高中数学4.3 对数学案

这是一份高中数学4.3 对数学案，共7页。

4.3 对数


4.3.1 对数的概念








某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….





问题 依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？


提示：2x个，3次，8次；由2x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数．





1．对数


(1)指数式与对数式的互化及有关概念：





(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.


2．常用对数与自然对数





3．对数的基本性质


(1)负数和零没有对数．


(2)lga 1＝0(a>0，且a≠1)．


(3)lgaa＝1(a>0，且a≠1)．


思考：为什么零和负数没有对数？


提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝lgaN时，不存在N≤0的情况．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)lgaN是lga与N的乘积．( )


(2)(－2)3＝－8可化为lg(－2)(－8)＝3.( )


(3)对数运算的实质是求幂指数．( )


(4)在b＝lg3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．


( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√


2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )


A．lg2M＝a B．lgaM＝2


C．lg22＝M D．lg2a＝M


B [∵a2＝M，∴lgaM＝2，故选B.]


3．若lg3x＝3，则x＝( )


A．1 B．3


C．9 D．27


D [∵lg3x＝3，∴x＝33＝27.]


4．在b＝lga(5－a)中，实数a的取值范围是( )


A．a>5或a<0


B．0

C．0

D．1

B [由对数的定义可知


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－a>0，,a>0，,a≠1，))


解得0




【例1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：





[解] (1)由2－7＝eq \f(1,128)，可得lg2eq \f(1,128)＝－7.


(2)由lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) 32＝－5，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－5)＝32.


(3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.


(4)由ln x＝2，可得e2＝x.





指数式与对数式互化的方法


1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；


2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.





eq \([跟进训练])


1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：


(1)3－2＝eq \f(1,9)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－2)＝16；








【例2】 求下列各式中的x的值：


(1)lg64x＝－eq \f(2,3)； (2)lgx 8＝6；


(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.








求对数式lgaNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤


1设lgaN＝m；


2将lgaN＝m写成指数式am＝N；


3将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即lgaN＝b.





eq \([跟进训练])


2．








[探究问题]


1．你能推出对数恒等式aeq \s\up5(lgaN)＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？


提示：因为ax＝N，所以x＝lgaN，代入ax＝N可得aeq \s\up5(lgaN)＝N.


2．若方程lgaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程lgaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)


提示：若lgaf(x)＝0，则f(x)＝1；若lgaf(x)＝1，则f(x)＝a.





A．10 B．13


C．100 D．±100


(2)若lg3(lg x)＝0，则x的值等于________．


[思路点拨] (1)利用对数恒等式求解；


(2)利用lgaa＝1，lga1＝0求解．


(1)B (2)10 [(1)由＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.


(2)由lg3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]





1．若本例(2)的条件改为“ln(lg3x)＝1”，则x的值为________．


3e [由ln(lg3x)＝1得lg3x＝e，∴x＝3e.]


2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－eq \f(1,2)的值．


[解] ∵x＝10，∴xeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝10eq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \f(\r(10),10).





1．利用对数性质求解的两类问题的解法


(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值．


(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg”后再求解．


2．性质aeq \s\up5(lgaN)＝N与lgaab＝b的作用


(1)aeq \s\up5(lgaN)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．


(2)lgaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．











1．理解4个知识点


(1)对数的概念．


(2)自然对数、常用对数．


(3)指数式与对数式的互化．


(4)对数的性质．


2．理清1组关系——指数式与对数式的关系


(1)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔lgaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：①lgaab＝b；②aeq \s\up5(lgaN)＝N.


(2)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．


3．规避1个易错


注意对数式中底数与真数的范围．





1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )


A．100＝1与lg 1＝0


B．27eq \s\up12(－eq \f(1,3))＝eq \f(1,3)与lg27eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3)


C．lg39＝2与9eq \s\up12(eq \f(1,2))＝3


D．lg55＝1与51＝5


C [C不正确，由lg39＝2可得32＝9.]


2．若lgeq \s\d5(aeq \s\up5(2))b＝c，则( )


A．a2b＝c B．a2c＝b


C．bc＝2a D．c2a＝b


B [lga2b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b.]


3．


0 [原式＝3＋0－3＋0＝0.]


4．若lg2(lgx9)＝1，则x＝________.


3 [由lg2(lgx9)＝1可知lgx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]


5．求下列各式中的x的值：


(1)lgx27＝eq \f(3,2)； (2)lg2 x＝－eq \f(2,3)；


(3)x＝lg27eq \f(1,9)；





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)


2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)


3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.
借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养.
指数式与对数式的互化
利用指数式与对数式的关系求值
应用对数的基本性质求值