2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区立达中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区立达中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2−6x=x(x−6)B. (x+3)2=x2+6x+9
C. x2−4+4x=(x+2)(x−2)+4xD. 8a2b4=2ab2·4ab2
2.下列运算正确的是( )
A. a3·a2=a6B. 2m·3n=6m+n
C. (−2b2)3=−8b5D. (−a)3÷(−a)=a2
3.若x2+mx+36是一个完全平方式，则m的值为( )
A. 6B. ±6C. 12D. ±12
4.若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长为( )
A. 14cmB. 14cm或19cmC. 19cmD. 以上都不对
5.一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的( )
A. 内角和增加360°B. 外角和增加360°C. 内角和不变D. 内角和增加180°
6.若一个三角形的3个外角的度数之比2：3：4，则与之对应的3个内角的度数之比为( )
A. 3：2：4B. 4：3：2C. 5：3：1D. 3：1：5
7.某小区有一正方形草坪ABCD如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪AB边方向的长度增加4米，AD边方向的长度减少4米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比( )
A. 增加8平方米
B. 增加16平方米
C. 减少16平方米
D. 保持不变
8.在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”.如记 nk=1k=1+2+3+…+(n−1)+n； nk=3(x+k)=(x+3)+(x+4)+….+(x+n)，已知 nk=2[(x+k)(x−k+1)]=5x2+mx−70，则m的值是( )
A. 4B. 5C. −5D. −4
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.微电子技术使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000065平方毫米，数据0.00000065用科学记数法表示为______．
10.计算(23)2021×1.52022×(−1)2023的结果是______．
11.若(x+2)0=1，则x的取值范围是______．
12.若2x−y=3，xy=3，则y2+4x2=______．
13.已知x2−x−3=0，则(2x+1)2−x(5+2x)+(2+x)(2−x)的值为______．
14.如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F.若S△ABC=36，EF=4，则BC长为______．
15.如图，AB/​/DE，∠ABC=80°，∠CDE=150°，则∠BCD的度数为______°.
16.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，则∠A与∠1+∠2之间的数量关系为______．
17.如图，在同一平面内，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，连接AD，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为CD延长线上一点，连接AF，∠BAF=∠EDF，下列结论：①∠BAD=∠ADF；②AF//ED；③∠ADC=2∠F；④∠CED+12∠ADC=90°；⑤若∠ADE=13∠BAD，则∠AFD+∠BED=160°，正确的有______．
18.当x= ______时，代数式(2x+3)x+2016的值为1．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(−3a2)3+2a2⋅a4−a8÷a2；
(2)(π−3.14)0−(12)−3−12022；
(3)(2a+b)(b−2a)−(a−3b)2；
(4)(x+y−3)(x−y+3)．
20.(本小题8分)
把下列各式因式分解：
(1)4x2−25；
(2)a2−6a+9；
(3)4x2−64；
(4)4ab2−4a2b−b3．
21.(本小题8分)
如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用格点和直尺画图：
(1)补全△A′B′C′；
(2)利用格点在图中画出AC边上的高线BE．
22.(本小题8分)
(1)已知2m+3n=3，求9m⋅27n的值．
(2)已知10x=5，10y=6，求103x+2y的值．
23.(本小题8分)
如图，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在线段AB、BC上，∠1=∠2，∠C+∠ADE=90°．
(1)求证：DE/​/AC；
(2)判断EF与BC的位置关系，并证明你的猜想．
24.(本小题8分)
阅读解答
(1)填空：21−20= ______=2(______)
22−21= ______=2(______)
23−22= ______=2(______)…
(2)探索(1)中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立．
(3)计算：20+21+22+23+24+…+21000．
25.(本小题8分)
先阅读后解题：
若m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．
解：等式可变形为：m2+2m+1+n2−6n+9=0
即(m+1)2+(n−3)2=0，
