高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．在△ABC中，A＝eq \f(π,4)，csB＝eq \f(\r(10),10)，则sinC等于( )


A.eq \f(2\r(5),5) B．－eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D．－eq \f(\r(5),5)


[解析] ∵csB＝eq \f(\r(10),10)，∴B为锐角


∴sinB＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(3\r(10),10).


又∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)


＝sineq \f(π,4)csB＋cseq \f(π,4)sinB


＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(8\r(5),20)＝eq \f(2\r(5),5)


[答案] A


2．计算cs(80°＋2α)cs(65°＋2α)＋sin(80°＋2α)sin(65°＋2α)的值为( )


A.eq \f(\r(2)－\r(6),4) B.eq \f(\r(3),2)


C.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) D.eq \f(1,2)


[解析] 原式＝cs[(80°＋2α)－(65°＋2α)]


＝cs15°＝cs(45°－30°)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).


[答案] C


3.eq \f(1,2)sin15°－eq \f(\r(3),2)cs15°的值为( )


A.eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)


[解析] 原式＝sin30°·sin15°－cs30°·cs15°


＝－(cs30°·cs15°－sin30°·sin15°)


＝－cs(30°＋15°)＝－cs45°＝－eq \f(\r(2),2).


[答案] B


4．已知sinα＝eq \f(2\r(2),3)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sinβ等于( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,3) D.eq \f(4\r(2),9)


[解析] 因为sinα＝eq \f(2\r(2),3)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以csα＝eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(2\r(2),3).


sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)csα－cs(α＋β)sinα＝eq \f(4\r(2),9)，故选D.


[答案] D


5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq \f(4,5)eq \r(3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是( )


A．－eq \f(2\r(3),5) B.eq \f(2\r(3),5) C．－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)


[解析] 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq \f(4\r(3),5)，


所以eq \f(\r(3),2)csα＋eq \f(3,2)sinα＝eq \f(4,5)eq \r(3)，


eq \r(3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)csα＋\f(\r(3),2)sinα))＝eq \f(4,5)eq \r(3)，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5).


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5)，故选C.


[答案] C


二、填空题


6．形如eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a bc d))的式子叫做行列式，其运算法则为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a bc d))＝ad－bc，则行列式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3) sin\f(π,6),sin\f(π,3) cs\f(π,6)))的值是________．


[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3) sin\f(π,6),sin\f(π,3) cs\f(π,6)))＝cseq \f(π,3)cseq \f(π,6)－sineq \f(π,3)sineq \f(π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝cseq \f(π,2)＝0.


[答案] 0


7．若cs(α＋β)＝eq \f(1,5)，cs(α－β)＝eq \f(3,5)，则tanα·tanβ＝_____.


[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csα＋β＝\f(1,5)，csα－β＝\f(3,5)，))


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csαcsβ－sinαsinβ＝\f(1,5)，,csαcsβ＋sinαsinβ＝\f(3,5).))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csα·csβ＝\f(2,5)，,sinα·sinβ＝\f(1,5)，))


所以tanα·tanβ＝eq \f(sinαsinβ,csαcsβ)＝eq \f(1,2).


[答案] eq \f(1,2)


8．A，B均为锐角，cs(A＋B)＝－eq \f(24,25)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝________.


[解析] 因为A，B均为锐角，


cs(A＋B)＝－eq \f(24,25)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，


所以0

可得sin(A＋B)＝eq \r(1－cs2A＋B)＝eq \f(7,25)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3))))


＝－eq \f(4,5)，可得


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(A＋B－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))))


＝eq \f(7,25)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))×eq \f(3,5)＝eq \f(44,125).


[答案] eq \f(44,125)


三、解答题


9．已知sin(α－β)csα－cs(β－α)sinα＝eq \f(4,5)，β是第三象限角，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))的值．


[解] ∵sin(α－β)csα－cs(β－α)sinα


＝sin(α－β)csα－cs(α－β)sinα


＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝eq \f(4,5)，


∴sinβ＝－eq \f(4,5)，又β是第三象限角，


∴csβ＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(3,5).


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝sinβcseq \f(π,4)＋csβsineq \f(π,4)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)


＝－eq \f(7\r(2),10).


10．化简：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x)).


[解] 原式＝sinxcseq \f(π,3)＋csxsineq \f(π,3)＋2sinxcseq \f(π,3)－2csxsineq \f(π,3)－eq \r(3)cseq \f(2π,3)csx－eq \r(3)sineq \f(2π,3)sinx＝eq \f(1,2)sinx＋eq \f(\r(3),2)csx＋sinx－eq \r(3)csx＋eq \f(\r(3),2)csx－eq \f(3,2)sinx


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－\f(3,2)))sinx＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\r(3)＋\f(\r(3),2)))csx＝0.


综合运用


11．在△ABC中，2csBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( )


A．等腰三角形 B．直角三角形


C．等腰直角三角形 D．等边三角形


[解析] ∵在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2csBsinA＝sin[π－(A＋B)]


＝sin(A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB.


∴－sinAcsB＋csAsinB＝0，


即sin(B－A)＝0，∴A＝B.故选A.


[答案] A


12．若eq \r(3)sinx＋csx＝4－m，则实数m的取值范围是( )


A．2≤m≤6 B．－6≤m≤6


C．2

[解析] ∵eq \r(3)sinx＋csx＝4－m，


∴eq \f(\r(3),2)sinx＋eq \f(1,2)csx＝eq \f(4－m,2)，


∴sineq \f(π,3)sinx＋cseq \f(π,3)csx＝eq \f(4－m,2)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝eq \f(4－m,2).∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))))≤1，


∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4－m,2)))≤1，∴2≤m≤6.


[答案] A


13.eq \f(sin27°＋cs45°sin18°,cs27°－sin45°sin18°)＝________.


[解析] 原式＝eq \f(sin45°－18°＋cs45°sin18°,cs45°－18°－sin45°sin18°)


＝eq \f(sin45°cs18°－cs45°sin18°＋cs45°sin18°,cs45°cs18°＋sin45°sin18°－cs45°sin18°)


＝tan45°＝1.


[答案] 1


14．已知sinα－csβ＝eq \f(1,2)，csα－sinβ＝eq \f(1,3)，则sin(α＋β)＝________.


[解析] 由sinα－csβ＝eq \f(1,2)两边平方得


sin2α－2sinαcsβ＋cs2β＝eq \f(1,4)，①


由csα－sinβ＝eq \f(1,3)两边平方得


cs2α－2csαsinβ＋sin2β＝eq \f(1,9)，②


①＋②得：(sin2α＋cs2α)－2(sinαcsβ＋csαsinβ)＋(cs2β＋sin2β)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,9).


∴1－2sin(α＋β)＋1＝eq \f(13,36).∴sin(α＋β)＝eq \f(59,72).


[答案] eq \f(59,72)


15．已知csα＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).


求：(1)sin(2α－β)的值；


(2)β的值．


[解] (1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


又sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)>0，所以0<α－β

所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，


cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，


sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]


＝sinαcs(α－β)＋csαsin(α－β)


＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(7\r(12),10).


(2)csβ＝cs[α－(α－β)]


＝csαcs(α－β)＋sinαsin(α－β)


＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，


又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq \f(π,4).