高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优质第2课时2课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优质第2课时2课时学案设计，共10页。学案主要包含了全集与补集，与补集有关的参数的范围问题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．





知识点 全集与补集


1．全集


(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．


(2)记法：全集通常记作U.


思考 全集一定是实数集R吗？


答案 不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.


2．补集





预习小测 自我检验


1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝______________.


答案 {3,4,5}


解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}．


2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则∁UA＝______.


答案 {x|x≥2}


解析 ∵全集为R，A＝{x|x<2}，∴∁UA＝{x|x≥2}．


3．设全集为U，M＝{1,2}，∁UM＝{3}，则U＝________.


答案 {1,2,3}


解析 U＝M∪(∁UM)＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．


4．已知全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>0}，则∁U(A∩B)＝________.


答案 {x|x≤0或x>2}


解析 A∩B＝{x|02}．





一、全集与补集


例1 (1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.


(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.


答案 (1){2,3,5,7} (2){x|x<－3，或x＝5}


解析 (1)方法一 A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，


∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．


又∁UB＝{1,4,6}，


∴B＝{2,3,5,7}．


方法二 借助Venn图，如图所示．





由图可知B＝{2,3,5,7}．


(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，





如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}．


反思感悟 求集合补集的基本方法及处理技巧


(1)基本方法：定义法．


(2)两种处理技巧：


①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；


②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．


跟踪训练1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于( )


A．{x|0

C．{x|0

答案 C


解析 ∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，


∴∁UA＝{x|0

(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(∁UA)∩(∁UB)＝________.


答案 {x|x是直角三角形}


解析 根据三角形的分类可知，∁UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，


所以(∁UA)∩(∁UB)


二、交、并、补的综合运算


例2 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

解 如图所示．





∵A＝{x|－2

∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，


∁UB＝{x|x<－3，或2

A∩B＝{x|－2

故(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，


A∩(∁UB)＝{x|2

∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．


反思感悟 解决集合交、并、补运算的技巧


(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．


(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．


跟踪训练2 已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．


解 方法一 ∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，


U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，


∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．


∵A∩B＝{5,8}，


∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．


∵∁UA＝{1,3,6,7,9}，∁UB＝{2,4,6,7,9}，


∴(∁UA)∩(∁UB)＝{6,7,9}，


(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．


方法二 作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．





三、与补集有关的参数的范围问题


例3 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2

解 方法一 (直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．


因为B＝{x|－2




所以－m≤－2，即m≥2，


所以m的取值范围是m≥2.


方法二 (集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，


又B＝{x|－2

结合数轴：





得－m≤－2，即m≥2.


延伸探究


1．将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？


解 由已知得A＝{x|x≥－m}，


所以∁UA＝{x|x<－m}，


又(∁UA)∩B＝B，


所以－m≥4，解得m≤－4.


2．将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？


解 由已知A＝{x|x≥－m}，


∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．


又(∁UB)∪A＝R，


所以－m≤－2，解得m≥2.


反思感悟 由集合的补集求解参数的方法


(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．


(2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析法求解．


跟踪训练3 已知集合A＝{x|x0}．若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围．


解 ∵B＝{x|x<－1，或x>0}，


∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，


∴要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如图)，


可得a≤－1.





即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．





1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于( )


A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}


答案 C


解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，


∴∁UM＝{3,5,6}．


2．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁UB)等于( )


A．{x|0≤x<1} B．{x|0

C．{x|x<0} D．{x|x>1}


答案 B


解析 ∁UB＝{x|x≤1}，


所以A∩(∁UB)＝{x|0

3.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )





A．{3,4,5} B．{1,3,4}


C．{1,2,5} D．{3,4}


答案 D


解析 由图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)．


∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，


∴∁U(M∪N)＝{3,4}．


4．已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x>1}，若A∩(∁RB)≠∅，则实数a的取值范围是________．


答案 {a|a<1}


解析 ∁RB＝{x|x≤1}，


∵A∩(∁RB)≠∅，∴a<1.


5．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是____________．


答案 ∁UA∁UB


解析 先求出∁UA＝{x|x<0}，∁UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁UA∁UB.





1．知识清单：


(1)全集和补集的概念及运算．


(2)并、交、补集的混合运算．


(3)与补集有关的参数的求解．


2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合．


3．常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．








1．设U＝R，A＝{x|－1

A．{x|x≤－1，或x>0} B．{x|－1≤x<0}


C．{x|x<－1，或x≥0} D．{x|x≤－1，或x≥0}


答案 A


2．(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA等于( )


A．{1,6} B．{1,7}


C．{6,7} D．{1,6,7}


答案 C


解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，


∴∁UA＝{1,6,7}．


又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}．


3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)等于( )


A．{x|x>1} B．{x|x≥1}


C．{x|1

答案 D


解析 由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．


4．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )


A．(∁UM)⊇(∁UN) B．M⊆(∁UN)


C．(∁UM)⊆(∁UN) D．M⊇(∁UN)


答案 C


解析 ∵M∩N＝N，∴N⊆M，


∴(∁UM)⊆(∁UN)．


5．已知集合A＝{x|x

A．{a|a≤1} B．{a|a<1} C．{a|a≥2} D．{a|a>2}


答案 C


解析 ∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示．





∵A∪(∁RB)＝R，∴a≥2.


6．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝________.


答案 {6,8}


解析 ∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁UA＝{6,8}．


∴(∁UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．


7．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁IM)∩(∁IN)＝________.


答案 ∅


解析 (∁IM)∩(∁IN)＝∁I(M∪N)＝∁II＝∅.


8．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x

答案 2


解析 因为∁UA＝{x|x<1，或x≥2}，


所以A＝{x|1≤x<2}．


所以b＝2.


9．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2

(1)求A∩B，(∁RB)∪A；


(2)已知C＝{x|a

解 (1)显然A∩B＝{x|3≤x<6}．


∵B＝{x|2

∴(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．


(2)∵C⊆B，如图所示，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥2，,a＋1≤9，))





解得2≤a≤8，∴a的取值范围为{a|2≤a≤8}．


10．已知A＝{x|－1

(1)当m＝1时，求A∪B；


(2)若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．


解 (1)m＝1，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1

(2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}，当B＝∅时，即m≥1＋3m得，m≤－eq \f(1,2)，满足B⊆∁RA，


当B≠∅时，使B⊆∁RA，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<1＋3m，,1＋3m≤－1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<1＋3m，,m>3，))


解得m>3，


综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤－\f(1,2)或m>3)))).





11．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为( )





答案 A


解析 如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.





12．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


答案 B


解析 A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，


则∁U(A∪B)＝{3,5}，共有2个元素．


13．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x2}，则∁R(A∩B)＝________.


答案 {x|x<0，或x>4}


解析 ∵A＝{x|0≤x≤4}，


B＝{y|y≥0}，


∴A∩B＝{x|0≤x≤4}，


∴∁R(A∩B)＝{x|x<0，或x>4}．


14．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．


答案 m－n


解析 ∵(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．








15．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”：X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z等于( )


A．(X∪Y)∩∁UZ B．(X∩Y)∪∁UZ


C．(∁UX∪∁UY)∩Z D．(∁UX∩∁UY)∪Z


答案 B


解析 依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)，


(X*Y)*Z＝∁U[(X*Y)∩Z]＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]


＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁UZ)＝(X∩Y)∪(∁UZ)．


16．对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有


A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，


B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，


A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，


B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，


据此，试回答下列问题．


(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；


(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；


(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．


解 (1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．


(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，


∴A＝{1,2}，B＝{2}．


(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．自然语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言