因为(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，
所以m+1=0，n−3=0
即m=−1，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+2b2−2a−16b+33=0，则△ABC的周长是______；
(2)求代数式a2+4b2+4ab−4a−8b+7的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式x2+3x−4与2x2+2x−3的大小，并说明理由．
26.(本小题8分)
数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性，形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
【问题探究】
探究1：如图1所示，大正方形的边长是(a+b)，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.根据等积法，我们可以得出结论：(a+b)2=a2+2ab+b2．

探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出(a+b+c)2的结果．
【形成结论】
(1)探究2中(a+b+c)2= ______；
【应用结论】
(2)利用(1)问所得到的结论求解：已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，求ab+bc+ca的值；
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下，求a2b2+b2c2+c2a2a2+ab+b2的值．
27.(本小题8分)
已知，如图，AB/​/CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
(1)如图1，当PE⊥QE时，求∠PFQ的度数；
(2)如图2，求∠PEQ与∠PFO之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了分解因式的定义，正确把握定义是解题关键．
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【解答】
解：A、x2−6x=x(x−6)，正确；
B、(x+3)2=x2+6x+9，是多项式的乘法运算，故此选项错误；
C、x2−4+4x=(x+2)(x−2)+4x，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
D、8a2b4≠2ab2−4ab2，故此选项错误．
2.【答案】D
【解析】解：A、结果是a5，故本选项不符合题意；
B、2m⋅3n和6m+n不相等，故本选项不符合题意；
C、结果是−8b6，故本选项不符合题意；
D、结果是a2，故本选项符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法进行计算，再得出选项即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵x2+mx+36是一个完全平方式，
∴m=±12，
故选：D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：当3cm是腰时，3+3<8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当8cm是腰时，符合三角形三边关系，周长=8+8+3=19(cm)．
故它的周长为19cm．
故选：C．
题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：因为n边形的内角和是(n−2)⋅180°，
当边数增加一条就变成n+1，则内角和是(n−1)⋅180°，
内角和增加：(n−1)⋅180°−(n−2)⋅180°=180°；
根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．
故选：D．
利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征，需熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】解：设一份为k°，则三个外角的度数分别为2k°，3k°，4k°，
根据三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°=360°，得k°=40°，
三个外角分别为80°，120°和160°，
根据三角形外角与它相邻的内角互补，与之对应的三个内角的度数分别是100°，60°和20°，
即三个内角的度数的比为5：3：1．
故选：C．
已知三角形三个外角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的外角和等于360°列方程求三个内角的度数，确定三角形内角的度数，然后求出度数之比．
本题考查三角形外角的性质及三角形的外角与它相邻的内角互补的知识，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
7.【答案】C
【解析】解：设正方形草坪ABCD的边长为x米，
由题意得，长方形的长为(x+4)米，宽为(x−4)米，
则长方形的面积为(x+4)(x−4)=(x2−16)(平方米)，
正方形ABCD的面积为x2平方米，
∴x2−16−x2=−16(平方米)，
即改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比减少16平方米，
故选：C．
设正方形草坪ABCD的边长为x米，即可求出正方形的面积，再求出长方形的长、宽，即可求出长方形的面积，最后比较即可．
本题考查了平方差公式，正方形的面积，长方形的面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵x2项的系数为5，
∴n=5，
