高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质课后测评

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质课后测评，共8页。

§3 指数函数


课时2 指数函数的性质


知识点 单调性与奇偶性


1.☉%#*#2@164%☉(2020·岳阳县一中月考)函数f(x)=πx与g(x)=1πx的图像关于( )。


A.原点对称 B.x轴对称


C.y轴对称 D.直线y=-x对称


答案：C


解析：设点(x,y)为函数f(x)=πx的图像上任意一点,则点(-x,y)为g(x)=π-x=1πx的图像上的点。因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=πx与g(x)=1πx的图像关于y轴对称,故选C。


2.☉%19#￥9#￥3%☉(2020·扬州中学月考)若函数f(x)=(2a-1)x是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )。


A.(0,1) B.(1,+∞)


C.12,1 D.(-∞,1)


答案：C


解析：由已知,得0<2a-1<1,则12

3.☉%*@#￥0511%☉(2020·武汉模拟)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=( )。


A.ex-e-x B.12(ex+e-x)


C.12(e-x-ex) D.12(ex-e-x)


答案：D


解析：由f(x)+g(x)=ex,可得f(-x)+g(-x)=e-x,


由f(x)与g(x)的奇偶性,可得f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x。


所以f(x)-g(x)-[f(x)+g(x)]=e-x-ex,


整理得-2g(x)=e-x-ex,即g(x)=12(ex-e-x)。故选D。


4.☉%82***90￥%☉(2020·湖南实验中学期中)设f(x)=12|x|,x∈R,则f(x)是( )。


A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数


B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数


C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数


D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数


答案：D


解析：依题意,得f(-x)=12|-x|=12|x|=f(x),所以f(x)是偶函数。当x>0时,f(x)=12|x|=12x,该指数函数是单调递减函数。故选D。


5.☉%*905@2@*%☉(2020·兰州一中期末)若122a+1<123-2a,则实数a的取值范围是( )。


A.(1,+∞) B.12,+∞


C.(-∞,1) D.-∞,12


答案：B


解析：因为函数y=12x在R上为减函数,所以2a+1>3-2a,解得a>12,故选B。


6.☉%1*2*6*7#%☉(2020·黑龙江、吉林两省八校高一联考)若f(x)=ax,x>1,4-a2x+2,x≤1是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为( )。


A.(1,+∞) B.(4,8)


C.[4,8) D.(1,8)


答案：C


解析：因为f(x)是R上的单调递增函数,所以f1(x)=ax单调递增,f2(x)=4-a2x+2单调递增,则a>1,4-a2>0,f1(1)≥f2(1),所以a>1,a<8,a≥4,解得4≤a<8。故选C。


7.☉%*7*#976@%☉(2020·江西吉安一中月考)已知x,y∈R,且2-x+3-y>2y+3x,则下列各式中正确的是( )。


A.x-y>0 B.x+y<0


C.x-y<0 D.x+y>0


答案：B


解析：若x+y<0,则x<-y,y<-x。因为指数函数y=2x,y=3x在R上单调递增,所以3x<3-y,2y<2-x。两式相加,得3x+2y<2-x+3-y,与题意相符,因此x+y<0满足条件,故选B。


8.☉%4**@2*68%☉(2020·河南八市第一次联考)已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+2是奇函数,


(1)求b的值;


答案：解:因为f(x)是R上的奇函数,


所以f(0)=0。所以b-14=0,所以b=1。


经检验,b=1满足f(x)是奇函数,所以b=1。


(2)判断函数f(x)的单调性;


答案：f(x)=1-2x2x+1+2=12x+1-12。


因为y=2x在R上是单调递增,所以f(x)在R上单调递减。


(3)若对于任意x∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围。


答案：因为f(x)是R上的奇函数,且在R上单调递减,


所以f(t2-2t)k-2t2。


所以k<3t2-2t对一切t∈R恒成立。


因为3t2-2t=3t-132-13≥-13,所以k<-13。


题型1 指数函数性质的简单应用


9.☉%@7*10#8*%☉(2020·济南统考)已知指数函数f(x)的图像经过点-32,39,则f(3.14)与f(π)的大小关系为 。


答案：f(3.14)

解析：因为f(x)是指数函数,所以可设f(x)=ax(a>0,a≠1),由已知,得f-32=39,a-32=39=3-32,即a=3,所以f(x)=3x。因为3.14<π,所以f(3.14)

10.☉%*892*8*#%☉(2020·鄂东南联盟考试)函数f(x)=2x的图像与函数g(x)=ax的图像关于y轴对称,则实数a的值为 。


答案：12


解析：因为函数y=ax(a>0,a≠1)的图像与y=1ax=a-x的图像关于y轴对称,所以a=12。


11.☉%5*4@*9￥8%☉(2020·九江一中月考)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是 。


答案：12,+∞


解析：因为a2+a+2=a+122+74>1,


所以y=(a2+a+2)x为R上的增函数,所以x>1-x,即x>12。


12.☉%4*#682#*%☉(2020·银川育才中学高一月考)已知指数函数f(x)=(2a+1)x,且f(-3)>f(-2),则实数a的取值范围是。


答案：-12,0


解析：指数函数f(x)=(2a+1)x,且f(-3)>f(-2),


所以函数f(x)单调递减,所以0<2a+1<1,解得-12

13.☉%1*82￥￥#8%☉(2020·杭州中学检测)设函数f(x)=12x-7,x<0,x,x≥0,若f(a)<1,则实数a的取值范围是 。


答案：(-3,1)


