人教版新课标A3.2立体几何中的向量方法课堂检测

  www.ks5u.com章末总结

知识点一　空间向量的计算

空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．

【例1】沿着正四面体O－ABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．

知识点二　证明平行、垂直关系

空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．

例2　

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．

(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；

(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.

例3　

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.

试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.

例4　正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.

知识点三　空间向量与空间角

求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．

例5　

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.

(1)cos〈，〉；

(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；

(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．

知识点四　空间向量与空间距离

近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．

例6　

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求二面角P—CD—B的大小；

(2)求证：平面MND⊥平面PCD；

(3)求点P到平面MND的距离．

章末总结

重点解读

例1　解　

如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，

则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，

则f＝f1＋f2＋f3

＝a＋2b＋3c，

∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)

＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c

＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12 cos 60°

＝14＋2＋3＋6＝25，

∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.

且cos〈f，a〉＝＝

＝＝，

同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.

例2　证明　(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

＝－，＝－，

又∵＝，＝，

∴＝.∴BD∥B1D1.

同理可证A1B∥D1C，

又BD∩A1B＝B，B1D1∩D1C＝D1，

所以平面A1BD∥平面B1CD1.

(2) ＝＋＋

＝＋＋(＋)

＝＋＋(－＋)

＝＋＋.

设＝a，＝b，＝c，

则＝(a＋b＋c)．

又＝－＝b－a，

∴·＝(a＋b＋c)(b－a)

＝(b2－a2＋c·b－c·a)．

又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，

∴c·b＝0，c·a＝0.

又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0.

∴·＝0，∴MN⊥BD.

同理可证，MN⊥A1B，又A1B∩BD＝B，

∴MN⊥平面A1BD.

例3　解　建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，

D(0,0,0)，

B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．

则＝(－1，－1,0)，

＝(0,0,1)，

＝(－1,1，m)，

＝(－1,1,0)．

又由·＝0，·＝0知，为平面BB1D1D的一个法向量．

设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，

则sin θ＝|cos〈，〉|＝

＝.

依题意得＝sin 60°＝，

解得m＝.

故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.

例4　证明　

如图，建立空间直角坐标系Dxyz.

设正方体棱长为1，

则E、D1(0,0,1)、

F、A(1,0,0)．

∴＝(1,0,0)＝，＝，

＝.

设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量．

⇒.

令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．

又由⇒，

令z2＝1，得n＝(0,2,1)．

∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，

∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.

例5　解　(1)建立空间直角坐标系(如图)．则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)．

∴＝(5,2,4)，

＝(0,8，－4)．

∴·＝0＋16－16＝0，

∴⊥.

∴cos〈，〉＝0.

(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，且AM∩AN＝A，

∴⊥平面ANM，

∴＝(0,8，－4)是平面ANM的一个法向量．

又＝(0,8,0)，||＝4，||＝8，

·＝64，

∴cos〈，〉＝＝＝.

∴AD与平面ANM所成角的余弦值为.

(3)∵平面ANM的法向量是＝(0,8，－4)，

平面ABCD的法向量是a＝(0,0,1)，

∴cos〈，a〉＝＝－.

∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为.

例6　(1)解　∵PA⊥平面ABCD，

由ABCD是正方形知AD⊥CD.

∴CD⊥面PAD，∴PD⊥CD.

∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角．

∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，

即二面角P—CD—B的大小为45°.

(2)

如图，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,2)，D(0,2,0)，

C(2,2,0)，M(1,0,0)，

∵N是PC的中点，

∴N(1,1,1)，

∴＝(0,1,1)，＝(－1,1，－1)，

＝(0,2，－2)．

设平面MND的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)．

∴m·＝0，m·＝0，

即有

令z1＝1，得x1＝－2，y1＝－1.

∴m＝(－2，－1,1)．

同理，由n·＝0，n·＝0，

即有

令z2＝1，得x2＝0，y2＝1，∴n＝(0,1,1)．

∵m·n＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，

∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD.

(3)设P到平面MND的距离为d.

由(2)知平面MND的法向量m＝(－2，－1,1)，

∵·m＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，

∴|·m|＝4，

又|m|＝＝，

∴d＝＝＝.

即点P到平面MND的距离为.