高中数学人教版新课标A选修1-13.2导数的计算课后测评

函数的极值与导数

[A组　学业达标]

1．设定义在(a，b)上的可导函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：在极值点两侧导数一正一负，观察图象可知极值点有3个．

答案：C

2．“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处不一定有极值．所以“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件，选B.

答案：B

3．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　　)

A．0,1，－1   B.

C．－   D.，－

解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0<x<时，f′(x)<0.所以当x＝时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点．选B.

答案：B

4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的极值情况为(　　)

A．极大值为，极小值为0

B．极大值为0，极小值为

C．极大值为0，极小值为－

D．极大值为－，极小值为0

解析：f′(x)＝3x2－2px－q，根据题意，知x＝1是函数的一个极值点，则解得

所以f′(x)＝3x2－4x＋1.

令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，易判断当x＝时，f(x)有极大值为，当x＝1时，f(x)有极小值为0，故选A.

答案：A

5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)

A．(－1,2)

B．(－3,6)

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，

因为f(x)既有极大值又有极小值，

那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，

解得a>6或a<－3.

答案：D

6．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．

解析：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.

由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，

所以a＝9，经验证此时Δ>0，符合题意．

答案：9

7．已知关于x的函数f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc，若函数f(x)在x＝1处取得极值－，则b＝________，c＝________.

解析：f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处取得极值－，

得

解得或

若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；

若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，

当－3<x<1时，f′(x)>0，

当x>1时，f′(x)<0.

所以当x＝1时，f(x)有极大值－.

故b＝－1，c＝3.

答案：－1　3

8．已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为________．

解析：由于函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，定义域为(0，＋∞)

则f′(x)＝2f′(1)×－1(x>0)，

f′(1)＝2f′(1)－1，故f′(1)＝1，

即f′(x)＝2×－1＝.

令f′(x)>0，解得0<x<2；

令f′(x)<0，解得x>2，

则函数在(0,2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，

故f(x)的极大值为f(2)＝2ln 2－2.

答案：2ln 2－2

9．求下列函数的极值：

(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；(2)f(x)＝－2.

解析：(1)f′(x)＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)，x∈R.

令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

当x＝－2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(－2)＝－10；

当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝22.

(2)函数f(x)的定义域为R.

f′(x)＝

＝－.

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可以看出，当x＝－1时，函数取极小值f(－1)＝－3；当x＝1时，函数取极大值f(1)＝－1.

10．已知函数f(x)＝ax4·ln x＋bx4－c(x>0)．在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b为常数．

(1)试确定a，b的值；

(2)讨论函数f(x)的单调区间．

解析：(1)由题意知f(1)＝－3－c，∴b－c＝－3－c，∴b＝－3.

f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)．

由题意，得f′(1)＝0，∴a＋4b＝0，解得a＝－4b＝12.

经检验，a＝12，b＝－3符合题意．

(2)由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0)．

令f′(x)＝0，解得x＝1.

当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；

当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．

∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．

[B组　能力提升]

11．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处有极值，则ab的值为(　　)

A．3  B．－3

C．0  D．1

解析：∵f(x)＝ax3＋bx，∴f′(x)＝3ax2＋b.

由函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处有极值，得f′＝3a2＋b＝0，∴ab＝－3.故选B.

答案：B

12．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　)

A．a<－1  B．a>－1

C．a>－  D．a<－

解析：由y′＝ex＋a＝0，得ex＝－a，

∴x＝ln(－a)．

∵x>0，∴ln(－a)>0且a<0，

∴－a>1，即a<－1.

答案：A

13．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时，有极值10，则a，b的值分别为________．

解析：由题意，知f′(x)＝3x2－2ax－b.∵x＝1是函数f(x)的极值点，且在x＝1处的极值为10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0，f(1)＝1－a－b＋a2＝10.∴a2＋a－12＝0，∴a＝－4或a＝3.若a＝－4，则b＝11；若a＝3，则b＝－3(当a＝3，b＝－3时，无极值，故舍去)．

答案：－4,11

14．已知函数f(x)＝在区间(a>0)上存在极值，则实数a的取值范围是________．

解析：f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是函数f(x)的极大值点．又函数f(x)在区间(a>0)上存在极值，所以a<1<a＋，解得<a<1，即实数a的取值范围是.

答案：

15．设函数f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．

解析：(1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，

故该切线的斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.

(2)由(1)，知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，

f′(x)＝－－＋＝＝.

令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．

故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．

16．已知函数f(x)＝(k∈R)．

(1)k为何值时，函数f(x)无极值？

(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0.

解析：(1)∵f(x)＝，

∴f′(x)＝.

要使f(x)无极值，只需f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立即可．

∵ex>0，∴f′(x)与g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k同号．

∵g(x)的二次项系数为－2，

∴只能满足g(x)≤0恒成立，

即Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，

解得k＝4，

∴当k＝4时，f(x)无极值．

(2)由(1)知，k≠4.

令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.

①当<2，即k<4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

令f＝0，得2·2－k·＋k＝0，∴k＝0，满足k<4.

②当>2，即k>4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

令f(2)＝0，得2×22－2k＋k＝0，∴k＝8，满足k>4.

综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0.