数学必修 第一册4.3 对数随堂练习题

这是一份数学必修 第一册4.3 对数随堂练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二十八) 对数的运算


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1.eq \f(lg29,lg23)＝( )


A.eq \f(1,2) B．2


C.eq \f(3,2) D．eq \f(9,2)


B [原式＝lg39＝lg332＝2lg33＝2.]


2．已知3a＝2，则lg38－2lg36＝( )


A．a－2 B．5a－2


C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1


A [∵3a＝2，∴a＝lg32，∴lg38－2lg36＝3lg32－2(lg32＋lg33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.]


3．若lg x－lg y＝a，则lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(3)－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))eq \s\up12(3)等于( )


A．3a B.eq \f(3,2)a


C．a D．eq \f(a,2)


A [∵lg x－lg y＝a，∴lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(3)－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))eq \s\up12(3)＝3lg eq \f(x,2)－3lg eq \f(y,2)＝3lg x－3lg y＝3a.]


4．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )


①lgax2＝2lgax；②lgax2＝2lga|x|；


③lga(xy)＝lgax＋lgay；


④lga(xy)＝lga|x|＋lga|y|.


A．②④ B．①③


C．①④ D．②③


B [∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，故选B.]


5．设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝( )


A.eq \r(10) B．10


C．20 D．100


A [∵2a＝5b＝m，∴a＝lg2m，b＝lg5m，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2，∴m2＝10.又∵m＞0，∴m＝eq \r(10).故选A.]


二、填空题


6．lg eq \r(5)＋lg eq \r(20)＝________.


1 [lg eq \r(5)＋lg eq \r(20)＝lg eq \r(100)＝lg 10＝1.]


7．若lgab·lg3a＝4，则b＝________.


81 [∵lgab·lg3a＝4，∴eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81.]


8．计算：lg2eq \f(1,25)·lg3eq \f(1,8)·lg5eq \f(1,9)＝________.


－12 [原式＝eq \f(lg \f(1,25),lg 2)·eq \f(lg \f(1,8),lg 3)·eq \f(lg \f(1,9),lg 5)＝eq \f(－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3,lg 2·lg 3·lg 5)＝－12.]


三、解答题


9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：


(1)lg(xyz)；(2)lgeq \f(xy2,z)；(3)lgeq \f(xy3,\r(z))；(4)lgeq \f(\r(x),y2z).


[解] (1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.


(2)lgeq \f(xy2,z)＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.


(3)lg eq \f(xy3,\r(z))＝lg (xy3)－lg eq \r(z)


＝lg x＋3lg y－eq \f(1,2)lg z.


(4)lg eq \f(\r(x),y2z)＝lg eq \r(x)－lg (y2z)


＝eq \f(1,2)lg x－2lg y－lg z.


10．计算：


(1)eq \f(lg 2＋lg 5－lg 8,lg 50－lg 40)；


(2)lg eq \f(1,2)－lg eq \f(5,8)＋lg eq \f(5,4)－lg92·lg43.


[解] (1)原式＝eq \f(lg \f(2×5,8),lg \f(50,40))＝eq \f(lg \f(5,4),lg \f(5,4))＝1.


(2)法一：原式＝lg eq \f(\f(1,2),\f(5,8))＋lg eq \f(5,4)－eq \f(lg 2,lg 9)×eq \f(lg 3,lg 4)


＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)×\f(5,4)))－eq \f(lg 2,2lg 3)×eq \f(lg 3,2lg 2)


＝lg 1－eq \f(1,4)＝－eq \f(1,4).


法二：原式＝(lg 1－lg 2)－(lg 5－lg 8)＋(lg 5－lg 4)－eq \f(lg 2,lg 9)×eq \f(lg 3,lg 4)＝－lg 2＋lg 8－lg 4－eq \f(lg 2,2lg 3)×eq \f(lg 3,2lg 2)＝－(lg 2＋lg 4)＋lg 8－eq \f(1,4)＝－lg(2×4)＋lg 8－eq \f(1,4)＝－eq \f(1,4).





11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080. 则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )


A．1033 B．1053


C．1073 D．1093


D [由已知得，lg eq \f(M,N)＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与eq \f(M,N)最接近的是1093.]


12．已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则eq \f(x,y)的值为( )


A．1 B．4


C．1或4 D．eq \f(1,4)或4


B [由对数的运算性质可得，lg(x－2y)2＝lg(xy)，


所以(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0，


所以(x－y)(x－4y)＝0，


所以eq \f(x,y)＝1或eq \f(x,y)＝4，


又x－2y>0，x>0，y>0，所以eq \f(x,y)>2，所以eq \f(x,y)＝4.]


13.eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2)＝________.


1 [eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2)＝eq \f(lg 3＋lg 22－1,lg 1.2)＝eq \f(lg 12－1,lg 1.2)＝eq \f(lg \f(12,10),lg 1.2)＝eq \f(lg 1.2,lg 1.2)＝1.]


14．(一题两空)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py，则p＝________，eq \f(1,x)，eq \f(1,y)，eq \f(1,z)的关系为________．


2lg34 eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y) [设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，


则x＝lg3k，y＝lg4k，z＝lg6k.


由2x＝py，得2lg3k＝plg4k＝p·eq \f(lg3k,lg34).


∵lg3k≠0，∴p＝2lg34.


eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg6k)－eq \f(1,lg3k)＝lgk6－lgk3＝lgk2，


又eq \f(1,2y)＝eq \f(1,2)lgk4＝lgk2，


∴eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).]





15．已知2y·lgy4－2y－1＝0，eq \r(lgx\r(5x))·lg5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝eq \r(\f(1,x)－y)？


[解] 由2y·lgy4－2y－1＝0得


2yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgy4－\f(1,2)))＝0，所以lgy4＝eq \f(1,2)，即y＝16.


由eq \r(lgx\r(5x))·lg5x＝－1得eq \r(lgx\r(5x))＝－eq \f(1,lg5x)，则eq \r(lgx\r(5x))＝－lgx5>0.


eq \f(1,2)(lgx5＋1)＝(－lgx5)2，整理得2(lgx5)2－lgx5－1＝0，解得lgx5＝－eq \f(1,2)(lgx5＝1舍去)，所以eq \f(1,x)＝25.


所以P＝eq \r(\f(1,x)－y)＝eq \r(25－16)＝3，


即存在一个正数P＝3，使得P＝eq \r(\f(1,x)－y)成立．