人教版新课标A必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性习题

简单的线性规划问题

[A组　学业达标]

1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)

A．－7　　　　　　　 B．－4

C．1  D．2

解析：可行域如图阴影部分(含边界)．

令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，

当直线l过D点时，z取得最小值．

由得D(5,3)．∴zmin＝3－2×5＝－7.

答案：A

2．已知x，y满足约束条件使z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为(　　)

A．－3　　B．3　　　C．－1　　　D．1

解析：如图，作出可行域，作直线l：x＋ay＝0，要使目标函数z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合，故a＝1，选D.

答案：D

3．设x，y满足约束条件则的最大值是(　　)

A．5  B．6

C．8  D．10

解析：画出可行域如图阴影部分(含边界)，z＝＝2，的几何意义是点M(－1，－1)与可行域内的点P(x，y)连线的斜率，当点P移动到点N(0,4)时，斜率最大，最大值为＝5，

∴zmax＝2×5＝10.故选D.

答案：D

4．若x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最小值是(　　)

A．2  B．

C．4  D．5

解析：作出约束条件满足的可行域(如图所示)，z＝x2＋y2表示平面区域内点M(x，y)到原点的距离的平方，由图象，得|OM|的最小值为|OA|，即z＝x2＋y2的最小值为22＋12＝5.

答案：D

5．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝

(　　)

A．9  B．3

C．－2  D．－

解析：作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)，由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小，即2x＋y＝－6，由解得即A(－2，－2)．又点A也在直线y＝k上，所以k＝－2.

答案：C

6．若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是________．

解析：如图，作出可行域，

作直线l：x＋2y＝0，

将l向右上方平移，过点A(2,0)时，有最小值2，过点B(2,2)时，有最大值6，故z的取值范围为[2,6]．

答案：[2,6]

7．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．

解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，

则目标函数为z＝200x＋300y.

作出其可行域(图略)，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．

答案：2 300

8．若实数x，y满足条件则log2(2x＋y)的最大值为________．

解析：作出不等式组满足的可行域，如图阴影部分所示，令Z＝2x＋y，结合图形可知经过x＝1，x－y＋1＝0的交点A(1,2)时，Z有最大值4，此时z＝log2(2x＋y)的最大值为log24＝2.

答案：2

9．设x，y满足求x＋y的取值范围．

解析：如图，z＝x＋y表示直线过可行域时，在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A点时，z有最小值．联立解得A(2,0)．

z最小值＝2，z无最大值，

∴x＋y∈[2，＋∞)．

10．已知变量x，y满足

(1)设z＝，求z的最小值；

(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．

解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

由

得A；

由得C(1,1)；

由得B(5,2)．

(1)∵z＝＝，

∴z的最小值即为可行域中的点与原点O连线的斜率的最小值，

观察图形可知zmin＝kOB＝.

(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域内的点到原点O的距离的平方，结合图形可知，zmin＝|OC|2＝2，zmax＝|OB|2＝29，∴2≤z≤29.

[B组　能力提升]

11．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)

A．[－1,0]  B．[0,1]

C．[0,2]  D．[－1,2]

解析：作出可行域，如图所示，

因为·＝－x＋y.

所以设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知过点P(1,1)时，z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；

过点Q(0,2)时，z有最大值，

zmax＝0＋2＝2，

所以·的取值范围是[0,2]．

答案：C

12．已知实数x，y满足条件则z＝y－x的最大值为(　　)

A．－  B．0

C.  D．1

解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示，

由z＝y－x，得y＝x＋z，由图可知y＝()x＋z的图象过点A时，z最大．

由A(1,1)．

∴zmax＝1－＝，故选C.

答案：C

13．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．将区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝________.

解析：如图，不等式组表示的平面区域为△PMQ及其内部．

因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，又区域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成线段AB，所以|AB|＝|PQ|.

由解得P(－1,1)，

由解得Q(2，－2)．

∴|AB|＝|PQ|＝＝3.

答案：3

14．实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

z＝|x＋2y－4|＝·，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．

由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.

答案：21

15．实系数方程x2＋ax＋2b＝0的一根在(0,1)之间，另一根在(1,2)之间，求的取值范围．

解析：令f(x)＝x2＋ax＋2b，则方程x2＋ax＋2b＝0的一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内的问题转化为f(x)与x轴的两交点分别位于(0,1)和(1,2)之间，由此可得：

即

由平面区域可知(a，b)所满足的条件是三角形区域(如图)内部，且A(－3,1)，B(－1,0)．又的几何意义是过点(a，b)与D(1,2)的直线斜率，则有＝kAD＜＜kBD＝1，即的范围是.

16．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t救援物资的任务．该公司有8辆载重6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数：A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？

解析：设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据.

由表可知x，y满足线性约束条件

且目标函数z＝320x＋504y.

作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5，0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点(8,0)是最优解．这时zmin＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A型车，0辆B型车，成本费最低．

所以公司每天调出A型卡车8辆时，花费成本最低.