高中人教版新课标A第三章 不等式3.1 不等关系与不等式测试题

课时训练15　不等关系与不等式

一、不等式性质的直接应用与判断

1.若<0,则下列结论不正确的是(　　)

A.a2<b2 B.ab<b2

C.>2 D.<1

答案:D

解析:由<0可知,b<a<0,所以<1不成立,故选D.

2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是(　　)

A.a2>b2 B. C. D.a3>b3

答案:D

解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;

B.虽然3>-2,但是不成立;

C.虽然2>-3,但是不成立;

D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0.

成立.

综上可知,只有D正确.故选D.

3.已知下列说法:

①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则;④若0<a<1,则loga(1+a)>loga

其中正确的有　　　　　. 

答案:①③④

解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;

对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;

对于③,当a>b>0时,得0<,

又c<0,∴,故③正确;

对于④,当0<a<1时,>1,则1+a<1+,

∴loga(1+a)>loga,故④正确.

二、利用不等式的性质比大小

4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:D

解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;

②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,

∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;

③a2+b2-ab=b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.

综上可得:①②③都恒成立.故选D.

5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是 (　　)

A.A≤B B.A≥B

C.A<B或A>B D.A>B

答案:B

解析:∵A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2-ab+b2=b2≥0,

∴A≥B.

6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t1,t2的大小关系为　　　　　. 

答案:t1>t2

解析:由题意知,甲用的时间t1==S·,

乙用的时间t2=2×.

∵t1-t2=S·

=S=S>0.∴t1>t2.

7.已知a,b,x,y均为正实数,且,x>y,试判断的大小关系.

解:因为,

又且a>0,b>0,所以b>a>0.

又x>y>0,所以bx>ay,即bx-ay>0.

又x+a>0,y+b>0,

所以>0,即.

三、利用不等式的性质求代数式范围

8.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是　　　　　. 

答案:27

解析:∵4≤≤9,∴16≤≤81. ①

∵3≤xy2≤8,∴. ②

由①②可得2≤≤27,即2≤≤27.

∴的最大值为27.

9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围:

(1)2a+b;(2)a-b;(3).

解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.

又3<b<4,所以5<2a+b<8.

(2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3.

又1<a<2,所以-3<a-b<-1.

(3)因为3<b<4,所以.

又1<a<2,所以.

四、利用不等式的性质证明

10.已知a>b>0,c<d<0.

求证:.

思路分析:解答本题可先比较的大小,进而判断.

证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-<-.

又a>b>0,∴->->0.

∴,即->-.

两边同乘以-1,得.

(建议用时:30分钟)

1.若a,b∈R,且a>b,则(　　)

A.a2>b2 B.<1

C.lg(a-b)>0 D.

答案:D

解析:∵a>b,无法保证a2>b2,<1和lg(a-b)>0,

∴排除A与B,C,故选D.

2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是(　　)

A. B.ab<b2

C.-ab<-a2 D.-<-

答案:D

解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.

3.若a>b>c,则下列不等式成立的是(　　)

A. B.

C.ac>bc D.ac<bc

答案:B

解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.

∴.

故选B.

4.下列结论正确的是(　　)

A.若a>b>0,a>c,则a2>bc

B.若a>b>c,则

C.若a>b,n∈N*,则an>bn

D.a>b>0,则ln a<ln b

答案:A

解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,an>bn不成立.

对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.

5.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是 (　　)

A.-π<2α-β<0 B.-π<2α-β<π

C.-<2α-β< D.0<2α-β<π

答案:C

解析:∵-<α<,∴-π<2α<π.

又-<β<,∴-<-β<.

∴-<2α-β<.

又α-β<0,α<,∴2α-β<.

故-<2α-β<.

6.若实数a≠b,则a2-ab　　　　　ba-b2(填不等号). 

答案:>

解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,

∵a≠b,∴(a-b)2>0.

∴a2-ab>ba-b2.

7.已知2b<a<-b,则的取值范围为　　　　　. 

答案:-1<<2

解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.

∴,即-1<<2.

8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是　　　　　. 

答案:m<p<q<n

解析:∵(p-m)(p-n)<0,

∴

又m<n,∴m<p<n.

同理m<q<n,又p<q,

∴m<p<q<n.

9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?

解:设两次价格分别为a元、b元,

则甲的平均价格为m=元,

乙的平均价格为n=,

∴m-n=>0.

∴乙更合算.

10.已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.

解:因为f(x)=ax2-c,所以

即

解得

所以f(3)=9a-c=f(2)-f(1).

又因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,

所以≤-f(1)≤,-f(2)≤,

所以-1≤f(2)-f(1)≤20,

即-1≤f(3)≤20.