2020届二轮复习指数函数、对数函数和分段函数教案（全国通用）

【例1】某城市现有人口总数为万人，如果年自然增长率为，试解答下面的问题：
   （1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式；
   （2）计算年以后该城市人口总数（精确到万人）；
    (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到万人（精确到年）．

（）

   【点评】（ 1）增长率（降低率）的问题一般是指数模型或幂函数模型，如果已知增长率（降低率）求

时间，多是指数函数模型.（2）解指数方程或不等式，一般利用对指互化.

   【反馈检测1】1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.

（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？

（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？

以下数据供计算时使用：

【反馈检测2】(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)(元)与所存月数之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)．

(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期

为，写出本利和随存期变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？

【例2】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 ，单位是，其中表示燕子的耗氧量．

 (1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

【点评】对数函数模型的应用题一般模型为.

【反馈检测3】长春亚泰足球俱乐部准备为救助失儿童在吉林省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数，则这三种门票的张数分别为         万张时可以为失儿童募捐的纯收入最大.

【例3】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用下图中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图中（2）的抛物线表示．

（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

（注：市场售价和种植成本的单位：元，时间单位：天）

（2）设时刻的纯收益为，则由题意得，

即

当时，配方整理得，

所以，当时，取得区间上的最大值；

当时，配方整理得，

【点评】（1）由于市场售价与时间的函数关系是分段函数，所以时刻的纯收益也为分段函数.（2）数中的分类的根本原因是由于某些数因素的不确定性.

【反馈检测4】在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当时，车流速度为千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.

（1）当时，求函数的表达式；

（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

高中数常见题型解答归纳及反馈检测第10讲：

函数（指数函数、对数函数和分段函数）模型及其应用参考答案

【反馈检测1答案】每年人口平均增长率为，2008年人口至多有亿.

【反馈检测2答案】（1）101.8元；（2）1117.68元. .

【反馈检测2详细解析】(1)利息＝本金×月利率×月数．＝100＋100×0.36%·＝100＋0.36，当＝5时，＝101.8，∴5个月后的本息和为101.8元．

(2)已知本金为元，1期后的本利和为＝＋×＝ (1＋)，

2期后的本利和为＝ (1＋)＋ (1＋)＝；

3期后的本利和为＝；……

所以期后的本利和为y＝.

将＝1 000，＝2.25%，＝5代入上式得＝1 000×(1＋2.25%)

由计算器算得＝1117.68(元)．

答：复利函数式为＝,5期后的本利和为1117.68元．

【反馈检测3答案】

【反馈检测3详细解析】设3元、5元、8元门票的张数分别为，则（1）代入（3）有（万元），当且仅当 时等号成立，解得，所以.由于为增函数，即此时也恰有最大值.

【反馈检测4答案】（1）；

（2）当车流密度为辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约辆/小时.

（2）由题意知，

当时，，则函数在区间上单调递增，此时在处取最大值，即；

当时，，函数图象开口朝上，对称轴为直线，

此时函数在处取得最大值，即，

，故当时，，

即当车流密度为辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约辆/小时.