∴(x+2)(x−2+1)+(x+3)(x−3+1)+(x+4)(x−4+1)+(x+5)(x−5+1)+(x+6)(x−6+1)
=(x+2)(x−1)+(x+3)(x−2)+(x+4)(x−3)+(x+5)(x−4)+(x+6)(x−5)
=(x2+x−2)+(x2+x−6)+(x2+x−12)+(x2+x−20)+(x2+x−30)
=5x2+5x−70，
∵已知 nk=2[(x+k)(x−k+1)]=5x2+mx−70，
∴5x2+5x−70=5x2+mx−70，
∴m=5，
故选：B．
根据求和符号的相关公式，可得：当x2项的系数为5，则n=5，求得5x2+5x−70=5x2+mx−70，即可得出结果．
本题考查的是图形的变化规律，有理数的乘方和数学常识，从题目中找出其中的变化规律是解题的关键．
9.【答案】6.5×10−7
【解析】解：0.00000065=6.5×10−7．
故答案为：6.5×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】−32
【解析】解：原式=(23)2021×(32)2022×(−1)
=(23)2021×(32)2021×32×(−1)
=(23×32)2021×32×(−1)
=12021×32×(−1)
=1×32×(−1)
=−32，
故答案为：−32．
先根据乘方的意义，把1.52022写成(32)2021×32，然后逆用积的乘方法则进行简便计算即可．
本题主要考查了有理数的简便计算，解题关键是熟练掌握逆用积的乘方法则进行简便计算．
11.【答案】x≠−2
【解析】解：∵(x+2)0=1，
∴x+2≠0，
解得：x≠−2．
故答案为：x≠−2．
直接利用零指数幂的性质得出x的取值范围．
此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握零指数幂的性质是解题关键．
12.【答案】15
【解析】解：∵2x−y=3，
∴(2x−y)2=4x2−2xy+y2=9，
∵xy=3；
∴y2+4x2=9+2xy=15；
故答案为：15．
首先将已知条件平方，进而将已知代入求出答案．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：(2x+1)2−x(5+2x)+(2+x)(2−x)
=4x2+4x+1−5x−2x2+4−x2
=x2−x+5，
∵x2−x−3=0，
∴x2−x=3，
∴当x2−x=3时，原式=3+5=8，
故答案为：8．
先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2−x=3代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】9
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=12S△ABC，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△BDE=12S△ABD，
∴S△BDE=14S△ABC=14×36=9，
S△BDE=12BD⋅EF，
∴12BD⋅EF=9，
即12×BD×4=9，
解得：BD=92，
∴BC=9，
故答案为：9．
由S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，推出S△BDE=14S△ABC=14×36=9再根据三角形的面积公式即可得出答案
本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】50
【解析】解：如图，过点C作FG/​/AB，
因为FG/​/AB，AB/​/DE，
所以FG/​/DE，
所以∠B=∠BCF，(两直线平行，内错角相等)
∠CDE+∠DCF=180°，(两直线平行，同旁内角互补)
又因为∠B=80°，∠CDE=150°，
所以∠BCF=80°，(等量代换)
∠DCF=30°，(等式性质)
所以∠BCD=50°．
故答案为：50．
过点C作FG/​/AB，根据平行线的传递性得到FG/​/DE，根据平行线的性质得到∠B=∠BCF，∠CDE+∠DCF=180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF=80°，由等式性质得到∠DCF=30°，于是得到结论．
本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．准确作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】2∠A=∠1+∠2
【解析】解：2∠A=∠1+∠2，
理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠1+∠2=180°+180°−2(∠AED+∠ADE)，
∴∠1+∠2=360°−2(180°−∠A)=2∠A．
故答案为：2∠A=∠1+∠2．
根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°−∠A，代入∠1+∠2=180°+180°−2(∠AED+∠ADE)求出即可
本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
17.【答案】①②③④
【解析】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB/​/CD，
∴∠BAD=∠ADF，
故①正确，符合题意；
∵∠BAF=∠EDF，∠BAD=∠ADF，
∴∠EDA=∠DAF，
∴AF//ED，
故②正确，符合题意；
∵AF//ED，
∴∠CDE=∠F，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠ADE=∠F，
∵∠EDA=∠DAF，
∴∠F=∠DAF，
∴∠ADC=∠F+∠DAF=2∠F，
故③正确，符合题意；
∵DC⊥BC，
∴∠CED+∠CDE=90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=12∠ADC，
