初一数学上册秋季班培优讲义 第2讲 有理数综合运算 学生版

    如何计算？

有理数综合运算

1．有理数加法法则：

① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．

③ 一个数同0相加，仍得这个数．

2．有理数加法的运算律：

①两个加数相加，交换加数的位置，和不变．（加法交换律）

②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．

（加法结合律）.

3．有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数，.

4. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

任何数同0相乘，都得0.

5. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.，()

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.

6. 有理数乘方

概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫

做指数.

含义：中，为底数，为指数，它表示的个数，表示有个连续相乘.

特别注意:负数及分数的乘方，应把底数加上括号.

7. 有理数混合运算的运算顺序：

① 先乘方，再乘除，最后加减；

② 同级运算，从左到右进行；

③ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.

同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，先算三级运算，然后二级，最后一级；

如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.

④ 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.

【例1】 计算：⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

【例2】  

⑴填空：     ；

     ；

⑵计算：.

针对例2的拓展：

⑴；

⑵.

.

【例3】 计算：⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

1.分数裂项技巧：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷.

2.整数裂项技巧：

⑴；

⑵.

3.连锁约分

多个分数相乘通过约掉分子分母中的相同因数简便运算.

【例4】 计算：⑴；

⑵.

针对例4的铺垫：

计算：⑴

⑵

针对例4的拓展

计算：⑴；

⑵；

⑶.

【例5】 计算：⑴；

⑵；

    ⑶.

【例6】 计算：⑴

⑵

【例7】 ⑴已知，

的值为               .

⑵计算：

.

训练1.             计算：

训练2.             计算：       ．

训练3.             计算：

训练4.             初一（4）班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参加活动，游戏结束后，5个队的得分如下： 队：分；队：150分；队：分；队：0分；队：100分．

⑴ 将5个队按由低分到高分的顺序排序；

⑵ 把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；

⑶ 从数轴上看队与队相差多少分？队与队呢？

乘法分配律的应用、连续自然数的加减交替

【练习1】   ⑴ 计算：；

          ⑵ 计算：；

⑶ 计算： .

有理数综合运算

【练习2】   计算：

裂项

【练习3】   计算：          ．

【练习4】   计算：.

连锁约分

【练习5】   计算：

整体思想

【练习6】   计算：.

1+1=2吗？

皮亚诺（Peano,Giuseppe） 意大利数学家。1858年8月27日生于皮埃蒙特的库内奥附近的斯皮内塔村；1932年4月20日卒于都灵。 皮亚诺致力于发展布尔所创始的符号逻辑系统。1889年他出版了《几何原理的逻辑表述》一书，书中他把符号逻辑用来作为数学的基础，这工作在二十多年后为怀特黑德所继续。皮亚诺由未定义的概念“零”，“数”，及“后继数”出发建立公理系统。

皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺（皮阿罗）提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

1+1=2

1 + 1
= 0’ + 1 （根据自然数的公理）
= （0 + 1)’（根据加法定义 2）
= 1’ （根据加法定义 1）
= 2 （根据自然数的公理）

在数前分别添加“”或“”，使其运算结果为最小的非负数。