ|= 5+12c+cc= 5+12+1= 5+32．
故答案为：2 5+2， 5+32．
根据题意，得到e=ca= 1−4n= 5−12，求得n的值，连接MF1，MF2，设△PF1F2的内切圆半径为r，结合12|PF1|r+12|PF2|r+12|F1F2|r=S△PF1F2，12|F1F2|r=S△MF1F2=12×2cr，化简得到|PQ||MQ|=a+cc，即可求解．
本题考查椭圆的定义及性质，考查三角形的内切圆的性质，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为bcsC+ 3bsinC=a+c，
所以sinBcsC+ 3sinBsinC=sinA+sinC，
sinBcsC+ 3sinBsinC−sin(B+C)−sinC=0，
sinBcsC+ 3sinBsinC−sinBcsC−csBsinC−sinC=0，
3sinBsinC−csBsinC−sinC=0⇒sinC( 3sinB−csB−1)=0，
因为sinC≠0，所以 3sinB−csB−1=0，
即2sin(B−π6)=1，所以sin(B−π6)=12，
因为0
所以B=π3；
(2)因为b=2 3，且△ABC的面积为2 3，
所以有(2 3)2=a2+c2−2ac⋅1212ac⋅ 32=2 3⇒a2+c2=20ac=8⇒a=2c=4或a=4c=2．
【解析】(1)根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；
(2)根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF，
因为E为BD中点，所以GE//AB，
GE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，故GE//平面ABC，
因为D为PA中点，G为AD中点，所以PA=4AG，
又因为PC=4CF，所以PGAG=PFCF，故GF//AC，
GF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，故GF//平面ABC，
因为GE∩GF=G，且GE，GF⊂平面GEF，
所以平面GEF//平面ABC，
因为EF⊂平面GEF，所以EF//平面ABC；
(2)如图，取AC，PC中点O，H，连接OH，则OH//PA，
因为PA⊥平面ABC，故OH⊥平面ABC，
连接OB，由于△ABC是正三角形，故OB⊥AC，
以O为坐标原点，以OA，OB，OH所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
则A(2,0,0),B(0,2 3,0),C(−2,0,0),P(2,0,4),D(2,0,2),F(−1,0,1)，
由于BE=12ED，故BE=13BD，则E(23,4 33,23)，
AE=(−43,4 33,23),AF=(−3,0,1)，
设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AE=0n⋅AF=0，∴−43x+4 33y+23z=0−3x+z=0，
令x=1，则n=(1,− 36,3)，
而平面PAC的法向量可取为m=(0,1,0)，
设平面AEF与平面PAC的夹角为θ，θ∈[0,12π]，
所以csθ=|m⋅n||m||n|= 36 1+112+9=111．
【解析】(1)取AD中点G，连接GE，GF，证明平面GEF//平面ABC，利用面面平行的性质定理，即可证明结论；
(2)建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面AEF与平面PAC的法向量，利用空间角的向量求法，即可求得答案．
本题考查线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)设成绩优秀的人数为x，
则至多1人射击成绩优秀的概率为：
p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)
=(1−12)(1−13)+12×(1−13)+13×(1−12)
=12×23+12×23+13×12
=13+13+16
=56．
(2)设甲连续射击10次击中环数为x1，x2，⋯，x10，平均数为x−=7.8，
乙连续射击10次击中环数为y1，y2，⋯，y10，平均数为y−=8.2，
两人这20次射击的平均数z−=10x−+10y−20=8
由i=110(xi−x−)210=1.6，得i=110xi2−10x−2=16⇒i=110xi2=16+10×7．82，
同理i=110yi2=28+10×8．22，
方差：S2=i=110(xi−z−)2+i=110(yi−z−)220=i=110xi2−10z−2+i=110yi2−10z−220
=16+10×7．82−10×82+28+10×8．22−10×8220=44+10×(．82−82)+10(8．22−82)20
=44+10×(7.8−8)×(7.8+8)+10×(8.2−8)×(8.2+8)20