∴∠CED+12∠ADC=90°，
故④正确，符合题意；
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∵∠ADE=13∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠ADC=23∠BAD，
∴∠BAD+23∠BAD=180°，
∴∠BAD=108°，
∴∠ADC=72°，
∵∠ADC=2∠F=2∠ADE，
∴∠ADE=∠F=36°，
∴∠BED=360°−90°−108°−36°=126°，
∴∠AFD+∠BED=162°，
故⑤错误，不符合题意；
故答案为：①②③④．
由垂直可得AB/​/CD，即可证明①；根据条件证明∠EDA=∠DAF，即可证明②；根据角平分线的性质和第②问的结论即可证明③；根据角平分线的性质和DC⊥BC即可证明④；根据题中条件找到∠ADC=23∠BAD，即可证明⑤．
本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系、平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
18.【答案】−1，−2或−2016
【解析】解：当2x+3=1，即x=−1时，
x+2016=−1+2016=2015，
且12015=1；
当2x+3=−1即x=−2，
x+2016=−2+2016=2014，
且(−1)2014=1；
当x+2016=0，即x=−2016时，
2x+3=2×(−2016)=−4032，
且(−4032)0=1，
∴当x=−1，−2或−2016时，代数式(2x+3)x+2016的值为1，
故答案为：−1，−2或−2016．
根据1的任何次方、−1的偶次方和非零数字的零次幂等于1进行讨论、求解．
此题考查了乘方运算的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行讨论、求解．
19.【答案】解：(1)(−3a2)3+2a2⋅a4−a8÷a2
=−27a6+2a6−a6
=−26a6；
(2)(π−3.14)0−(12)−3−12022
=1−8−1
=−8；
(3)(2a+b)(b−2a)−(a−3b)2
=b2−4a2−(a2−6ab+9b2)
=b2−4a2−a2+6ab−9b2
=−8b2−5a2+6ab；
(4)(x+y−3)(x−y+3)
=[x+(y−3)][x−(y−3)]
=x2−(y−3)2
=x2−y2+6y−9．
【解析】(1)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
(2)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(3)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；
(4)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=(2x+5)(2x−5)；
(2)原式=(a−3)2；
(3)原式=4(x2−16)
=4(x+4)(x−4)；
(4)原式=−b(4a2−4ab+b2)
=−b(2a−b)2．
【解析】(1)利用平方差公式因式分解即可；
(2)利用完全平方公式因式分解即可；
(3)提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
(4)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示，线段BE即为所求．
【解析】(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(2)取格点D，连接BD交AC的延长线于点E，则线段BE即为所求．
本题考查了作图−平移变换，三角形的高，熟记平移变换的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵2m+3n=3，
∴9m⋅27n
=32m⋅33n
=32m+3n
=33
=27；
(2)∵10x=5，10y=6，
∴103x+2y的值．
=103x⋅102y
=(10x)3⋅(10y)2
=53×62
=4500．
【解析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方，变式求解即可．
本题主要考查了幂的运算法则的运用，关键是掌握同底数幂的乘法法则的逆运算以及幂的乘方法则的逆运算．
23.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠1+∠C=90°，
又∠C+∠ADE=90°，
∴∠1=∠ADE，
∴DE/​/AC；
(2)解：EF⊥BC．
理由：∵∠1=∠2，∠1=∠ADE，
∴∠2=∠ADE，
∴EF/​/AD，
∴∠EFD=∠ADC=90°，
∴EF⊥BC．
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠1+∠C=90°，等量代换得到∠1=∠ADE，于是得到结论；
(2)等量代换得到∠2=∠ADE，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)21−20=1=2(0)
22−21=2=2(1)
23−22=4=2(2)，
故答案为：1，0；2，1；4，2．
(2)第n个等式，2n−2n−1=2n−1；
说明：2n−2n−1=(2−1)×2n−1=2n−1；
(3)设S=20+21+22+23+24+…+21000，
则2S=21+22+23+24+…+21001，
所以S=(21+22+23+24+…+21001)−(20+21+22+23+24+…+21000)
=21001−1．
【解析】(1)根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；
(2)根据指数结果：幂的指数比等式的序数小1解答；
(3)设S=20+21+22+23+24+…+21000，然后表示出2S，再相减计算即可得解．
