2020年 人教版八年级数学上册期末专题《因式分解》培优练习（含答案）

期末专题《因式分解》

1.利用因式分解可以知道，178-158能够被(    )整除。

A.18      B.28       C.36          D.64

2.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=3，那么a＋b的值为(     )

A.2        B.±2         C.4      D.±1 

3.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如(8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”)，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为(　　)

A.255054        B.255064        C.250554         D.255024

4.若a、b、c为一个三角形的三边长，则式子(a-c)2-b2的值（    ）

A.一定为正数                    B.一定为负数

C.可能是正数，也可能是负数      D.可能为0

若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为（      ）

A.12                                            B.6                                            C.3                                               D.0

5.有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（  ）

A.a+b                        B.2a+b                        C.3a+b                       D.a+2b

6.若x、y是有理数，设N=3x2+2y2﹣18x+8y+35，则N（     ）

    A.一定是负数                     B.一定不是负数

    C.一定是正数                     D.N的取值与x、y的取值有关

7.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息：

a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美,现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是（    ）

  A.我爱美    B.宜晶游     C.爱我宜昌       D.美我宜昌

8.已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2016=　　.

9.已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是　　     .

10.在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是：

   如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x-y)=0，(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3-xy2,取x=27,y=3时，用上述方法产生的密码是：      （写出一个即可）．

11.m是方程2x2+3x﹣1= 0的根，则式子4m2+6m+2016的值为      ．

12.已知x2+y2+2x﹣6y+10=0，求x+y的值.

13.先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则

原式=A2+2A+1=(A+1)2

再将“A”还原，得：原式=(x+y+1)2.

上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)因式分解：1+2(x﹣y)+(x﹣y)2=                           .

(2)因式分解：(a+b)(a+b﹣4)+4

(3)证明：若n为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.

14.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.

解：设x2﹣4x=y，

原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)

=y2+8y+16 (第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(x2﹣4x+4)2(第四步)

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的　         　.

A.提取公因式                 B.平方差公式

C.两数和的完全平方公式       D.两数差的完全平方公式

(2)该同学因式分解的结果是否彻底？　       　.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　         　.

(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.

15.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).

(1)探究：上述操作能验证的等式是      ；(请选择正确的一个)

A.a2-2ab+b2=(a-b)2       B.a2-b2=(a+b)(a-b)         C.a2+ab=a(a+b)

(2)应用：利用你从(1)选出的等式，完成下列各题：

①已知9x2-4y2=24，3x+2y=6，求3x-2y的值；

②计算：

16.阅读理解：

对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．

我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：

x2+2ax﹣8a2

=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2

=x2+2ax+a2﹣8a2﹣a2

=（x2+2ax+a2）﹣（8a2+a2）

=（x+a）2﹣9a2

=（x+a+3a）（x+a﹣3a）

=（x+4a）（x﹣2a）

像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．

问题解决：

请用上述方法将二次三项式 x2+2ax﹣3a2 分解因式．

拓展应用：

二次三项式x2﹣4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．

17.已知a=2017x+2016，b=2017x+2017，c=2017x+2018．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．

参考答案

1.答案为：D

2.D

3.答案为：D.　

4.答案为：B

5.A

6.D

7.B

8.C

9.答案为：2016.

10.答案为：48.

11.答案为：273024或272430

12. 答案为：2018

13.解：∵x2+y2+2x﹣6y+10=(x+1)2+(y﹣3)2=0，

∴x+1=0，y﹣3=0，即x=﹣1，y=3，则x+y=﹣1+3=2.

14.解：(1)1+2(x﹣y)+(x﹣y)2=(x﹣y+1)2；

(2)令A=a+b，则原式变为A(A﹣4)+4=A2﹣4A+4=(A﹣2)2，

故(a+b)(a+b﹣4)+4=(a+b﹣2)2；

(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1

=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1

=(n2+3n)(n2+3n+2)+1

=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1

=(n2+3n+1)2，

∵n为正整数，

∴n2+3n+1也为正整数，

∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.

15.解：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；

(2)该同学因式分解的结果不彻底，原式=(x2﹣4x+4)2=(x﹣2)4；

故答案为：不彻底，(x﹣2)4；

(3)(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1=(x2﹣2x)2+2(x2﹣2x)+1=(x2﹣2x+1)2=(x﹣1)4.

16.(1)B;(2)①,4；②;

17.解：

（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣3a2﹣a2，

=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2

=（x+a+2a）（x+a﹣2a）

=（x+3a）（x﹣a）；

（2）有最小值，x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1，

∵（x﹣2）2≥0，

∴（x﹣2）2+1≥1，

∴最小值为1．

18.解：∵a=2017x+2016，b=2017x+2017，c=2017x+2018，

∴a﹣b=-1，b﹣c=-1，a﹣c=-2，

则原式=0.5(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

=0.5[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]

=0.5×(1+1+4)

=3．