解析：当a<0时,f(a)=12a-7<1,12a<12-3,即-3

当a≥0时,f(a)=a<1,即0≤a<1。


综上得,a∈(-3,1)。


14.☉%￥*2#183￥%☉(2020·兰州一中过关检测)比较下列各组中两个数的大小。


(1)0.8-0.1,0.8-0.2;


答案：解:因为0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x在R上为减函数。所以0.8-0.1<0.8-0.2。


(2)1.70.3,0.93.1;


答案：因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1。


(3)a1.3,a2.5(a>0且a≠1)。


答案：


当a>1时,函数y=ax是增函数,此时a1.3

当0a2.5。


15.☉%@63#6#2*%☉(2020·天津和平高一期中质量调查)设f(x)=1-2x1+2x,判断函数f(x)的奇偶性。


答案：解:对于函数f(x),其定义域为(-∞,+∞)。


因为对定义域内的每一个x,


都有f(-x)=1-2-x1+2-x=2x-12x+1=-1-2x1+2x=-f(x),


所以函数f(x)=1-2x1+2x为奇函数。


题型2 值域与最值


16.☉%6￥9@￥8#7%☉(2020·吉安一中期中)已知函数f(x)=2x,x<0,3x,x≥0,则f(f(-1))=( )。


A.2 B.3 C.0 D.12


答案：B


解析： f(-1)=2-1=12,f(f(-1))=f12=312=3。故选B。


17.☉%61￥￥8#￥8%☉(2020·合肥一中月考)函数f(x)=12x-3x在区间[-2,2]上的最大值为( )。


A.359 B.13 C.354 D.-354


答案：A


解析：因为函数y=12x为单调递减函数,y=3x为单调递增函数,所以函数f(x)=12x-3x在[-2,2]上单调递减,所以其最大值为f(-2)=12-2-3-2=4-19=359。故选A。


18.☉%*22#@7#8%☉(2020·泉州调考)若函数f(x)=2-|x|-c的图像与x轴有交点,则实数c的取值范围为( )。


A.[-1,0) B.[0,1]


C.(0,1] D.[1,+∞)


答案：C


解析：因为函数f(x)=2-|x|-c的图像与x轴有交点,所以2-|x|-c=0有解,即2-|x|=c有解。因为-|x|≤0,所以0<2-|x|≤1,所以0

19.☉%￥8#**360%☉(多选)(2020·杭州外校月考)函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2,则a的值可取( )。


A.12 B.32


C.23 D.0


答案：AB


解析：


当a>1时,y=ax在[1,2]上的最大值为a2,最小值为a,


故有a2-a=a2,解得a=32或a=0(舍去)。


当0

故有a-a2=a2,解得a=12或a=0(舍去)。


综上,a=32或a=12。故选AB。


20.☉%￥548￥*0￥%☉(2020·徐州一中模拟)若函数f(x)=2x,x<0,-2-x,x>0,则函数f(x)的值域是 。


答案：(-1,0)∪(0,1)


解析：由x<0,得0<2x<1;由x>0,得-1<-2-x<0。所以函数f(x)的值域为(-1,0)∪(0,1)。


21.☉%2#38*7*￥%☉(2020·东北育才学校期中考试)已知函数f(x)=a-12x-1是定义在(-∞,-1)∪(1,+∞)上的奇函数,求函数f(x)的值域。


答案：解:f(x)+f(-x)=a-12x-1+a-12-x-1=2a+1。


因为f(x)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上为奇函数,


所以2a+1=0,即a=-12,所以f(x)=-12-12x-1。


设t=2x-1,则t∈-1,-12∪(1,+∞),


所以1t∈(-2,-1)∪(0,1),所以-1t∈(-1,0)∪(1,2),


得-12-1t∈-32,-12∪12,32,


故函数f(x)的值域为-32,-12∪12,32。


22.☉%@87*@￥22%☉(2020·河南八市重点高中质检)已知x∈[0,2],试求函数y=14x-12x+2的最大值与最小值。


答案：解:因为y=12x2-12x+2,


所以令12x=t,则y=t2-t+2=t-122+74。


又x∈[0,2],所以14≤t≤1,则当t=12时,y取得最小值74,


当t=1时,y取得最大值2,所以y=14x-12x+2,x∈[0,2]的最大值为2,最小值为74。


23.☉%4@@3*1￥1%☉(2020·许昌高一月考)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值为m,最小值为n。


(1)若m+n=6,求实数a的值;


答案：解:因为无论01,函数f(x)的最大值都是a和a2中的一个,最小值为另一个,


所以a2+a=6,解得a=2或a=-3(舍去),


故实数a的值为2。


(2)若m=2n,求实数a的值。


答案：当0

所以由题意,得a=2a2,解得a=0(舍去)或a=12,所以a=12。


当a>1时,函数f(x)=ax在区间[1,2]上是增函数,其最大值为m=f(2)=a2,最小值为n=f(1)=a,


所以由题意,得a2=2a,解得a=0(舍去)或a=2,所以a=2。


综上,知实数a的值为12或2。