四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义:2.平均值不等式
展开A2平均值不等式
一、基础知识
平均值不等式:设为个正数,则,当且仅当时取等.
二、典型例题与基本方法
1.设求证:
2.设求的最小值.
3.设是正数,且求证:
4.设且证明:
5.设且证明:
6.设证明:
7.设为个正数,证明:,当且仅当时取等.
8.已知正实数满足
证明:
9.已知正实数满足证明:
B2练习 姓名:
1.设证明:
2.设正实数满足证明:
3.设且证明:
A2平均值不等式参考解答
一、基础知识
平均值不等式:设为个正数,则,当且仅当时取等.
证明:我们首先证明为正整数)时,平均值不等式成立.为此对用数学归纳法.
当时,显然有
假设当时命题成立,则当时,
所以当时结论成立.
所以对于形式的正整数,平均值不等式成立.
现假设时,平均值不等式成立,当时,则由假设得
于是即
所以当时命题也成立.
综上可知对一切正整数平均值不等式成立.不难看出,当且仅当所有的相等时等号成立.
二、典型例题与基本方法
1.设求证:
证明:
2.设求的最小值.
证明:因为
于是
当且仅当时等号成立.所以的最小值为10.
3.设是正数,且求证:
证明:
同理
于是
4.设且证明:
证明:注意到恒等式
于是原不等式等价于
因为
于是
所以
5.设且证明:
证明:
同理
所以
故
6.设证明:
证明:因为
所以原不等式等价于
由对称性只须证明
注意到
令则且
于是等价于
因为
所以原不等式得证.
7.设为个正数,证明:,当且仅当时取等.
证明:由平均值不等式令
于是即
就是平均值不等式.
由恒等式知道
于是也就是
8.已知正实数满足
证明:
证明:因为所以
于是
于是
于是只须证明
于是
所以原不等式得证.
9.已知正实数满足证明:
证明:由平均值不等式知道于是
同理
于是
所以原来不等式得证.
B2.练习 姓名:
1.设证明:
证明:
2.设正实数满足证明:
证明:
于是
3.设且证明:
证明:
于是
即于是