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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识1 集合1.1 集合的概念与表示获奖ppt课件
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识1 集合1.1 集合的概念与表示获奖ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，一一列举，有限个元素，无限个元素，半开半闭区间，闭区间，开区间，不属于，无穷大等内容，欢迎下载使用。
根据集合的概念,我们知道:1.不等式2x+3<15的所有自然数解组成集合A;2.不等式2x+3<15的所有实数解组成集合B.同学们想一下,这两个集合有区别吗?如何表示这两个集合呢?
一、集合的表示方法1.列举法列举法是把集合中的元素 出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法,一般可将集合表示为 . 名师点析用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)元素与元素之间必须用“,”隔开;(2)集合的元素必须是明确的;(3)不必考虑元素出现的先后顺序;(4)集合的元素不能重复;(5)集合的元素可以表示任何事物;(6)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.
2.描述法描述法是通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
名师点析1.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.2.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词“且”与“或”等联结.如集合 .3.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D= 可以表示为D= .4.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如 中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.5.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.
微练习用列举法表示下列集合:(1)方程x2-9=0的解组成的集合;(2)不大于100的自然数组成的集合.
答案: (1){-3,3}.(2){0,1,2,3,…,100}.
微思考下面四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么?
提示:它们是互不相同的集合.①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值组成的集合,所以{x|y=x2+1}=R;②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值组成的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)组成的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点};④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.
微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.( )(2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.( )(3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合.( )(4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集. ( )
提示: (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、集合的分类1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:含有 的集合叫作有限集,含有 的集合叫作无限集. 2.把不含有任何元素的集合叫作 ,记作 . 名师点析(1)集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.(2)空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.
微思考空集是有限集还是无限集?
提示:空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.
三、区间及其表示1.设a,b是两个实数,且 ,我们作出规定:
这里的实数a,b称为区间的端点.[a,b]称为 ,(a,b)称为 ,[a,b),(a,b]称为 .在数轴上表示区间时,用实心点表示 区间的端点,用空心点表示 区间的端点.
2.数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“ ”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x
微练习将下列集合用区间及数轴表示出来:(1){x|x<2};(2){x|x≥3};(3){x|-1≤x<5}.
解:(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如下:
(2){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如下:
(3){x|-1≤x<5}用区间表示为[-1,5),用数轴表示如下:
用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)所有正整数组成的集合;(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.分析先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.
解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
反思感悟 1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合.(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间无顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.
变式训练1用列举法表示下列集合:(1)15的正因数组成的集合;(2)不大于10的正偶数组成的集合;
解:(1){1,3,5,15};(2){2,4,6,8,10};(3){(-3,0)}.
用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
分析找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应的集合
解:(1){(x,y)|y=-x}.(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
反思感悟 1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.
变式训练2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;
解:(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}.
学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.
解:学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对
解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
集合表示方法的选择与转换例4用适当的方法表示下列集合:
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.分析依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.(3)用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.(4)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
反思感悟 表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
变式训练3用另一种方法表示下列集合:(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除,且小于10的正数};(3){-3,-1,1,3,5}.
解:(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.
已知集合中元素个数求参数范围例5若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.分析明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A
解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2},满足题意.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
反思感悟 1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.
延伸探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值范围.
延伸探究2例5中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值范围.
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,即
解得k>1.综上,实数k的取值范围为{k|k=0或k≥1}.
第三次数学危机数学史上的第三次危机,是在康托的一般集合理论的边缘发现悖论产生的.由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且集合论已成了数学的基础,因此集合理论中悖论的发现自然地引起了对数学整个基本结构的有效性的怀疑.其中最著名的就是罗素于1919年给出的形式通俗化的“罗素悖论”,它涉及某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则:他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸.那么,“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么这就不符合他的原则.
罗素悖论使整个数学大厦动摇了.承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质.尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失.现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的.所以,第三次危机表面上解决了,实质上以其他形式更深刻地延续着.
1.已知集合A= ,则下列关系式不成立的是( )A.0∈AB.1.5∉AC.-1∉AD.6∈A
答案:D 解析:由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D.
2.集合{x∈N+|x<5}的另一种表示法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}
答案:B 解析:N+为正整数集,所以集合{x∈N+|x<5}表示小于5的正整数组成的集合.
