人教版新课标A选修2-21.2导数的计算一课一练

1．3.1　函数的单调性与导数

明目标、知重点

1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系． 

2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．

3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

1．一般地，在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：

2.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：

情境导学]

以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．

探究点一　函数的单调性与导函数正负的关系

思考1　观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．

答　(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；

(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.

思考2　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？

答　(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；

(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；

在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；

(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；

(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．

小结　一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

思考3　若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？

答　不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．

思考4　(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．

(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？

答　(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．

(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．

例1　已知导函数f′(x)的下列信息：

当1<x<4时，f′(x)>0；

当x>4，或x<1时，f′(x)<0；

当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.

试画出函数f(x)图象的大致形状．

解　当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；

当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；

当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．

综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．

反思与感悟　本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．

跟踪训练1　函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．

解　f′(x)图象的大致形状如下图：

注：图象形状不唯一．

例2　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；

(2)f(x)＝sin x－x(0<x<π)；

(3)f(x)＝3x2－2ln x；

(4)f(x)＝3tx－x3

解　(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.

由f′(x)>0得x<－3，或x>2，

由f′(x)<0解得－3<x<2，

故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；

单调递减区间是(－3,2)．

(2)f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，

故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)

(3)函数的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝6x－＝2·.

令f′(x)>0，即2·>0，

解得－<x<0或x>.

又∵x>0，∴x>.

令f′(x)<0，即2·<0，

解得x<－或0<x<.

又∵x>0，∴0<x<.

∴f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，

单调递减区间为(0，)．

(4)f′(x)＝3t－3x2.

令f′(x)≥0时，得3t－3x2≥0，即t≥x2，

∴当t≤0时，无解；

当t>0时，函数的单调递增区间是－，]．

令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，

当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，

函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；

当t>0时，函数的单调递减区间是(－∞，－]，，＋∞)．

综上所述，当t≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；

当t>0时，函数的单调增区间是－，]，单调减区间是(－∞，－]，，＋∞)．

反思与感悟　求函数的单调区间的具体步骤是

(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间．

跟踪训练2　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝x3－x2－x.

解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝2x－＝.

由f′(x)>0得－<x<0或x>，

又∵x>0，∴x>，

∴函数f(x)的单调递增区间为；

由f′(x)<0得x<－或0<x<，

又∵x>0，∴0<x<，

∴函数f(x)的单调递减区间为.

(2)f′(x)＝3x2－2x－1

＝(3x＋1)(x－1)．

由f′(x)>0得x<－或x>1；

由f′(x)<0得－<x<1，

故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－，1)．

探究点二　函数的变化快慢与导数的关系

思考　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？

答　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内的图象“平缓”．

例3　如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．

解　(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.

反思与感悟　通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．

跟踪训练3　已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)

答案　D

解析　从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓．

1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是(　　)

A．单调增函数

B．单调减函数

C．在上是减函数，在上是增函数

D．在上是增函数，在上是减函数

答案　A

解析　∵f′(x)＝1＋>0，

∴函数在(0,6)上单调递增．

2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

答案　D

解析　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．

3．函数f(x)＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．

答案　(－∞，－1)

解析　f′(x)＝，令f′(x)<0得x<－1或<x<2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故单调递减区间为(－∞，－1)．

4．(1)函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为________，单调递减区间为________．

(2)函数y＝x3－x的单调递增区间为______，单调递减区间为________．

答案　(1)(2，＋∞)　(－∞，2)　(2)和　

解析　(1)y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；

令y′<0，得x<2，

所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为(2，＋∞)，

单调递减区间为(－∞，2)．

(2)y′＝3x2－1，令y′>0，得x>或x<－；

令y′<0，得－<x<，

所以y＝x3－x的单调递增区间为和，单调递减区间为(－，)．

呈重点、现规律]

1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．

2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；

(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.

一、基础过关

1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.

2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间是(　　)．

A．(0,1)   B．(0,1)∪(－∞，－1)

C．(－∞，1)   D．(－∞，＋∞)

答案　A

解析　∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，

∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：0<x<1或x<－1.

又∵x>0，∴0<x<1，故选A.

3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)是(　　)

A．增函数

B．减函数

C．常数

D．既不是增函数也不是减函数

答案　A

解析　求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．

4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)

A．y＝sin x   B．y＝xe2

C．y＝x3－x   D．y＝ln x－x

答案　B

解析　显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为单调增函数；

对于C，y′＝3x2－1＝3(x＋)(x－)，

故函数在(－∞，－)，(，＋∞)上为单调增函数，

在(－，)上为单调减函数；对于D，y′＝－1 (x>0)．

故函数在(1，＋∞)上为单调减函数，

在(0,1)上为单调增函数．故选B.

5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．

答案　∪2,3)

6．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．

答案　(0，＋∞)

解析　f′(x)＝3ax2＋1，∴f(x)在R上为增函数，

∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.

7.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．

解　由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：

x<－2或x>2时，

f′(x)<0，－2<x<2时，

f′(x)>0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.

故原函数y＝f(x)的图象大致如右：

二、能力提升

8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)

答案　A

解析　由f(x)与f′(x)关系可选A.

9．设f(x)，g(x)在a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有(　　)

A．f(x)>g(x)

B．f(x)<g(x)

C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)

D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)

答案　C

解析　∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，

∴f(x)－g(x)在a，b]上是单调增函数，

∴当a<x<b时f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，

∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．

10．若函数f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)是增函数，则a的取值范围是 (　　)

A．－1,0]   B．－1，＋∞)

C．0,3]   D．3，＋∞)

答案　D

解析　把函数在某一区间上的单调递增转化为其导函数在该区间上大于或等于零恒成立，分离参数后求新函数的最值．

由题意知f′(x)≥0对任意的x∈恒成立，

又f′(x)＝2x＋a－，

所以2x＋a－≥0对任意的x∈恒成立，

分离参数得a≥－2x，

若满足题意，需a≥max.

令h(x)＝－2x，x∈.

因为h′(x)＝－－2，

所以当x∈时，h′(x)＜0，

即h(x)在上单调递减，

所以h(x)＜h＝3，故a≥3.

11．求下列函数的单调区间：

(1)y＝x－ln x；　(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.

解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，

由y′>0，得x>1；由y′<0，得0<x<1.

∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．

(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为(－，＋∞)．

∵y＝ln(2x＋3)＋x2，

∴y′＝＋2x＝＝.

当y′>0，即－<x<－1或x>－时，

函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；

当y′<0，即－1<x<－时，

函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．

故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为(－，－1)和(－，＋∞)，单调递减区间为(－1，－)．

12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)求函数y＝f(x)的单调区间．

解　(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，

∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.

由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，

知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.

∴，即.

解得b＝c＝－3.

故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.

(2)f′(x)＝3x2－6x－3.

令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋；

令f′(x)<0，得1－<x<1＋.

故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2 (m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．

(1)用关于m的代数式表示n；

(2)求函数f(x)的单调增区间．

解　(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，

又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.

(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，

∴f′(x)＝3mx2－6mx.

令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，

当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；

当m<0时，解得0<x<2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．

综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；

当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).