=44+10×0.2×(16.2−15.8)20=44+2×0.420=2.24．
【解析】(1)设成绩优秀的人数为x，则p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)，再由独立事件的乘法公式求解即可．
(2)由方差公式求解即可．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】(1)解：由数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，2Sn=3an−3，
当n≥2时，2Sn−1=3an−1−3，两式相减得2an=3an−3an−1，
可得an=3an−1，即anan−1=3，
当n=1时，2a1=3a1−3，则a1=3，
所以{an}是等比数列，首项为3，公比为3，所以an=3×3n−1=3n，
所以数列{an}的通项公式为an=3n．
(2)方法一：由(1)知an=3n，
可得bn=(−1)n+12n+1lg3an⋅lg3an+1=(−1)n+12n+1lg33n⋅lg33n+1=(−1)n+12n+1n⋅(n+1)
=(−1)n+1(1n+1n+1)，
所以Tn=(1+12)−(12+13)+(13+14)+…+(−1)n(1n−1+1n)+(−1)n+1(1n+1n+1)
=1+(−1)n+1n+1．
方法二：由bn=(−1)n+1(1n+1n+1)，
当n为奇数时，Tn=(1+12)−(12+13)+(13+14)+…−(1n−1+1n)+(1n+1n+1)=1+1n+1，
当n为偶数时，Tn=(1+12)−(12+13)+(13+14)+…+(1n−1+1n)−(1n+1n+1)=1−1n+1，
所以数列{bn}的前n项和Tn=1+1n+1,n为奇数1−1n+1,n为偶数．
【解析】(1)根据题意，推得an=3an−1，且a1=3，得到{an}是等比数列，即可求得数列{an}的通项公式；
(2)方法一：由(1)求得bn=(−1)n+1(1n+1n+1)，结合裂项相消法求和，即可求解；
方法二：由(1)求得bn=(−1)n+1(1n+1n+1)，分n为奇数和n为偶数，结合相消法求和，即可求解．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系在数列通项公式及求和中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为点P到点F的距离与到x=−1的距离相等，
所以曲线C是以F为焦点，直线x=−1为准线的抛物线，
则曲线C的轨迹方程为y2=4x；
(2)①不妨设A(y124,y1),B(y224,y2),C(y324,y3),D(y424,y4)，
易知直线AB斜率不为0，
不妨设AB得方程为x=my+2，
联系x=my+2y2=4x，消去x并整理得y2−4my−8=0，
此时Δ=16m2+32>0，
由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=−8，
所以AF：y=y1y124−1(x−1)，
联立y=y1y124−1(x−1)y2=4x，消去x并整理得y1y2−(y12−4)y−4y1=0，
可得y1，y3是方程的两根，且Δ=[−(y12−4)]2+16y1>0，
所以y1y3=−4y1y1=−4，
解得y3=−4y1，
同理得y4=−4y2，
所以k2=y3−y4y324−y424=4y3+y4=4−4y1+−4y2=−y1⋅y2y1+y2=−−84m=2m，
因为k1=1m，
所以k2=2k1，
则k12+k22k1k2=k1k2+k2k1=12+2=52；
(2)由①知直线MN的方程为y−y3=2m(x−y324)，
整理得y+4y1=2m[x−(−4y1)24]，
即y+4y1=2m(x−4y12)，
令y=0,x=2my1+4y12=y1+y22y1+4y12=12+y22y1+4y12=12+y1y2+82y12=12，
所以直线MN过定点G(12,0)，
则S△MNQ=12|GQ|×|y3−y4|=12×32×|−4y1−−4y2|
=3|y1−y2y1y2|=3|y1−y2|8=38 (y1+y2)2−4y1y2=38 16m2+32=32 m2+2≥3 22，
当且仅当m=0时，△MNQ面积取得最小值，最小值为3 22．
【解析】(1)由抛物线的定义得到轨迹方程；
(2)①设出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出y3和y4的值，再利用斜率的定义得到k2=y3−y4y324−y424=2m，代入k12+k22k1k2即可求出定值；
②利用点斜式写出直线MN方程，得到MN过定点G(12,0)，再由三角形面积公式表达出△QMN面积，结合弦长公式和二次函数的值域确定最小值．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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