高中数学人教版新课标A选修1-13.2导数的计算练习

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．函数y＝f(x)的图象如图3－3－4所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)

图3－3－4

【解析】　由函数y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，f′(x)均小于0，故选D.

【答案】　D

2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上(　　)

A．是增函数　　　　　　　 B．是减函数

C．有最大值 D．有最小值

【解析】　∵cos x≤1，∴f′(x)＝2－cos x>0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．

【答案】　A

3．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，0) B．(0，＋∞)

C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)

【解析】　y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－3<x<1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．

【答案】　D

4．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　)

A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3)

C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)

【解析】　因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．

【答案】　A

5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]

C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)

【解析】　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．

由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．

【答案】　D

二、填空题

6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________.               【导学号：26160084】

【解析】　f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1<x<2是不等式f′(x)<0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b＝－，c＝－6.

【答案】　－　－6

7．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为________．

【解析】　y′＝3ax2≤0恒成立，解得a≤0.

而a＝0时，y＝－1，不是减函数，∴a<0.

【答案】　a<0

8．在下列命题中，真命题是________．(填序号)

①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；

②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；

③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；

④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0.

【解析】　对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)<0只能得到f(x)单调递减．

【答案】　③

三、解答题

9．求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝x＋sin x，x∈(0,2π)；

(2)f(x)＝2x－ln x.

【解】　(1)∵f′(x)＝＋cos x，

令f′(x)>0，得＋cos x>0，即cos x>－.

又∵x∈(0,2π)，∴0<x<π或π<x<2π.

同理，令f′(x)<0，得π<x<π.

∴该函数的单调递增区间为，；

单调递减区间为.

(2)函数的定义域为(0，＋∞)，

其导函数为f′(x)＝2－.

令2－>0，解得x>；

令2－<0，解得0<x<，

∴该函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

10．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a的取值范围．

【解】　函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)内为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7，即实数a的取值范围为[5,7]．

[能力提升]

1．已知函数y＝xf′(x)的图象如图3－3－5所示，下面四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是(　　)

图3－3－5

【解析】　由题图可知，当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1<x<0时，xf′(x)>0，所以f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0<x<1时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x>1时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的，由上述分析，可知选C.

【答案】　C

2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有(　　)               【导学号：26160085】

A．f(x)＞g(x)

B．f(x)＜g(x)

C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)

D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)

【解析】　∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，

∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，

∴当a＜x＜b时，f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，

∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．故选C.

【答案】　C

3．若函数f(x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．

【解析】　f′(x)＝－ax－2＝－.

因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解．

又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解．

①当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，

ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；

②当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，

若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，

则

解得－1≤a<0；

③当a＝0时，显然符合题意．

综合上述，a的取值范围是[－1，＋∞)．

【答案】　[－1，＋∞)

4．已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；

(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．

【解】　(1)f′(x)＝3x2－a，∵3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，又∵y＝3x2≥0，∴当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，又a＝0时，f′(x)＝3x2不恒为0，∴a≤0.

(2)∵3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1，1)上恒成立．但当x∈(－1，1)时，0≤3x2<3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．

(3)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2<a，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a 的下方．