7.2021届高考数学（文）大一轮复习（课件 教师用书 课时分层训练）_第五章　数　列 （13份打包）

课时分层训练(三十一)　数列求和

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)

【导学号：31222189】

A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－

C．n2＋1－ D．n2－n＋1－

A　[该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，

则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋

＝n2＋1－.]

2．(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(　　)

A．100 B．110

C．120 D．130

C　[{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]

3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)

A．192里 B．96里

C．48里 D．24里

B　[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]

4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于(　　)

A．5 B．6

C．7 D．16

C　[根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.

又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.]

5．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝(　　) 【导学号：31222190】

A.－1 B.－1

C.－1 D.＋1

C　[由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.

∴an＝＝＝－，

S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.]

二、填空题

6．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N*，则S2 016＝__________.

【导学号：31222191】

0　[an＝sin，n∈N*，显然每连续四项的和为0.

S2 016＝S4×504＝0.]

7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.

2n ＋1－2　[∵an＋1－an＝2n，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.

∴Sn＝＝2n＋1－2.]

8．(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．

　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]

三、解答题

9．(2017·成都二诊)已知数列{an}中，a1＝1，又数列(n∈N*)是公差为1的等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

[解]　(1)∵数列是首项为2，公差为1的等差数列，

∴＝2＋(n－1)＝n＋1，3分

解得an＝.5分

(2)∵an＝＝2，

∴Sn＝2

＝2＝.12分

10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

[解]　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，

由题意有解得3分

所以{an}的通项公式为an＝.5分

(2)由(1)知，bn＝.

当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1；

当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2；8分

当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3；

当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，…，2n－1lg an，…的前n项和Sn等于(　　)

 【导学号：31222192】

A．n·2n B．(n－1)·2n－1－1

C．(n－1)·2n＋1 D．2n＋1

C　[∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，

a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，

∴2n－1lg an＝2n－1lg 10n＝n·2n－1，

∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①

2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②

∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.]

2．(2017·合肥二次质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________.

n·2n(n∈N*)　[由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．]

3．(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]　(1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3，

两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，

∴an＋1＝3an，∴＝3.

当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.3分

∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列．

∴an＝3×3n－1＝3n.5分

(2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，7分

∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①

3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，②

①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1

＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1

＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1

＝－6－(2n－2)·3n＋1.10分

∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.12分

法二：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n.7分

∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n，

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n]

＝(n－1)·3n＋1＋3.12分