2020版高考数学一轮复习课后限时集训24《平面向量的概念及线性运算》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(二十四)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；

④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.

以上命题中正确的个数为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0

D　[对于①，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段，故①错．

对于②，当a与b中有一个是0时，a与b的方向不一定相同或相反，故②错．

对于③，直线AB与CD也可能平行，故③错．

对于④，当b=0时，a与c不一定平行，故④错．]

2．在△ABC中，已知M是BC中点，设=a，=b，则=(　　)

A．a－b B．a＋b

C．a－b D．a＋b

A　[=＋=－＋=－b＋a，故选A．]

3．已知=a＋2b，=－5a＋6b，=7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　)

A．A，B，C B．A，B，D

C．B，C，D D．A，C，D

B　[因为=＋＋=3a＋6b=3(a＋2b)=3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线．]

4．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若=2，=＋λ，则λ等于(　　)

A． B．

C．－ D．－

A　[∵=2，即－=2(－)，

∴=＋，∴λ=.]

5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的一个充分条件是(　　)

A．a=－b B．a∥b

C．a=2b D．a∥b且|a|=|b|

C　[=⇔a=⇔a与b共线且同向⇔a=λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]

二、填空题

6．给出下列命题：

①若|a|=|b|，则a=b或a=－b；

②若A、B、C、D是不共线的四点，则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；

③若λa=0(λ为实数)，则λ=0；

④若两个向量共线，则其方向必定相同或相反，其中真命题的序号是________．

②　[对于①，向量a与b的方向可以是任意的，故①错；

对于②，由=，可得||=||，且∥.

又A，B，C，D是不共线的四点，

因此四边形ABCD为平行四边形，反之也成立，故②正确；

对于③，当a=0，λ=1时，λa=0，故③错；

对于④，当两个向量有一个零向量时，两个向量的方向不一定相同或相反，故④错．]

7．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋=＋，则四边形ABCD的形状为________．

平行四边形　[由＋=＋得－=－，所以=，所以四边形ABCD为平行四边形．]

8．(2019·郑州模拟)在△ABC中，=3，=x＋y，则=________.

3　[由=3得=，

所以=＋=＋=＋(－)=＋，所以x=，y=，因此=3.]

三、解答题

9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB=2GE，设=a，=b，试用a，b表示，.

[解]　=(＋)=a＋b.

=＋=＋=＋(＋)

=＋(－)=＋=a＋b.

10．设两个非零向量e1和e2不共线．

(1)如果=e1－e2，=3e1＋2e2，=－8e1－2e2，

求证：A，C，D三点共线；

(2)如果=e1＋e2，=2e1－3e2，=2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．

[解]　(1)证明：∵=e1－e2，=3e1＋2e2，=－8e1－2e2，∴=＋=4e1＋e2=－(－8e1－2e2)=－，

∴与共线．

又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．

(2)=＋=(e1＋e2)＋(2e1－3e2)=3e1－2e2.

∵A，C，D三点共线，

∴与共线，从而存在实数λ使得=λ，

即3e1－2e2=λ(2e1－ke2)，

得解得λ=，k=.

B组　能力提升

1．已知a，b是不共线的向量，=λa＋b，=a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)

A．λ＋μ=2　　　　　B．λ－μ=1

C．λμ=－1 D．λμ=1

D　[因为A，B，C三点共线，所以∥，设=m(m≠0)，所以所以λμ=1，故选D.]

2．如图所示，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m＋，则实数m的值为(　　)

A． B．

C． D．

B　[注意到N，P，B三点共线，因此=m＋=m＋，从而m＋=1⇒m=.故选B.]

3．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD的n(n∈N且n≥2)等分点中最靠近点D的点，线段AE的延长线交CD于点F，若=x＋，则x=________(用含有n的代数式表示)．

　[依题意与图形得==(n∈N且n≥2)，所以=，所以=＋=＋，又因为=x＋，

所以x=.]

4．已知O，A，B是不共线的三点，且=m＋n(m，n∈R)．

(1)若m＋n=1，求证：A，P，B三点共线；

(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n=1.

[证明]　(1)若m＋n=1，则=m＋(1－m)=＋m(－)，

所以－=m(－)，

即=m，所以与共线．

又因为与有公共点B，所以A，P，B三点共线．

(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，

使=λ，所以－=λ(－)．

又=m＋n.

故有m＋(n－1)=λ－λ，

即(m－λ)＋(n＋λ－1)=0.

因为O，A，B不共线，所以，不共线，

所以所以m＋n=1.结论得证．