2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第2讲　排列与组合 (含解析)

第2讲　排列与组合

一、选择题

1.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)

A.9   B.10   C.18   D.20

解析　由于lg a－lg b＝lg (a＞0，b＞0)，

∴lg 有多少个不同的值，只需看不同值的个数.

从1，3，5，7，9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝18.

答案　C

2.(2016·四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)

A.24   B.48   C.60   D.72

解析　由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72，故选D.

答案　D

3.有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　)

A.6   B.18   C.20   D.24

解析　由题意知，名次排列的种数为CA＝18.

答案　B

4.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为(　　)

A.CA    B.CA

C.CA    D.CA

解析　首先从后排的7人中抽2人，有C种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.

答案　C

5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A.36种   B.42种   C.48种   D.54种

解析　分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法.依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42种编排方案.

答案　B

6.(2016·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法(　　)

A.10   B.16   C.20   D.24

解析　一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法.

答案　C

7.(2017·本溪模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)

A.72   B.120   C.144   D.168

解析　法一　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品中2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□小品1□相声□小品2□”.有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法.

法二　先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种).

答案　B

8.(2017·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A.18种   B.24种

C.36种    D.72种

解析　一个路口有3人的分配方法有CCA(种)；两个路口各有2人的分配方法有CCA(种).

∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CCA＋CCA＝36(种).

答案　C

二、填空题

9.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法(用数字作答).

解析　先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C＝20(种).

答案　20

10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种(用数字作答).

解析　把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A＝12(种).其中正确的有一种，所以错误的共A－1＝12－1＝11(种).

答案　11

11.(2016·呼和浩特二模)从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答).

解析　甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有CC＋CC＝70种方法.

答案　70

12.(2017·淮北一模)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种(用数字作答).

解析　设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有：BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相等座位的坐法有9×5＝45种坐法.

答案　45

13.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)

A.12种   B.24种

C.48种    D.120种

解析　甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种).

答案　B

14.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)

A.60   B.90

C.120    D.130

解析　因为xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，

所以xi中至少两个为0，至多四个为0.

①xi(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C个元素；

②xi中3个0，2个为－1或1，A有C×2×2＝40个元素；

③xi中2个0，3个为－1或1，A有C×2×2×2＝80个元素；

从而，集合A中共有2C＋40＋80＝130个元素.

答案　D

15.(2017·黄冈模拟)在某班进行的演进比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________(用数字作答).

解析　若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有CCA＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有CAA＝24种.故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60.

答案　60

16.(1)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

(2)已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？

解　(1)法一　每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.

分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；

若分配到2所学校有C×2＝42(种)；

若分配到3所学校有C＝35(种).

∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.

法二　10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C＝84种不同方法.

所以名额分配的方法共有84种.

(2)①从集合B中取元素2时，确定CA个点.

②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C×1＝C.

③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有CA个.

∴由分类加法计数原理，共确定CA＋C＋CA＝33(个)不同点.