本题是对数字变化规律的考查，主要利用了同底数幂的乘法、有理数的乘方的计算，难点在于(3)利用整体思想求解．
25.【答案】9
【解析】解：(1)已知等式整理得：(a2−2a+1)+2(b2−8b+16)=0，
即(a−1)2+2(b−4)2=0，
∴a−1=0，b−4=0，
解得：a=1，b=4，
∵△ABC的三边长a，b，c都是正整数，
∴3则△ABC周长为1+4+4=9；
故答案为：9；
(2)原式=(a2+4b2+4ab)−4(a+2b)+7
=(a+2b)2−4(a+2b)+4+3
=(a+2b−2)2+3，
∵(a+2b−2)2≥0，
∴原式≥3>0，
当a+2b−2=0时，原式有最小值为3；
(3)x2+3x−4<2x2+2x−3，理由为：
∵(x2+3x−4)−(2x2+2x−3)
=x2+3x−4−2x2−2x+3
=−x2+x−1
=−(x2−x+14)−34
=−(x−12)2−34≤−34<0，
∴x2+3x−4<2x2+2x−3．
(1)已知等式配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，进而确定出c的值，求出三角形周长即可；
(2)原式配方变形后，利用非负数性质求出最小值，以及此时a与b的关系式即可；
(3)利用作差法比较大小即可．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
26.【答案】a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【解析】解：(1)∵等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，
∴等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和．
∵组成大正方形的各个部分的面积分别为：a2，ab，ac，ab，b2，bc，ac，bc，c2，
∴它们的和为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(2)解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2−(a2+b2+c2).
∴ab+bc+ca=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)2．
∵a+b+c=0，a2+b2+c2=4，
∴ab+bc+ca=−2；
(3)由(1)得：(ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc，
∴a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2−2ab2c−2abc2−2a2bc
=(−2)2−2abc(a+b+c)
=4−2abc×0，
=4．
∵a+b+c=0，
∴c=−a−b．
∵a2+b2+c2=4，
∴a2+b2+(−a−b)2=4．
即2a2+2b2+2ab=4
∴a2+b2+ab=2
∴原式=42=2．
(1)等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，那么所求的等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和；
(2)把(1)中得到的等式进行整理，可得：ab+bc+ca=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)2，代入计算即可；
(3)按照(2)的方法可得分子的值；根据a+b+c=0可得c=−a−b，代入a2+b2+c2=4中可得分母的值，相除即可求得所求分式的值．
本题考查完全平方式及因式分解的应用．根据面积的不同表示方法得到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac是解决本题的关键．解决本题的难点是：灵活应用得到的等式．
27.【答案】解：(1)如图1：

延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
∵PF平分∠MPE，
∴∠FPH=12∠APE，
设∠APE=2α，则∠FPH=α，
∵AB/​/CD，
∴∠PGQ=∠APE=2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH=QEG=90°，
∴∠EQD=∠QEG+∠PGQ=90°+2α，
∵QF平分∠DQE，
∴∠EQH=12∠EQD=45°+α，
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α=α+∠PFH，
∴∠PFH=135°；
(2)2∠PFQ−∠PEQ=180°，理由如下：
如图2，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，

设∠APE=2α，∠PEQ=β，则∠FPH=12∠APE=α，
∵AB/​/CD，
∴∠PGQ=∠APE=2α，
∵∠GEQ=180°−∠PEQ，
∴∠EQD=∠QEG+∠PGQ=180°−∠PEQ+2α，
∵QF平分∠DQE，
∴∠HQE=12∠EQD=90°+α−12∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α−12∠PEQ=α+∠PFQ，
∴2∠PFQ−∠PEQ=180°．
【解析】(1)延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠APE=2α，则∠FPH=∠APE=α，根据AB/​/CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQD，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果；
(2)类比(1)的方法过程，得出结果．
本题考查了平行线性质，三角形内角和定理等知识，解决问题的关键是熟练运用平行线的性质．