3.集合{-1,1}用描述法可以表示为 . 4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为 .
答案:答案不唯一,如{x||x|=1}
答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
根据集合的概念,我们知道:1.不等式2x+3<15的所有自然数解组成集合A;2.不等式2x+3<15的所有实数解组成集合B.同学们想一下,这两个集合有区别吗?如何表示这两个集合呢?
一、集合的表示方法1.列举法列举法是把集合中的元素 出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法,一般可将集合表示为 . 名师点析用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)元素与元素之间必须用“,”隔开;(2)集合的元素必须是明确的;(3)不必考虑元素出现的先后顺序;(4)集合的元素不能重复;(5)集合的元素可以表示任何事物;(6)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.
2.描述法描述法是通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
名师点析1.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.2.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词“且”与“或”等联结.如集合 .3.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D= 可以表示为D= .4.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如 中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.5.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.
微练习用列举法表示下列集合:(1)方程x2-9=0的解组成的集合;(2)不大于100的自然数组成的集合.
答案: (1){-3,3}.(2){0,1,2,3,…,100}.
微思考下面四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么?
提示:它们是互不相同的集合.①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值组成的集合,所以{x|y=x2+1}=R;②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值组成的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)组成的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点};④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.
微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.( )(2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.( )(3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合.( )(4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集. ( )
提示: (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、集合的分类1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:含有 的集合叫作有限集,含有 的集合叫作无限集. 2.把不含有任何元素的集合叫作 ,记作 . 名师点析(1)集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.(2)空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.
微思考空集是有限集还是无限集?
提示:空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.
三、区间及其表示1.设a,b是两个实数,且 ,我们作出规定:
这里的实数a,b称为区间的端点.[a,b]称为 ,(a,b)称为 ,[a,b),(a,b]称为 .在数轴上表示区间时,用实心点表示 区间的端点,用空心点表示 区间的端点.
2.数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“ ”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x
微练习将下列集合用区间及数轴表示出来:(1){x|x<2};(2){x|x≥3};(3){x|-1≤x<5}.
解:(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如下:
(2){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如下:
(3){x|-1≤x<5}用区间表示为[-1,5),用数轴表示如下:
用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)所有正整数组成的集合;(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.分析先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.
解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
反思感悟 1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合.(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间无顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.
变式训练1用列举法表示下列集合:(1)15的正因数组成的集合;(2)不大于10的正偶数组成的集合;
解:(1){1,3,5,15};(2){2,4,6,8,10};(3){(-3,0)}.
用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
分析找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应的集合
解:(1){(x,y)|y=-x}.(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
反思感悟 1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.
变式训练2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;
解:(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}.
学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.
解:学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对
解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
集合表示方法的选择与转换例4用适当的方法表示下列集合:
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.分析依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.(3)用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.(4)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
反思感悟 表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
变式训练3用另一种方法表示下列集合:(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除,且小于10的正数};(3){-3,-1,1,3,5}.
解:(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.
已知集合中元素个数求参数范围例5若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.分析明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A
解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2},满足题意.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
反思感悟 1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.
延伸探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值范围.
延伸探究2例5中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值范围.
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,即
解得k>1.综上,实数k的取值范围为{k|k=0或k≥1}.
第三次数学危机数学史上的第三次危机,是在康托的一般集合理论的边缘发现悖论产生的.由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且集合论已成了数学的基础,因此集合理论中悖论的发现自然地引起了对数学整个基本结构的有效性的怀疑.其中最著名的就是罗素于1919年给出的形式通俗化的“罗素悖论”,它涉及某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则:他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸.那么,“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么这就不符合他的原则.
罗素悖论使整个数学大厦动摇了.承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质.尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失.现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的.所以,第三次危机表面上解决了,实质上以其他形式更深刻地延续着.
1.已知集合A= ,则下列关系式不成立的是( )A.0∈AB.1.5∉AC.-1∉AD.6∈A
答案:D 解析:由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D.
2.集合{x∈N+|x<5}的另一种表示法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}
答案:B 解析:N+为正整数集,所以集合{x∈N+|x<5}表示小于5的正整数组成的集合.
3.集合{-1,1}用描述法可以表示为 . 4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为 .
答案:答案不唯一,如{x||x|=1}
答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
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