2020二轮复习(理)　圆锥曲线中的综合问题作业

专题限时集训(十一)　圆锥曲线中的综合问题

(建议用时：20分钟)

1．[易错题]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．

[解](1)由题意知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2，

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

则Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，化简得m2＜4k2＋1.　①

x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，

若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，所以4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，则(4k2－5)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0，

所以(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0，化简得m2＋k2＝.　②

由①②得0≤m2＜，＜k2≤.

因为原点O到直线l的距离d＝，所以d2＝＝＝－1＋，

又＜k2≤，所以0≤d2＜，解得0≤d＜.

所以原点O到直线l的距离的取值范围为.

2．(2019·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

[解](1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.

所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.

(2)抛物线C的焦点为F(0，－1)．

设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．

由得x2＋4kx－4＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.

直线OM的方程为y＝x.

令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.

同理得点B的横坐标xB＝－.

设点D(0，n)，

则＝，＝，

·＝＋(n＋1)2

＝＋(n＋1)2

＝＋(n＋1)2

＝－4＋(n＋1)2.

令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则n＝1或n＝－3.

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．

【押题1】　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F，且该椭圆过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝相交于点B时，求证：△FAB为直角三角形．

[解](1)由题意得＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，即椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由题意可得直线l的斜率存在，

设l：y＝kx＋m，联立

得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

判别式Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0，

得m2＝4k2＋1＞0.

设A(x1，y1)，则x1＝＝＝－，y1＝kx1＋m＝＋m＝，即A.

易得B，F(，0)，

则＝，＝，

·＝＋＝－－1＋＋1＝0，

所以⊥，即△FAB为直角三角形，得证．

【押题2】　如图，由部分抛物线y2＝mx＋1(m＞0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和.

(1)求“黄金抛物线C”的方程；

(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

[解](1)因为“黄金抛物线C”过点(3,2)和，

所以r2＝＋＝1,4＝3m＋1，解得m＝1.

所以“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．

(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB.

显然直线l的斜率存在且不为0，

结合题意可设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令xA＜0＜xB.

由消去y并整理，得k2x2＋(2k－1)x＝0，

所以xB＝，yB＝，即B，由xB＞0知k＜，所以直线BQ的斜率为kBQ＝.

由消去y并整理，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，

所以xA＝－，yA＝，即A，由xA＜0知k＞0，所以直线AQ的斜率为kAQ＝－.

因为QP平分∠AQB，且直线QP的斜率不存在，所以kAQ＋kBQ＝0，

即－＋＝0，由0＜k＜，可得k＝－1.

所以存在直线l：y＝(－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.