2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第2讲　用样本估计总体 (含解析)

第2讲　用样本估计总体

一、选择题

1.(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是(　　)

A.19   B.20   C.21.5   D.23

解析　从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.

答案　B

2.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50](单位：元)内，其中支出在[30，50](单位：元)内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为(　　)

A.100   B.120   C.130   D.390

解析　支出在[30，50]内的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n＝＝100.

答案　A

3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)

A.134石    B.169石

C.338石    D.1 365石

解析　254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量.

设1 534石米内夹谷x石，则由题意知＝，

解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石.

答案　B

4.(2016·全国Ⅲ卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)

A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个

解析　对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月、共2个月份，故D错误.

答案　D

5.(2015·安徽卷)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)

A.8   B.15   C.16   D.32

解析　已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16，故选C.

答案　C

二、填空题

6.(2015·广东卷)已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数x＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________.

解析　由条件知x＝＝5，则所求平均数

x0＝＝

＝2x＋1＝2×5＋1＝11.

答案　11

7.某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________.

解析　170＋×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，

×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2.

答案　2

8.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.

解析　底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，

样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.

答案　24

三、解答题

9.某车间20名工人年龄数据如下表：

(1)求这20名工人年龄的众数与极差；

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；

(3)求这20名工人年龄的方差.

解　(1)这20名工人年龄的众数为30；这20名工人年龄的极差为40－19＝21.

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：

(3)这20名工人年龄的平均数为(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；

所以这20名工人年龄的方差为

(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.

10.(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.

解　(1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.

依题意，w至少定为3.

(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为

4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元).

11.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是(　　)

A.12.5，12.5  B.13，13

C.13.5，12.5    D.13.5，13

解析　第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.1×5＝0.5，则第3组的频率为1－0.2－0.5＝0.3，估计总体平均数为7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3＝13.由题意知，中位数在第2组内，设为10＋x，则有0.1x＝0.3，解得x＝3，从而中位数是13.

答案　B

12.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：

则7个剩余分数的方差为(　　)

A.   B.   C.36   D.

解析　由题意知＝91，

解得x＝4.所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝.

答案　B

13.(2015·湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.

(1)直方图中的a＝________；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________.

解析　(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.

(2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.

因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.

答案　(1)3　(2)6 000

14.(2014·全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

(1)作出这些数据的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？

解　(1)样本数据的频率分布直方图如图所示：

(2)质量指标值的样本平均数为

x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.

质量指标值的样本方差为

s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.

(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为

0.38＋0.22＋0.08＝0.68.

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.